分式函数值域求法分类导析

1、分式函数值域求法分类导析XX市第一中学数学组陈晓明求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且 是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函 数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法.首先我们给出分式函数的定义：形如的函数叫做分式函数，其中。)、 q(x)q*)是既约整式且的次数不低于一次.下面就p(x)> q(.x)的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论.1、一次分式函数：(1)定义：(幻、夕()的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如fS) 二竺吆,XWA.CHO的函数.cx+d(2)求法：一次分式函数

2、值域的通常求法是逆求法，即改写成x = /T(y),由于xeA,则解出y的取值X围，即函数f(x)的值域.2x + 3例1、求函数丁 =, xe3,8的值域.解：改写成x = 2二，因为X£3,8,所以34二二48, y-2l y-219r 19解得即原函数的值域是.9 .6L 6 _2、二次分式函数：(1)定义：(幻、夕")至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，即形如/(X)= L_：”不全为零的函数. dx- +ex + f(2)解法：若人=K八2+6工+ /。0,则可采用根的判别式法求值域.r2 + 4x + 5例2、求函数)，= =:：的值域.厂 +4,

3、V + 4解：化为关于*的方程(、-1)/+4(丁一1次 + 4丁-5 = 0.若y = l,则方程无解，即ywl.因为xeR,所以ANO,解得yNl,即原函数的值域 是(1日)。若A。加+" + "0,则再分类讨论。2.1. (1)定义：形如/(x) =且CWO的函数.dx +ex + J(2)解法：先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数 /(a)的值域.例3、求函数/(x) = 一一，文£-3,5的值域.厂 一 2x-3解：令 g(x) = V - 2戈一 3 = (x -1)2 - 4, x £ -3,3)=(3,5,则

4、 g(x) = ,0)(0,12, 所以函数/0)的值域是(-8,- = 5,十8).*1乙hr + C2.2. (1)定义：形如/(x) =_一xwA"wO 且 X。(*)dx- +ex + f或/xeAaWO且ewo的分式函数. ex+ f(2)解法：下面就形式(*)讨论解法.2.2.1. 若c = 0,则分子分母同除以x,得/*) = -j.dx + + ex只要讨论函数g(x) = "x + /,x e A且x W。的值域. x不妨设”>o.若/V。，则函数g(x)在(-8,0)和(0,+s)上分别是增函数；若/>0,则函数g(x)在和J,0)上分别是减

5、函数，在J,+s)和(-8,一行上分别是增函数.这样利用函数g(X)的单调性，先求出g(X)的值域，从而求出函数/(X)的值域.x例4、求函数/(x) = 一一xej+eo)的值域.+2x + 414解：/(%) = -.x>.令g(x) = x + -,xNl,则g(x)N4， x+±+2xX所以函数/(X)的值域是62.2.2. 若c¥0,则换元，令/ = x + c,转化为2. 2.1.形式的分式函数.r + 1例 5、求函数/(x) = =_一的值域.x +2X一3解：令，= x+l,则y=yV£92)52,4).r -4 ,4 t41因为/一一 &

6、#163;(s,0)u(0,3),所以函数/(x)的值域是(一8,0)u(q,+co) . IIX 2 + b、+2.3. (1)定义：形如/(幻=。£人”-0且6/工。的分式函数. dx- +ex + f(2)解法：2.3.1. 若=。=。或e = / =。，则分子分母同除以小,转化为求关于L的二次函数的 x值域，从而求出函数的值域.例6、求函数/") = 丁一的值域.厂一4工+ 13解：/(工)=二一 =1一''£1，3.因为函数(-2)、3 工r X X2。)=(,-2)2-3,1,3的值域是-3,-2,所以函数/W的值域是一人一占.Xx23

7、2.3.2. 若分子分母有一个是完全平方式，不妨设/(x) = -，x e A,a W 0且 "尸 +ex + J4 wo,则可令f=x+7,转化为2.3.1形式的分式函数.Y2 4- 4x + 4例7、求函数/") = 一一/£一1,。的值域.厂 +4x + 5解：令，= x+2,则 y = - =j-, - ,1.因为 1 + e |,2,广+ 11 + 1 '2广 41 4所以函数/(x)的值域是耳，2.3.3. 若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即：“ae afa 3-7)工 +，一7/1) = + 4L,转化为22形式的分式函数.d dxr + ex + /r