中考数学常见题型几何动点问题

1、中考数学压轴题型研究(一)一一动点几何问题例 1:在 ABC中，/ B=60° ,BA=24CM,BC=16CM,求 ABC的面积;(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。PBQ的面积是 ABC的面积的如果点P的速度是4CM麻，点Q的速度是2CM眇，它们同时出发，几秒钟后,(3)在第(2)问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少?例2:()已知正方形 ABCD勺边长是1, E为CD边的中点，P为正方形x, APE的面积为函数 V，点出发，沿 A-B 一 C -E运动，到达点 E.若点P经过的路程为自变量(1)写出y与x的关系式

2、(2)求当y= 1时，x的值等于多少？ 3例3:如图1 ,在直角梯形 ABC邛，/ B=90° , DC/ AB,动点P从B点出发，沿梯形的边由 B-C 一 D 一A运动，设点P运动的路程为x , 4ABP的面积为y ,如果关于x的函数y的图象如图2所示，那么 ABC的 面积为()A. 32 B. 18 C. 16 D. 103例4:直线y-x 6与坐标轴分别交于 A B两点，动点P、Q同时从O4点出发，同时到达 A点，运动停止.点 Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线。一 B-A运动.(1)直接写出 A B两点的坐标；(2)设点Q的运动时间为t秒，4OPQ的面积为

3、S,求出S与t之间的函数关系式；_48O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点(3)当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点5坐标.例5：已知：等边三角形 ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段 MN在 ABC的边AB上沿AB方向 以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点 M与点A重合，点N到达点B时运动终止)，过点M、N分另作AB边的垂线，与 4ABC的其它边交于 P、Q两点，线段 MN运动的时间为t秒.(1)线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形 MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；(2)线段MN在运动的过程中，四边形 MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形MNQP的面积S

4、随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.例6：如图(3),在梯形 ABCD中，DC / AB, A 90°, AD 6厘米，DC 4厘米，BC的坡度i 3 ：4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿 AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B C D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时, 另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.(1)求边BC的长；(2)当t为何值时，PC与BQ相互平分;(3)连结PQ,设 PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时,y有最大值？最大值是多少?二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图

5、形的性质(或所求图形面积) 程。直接转化为函数或方例7:如图，已知zABC中，AB AC 10厘米, 中占(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由 在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过是否全等，请说明理由;BC 8厘米，点D为AB的A若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等， 当点Q的运动速度为多少时， 能够使 BPD与4CQP全等？(2)三边运动,若点Q以中的运动速度从点 C出发, 求经过多长时间点 P与点Q第一次在点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 4ABC ABC的哪条边上相遇？例8:如图，在梯形 ABCD中，AD / BC,AD

6、3, DC 5, AB 4/2, /B 45 .动点 M 从 B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长 度的速度向终点 D运动.设运动的时间为 t秒.(1)求BC的长.(2)当MN / AB时，求t的值.(3)试探究：t为何值时，4MNC为等腰三角形.例 9:(如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,/ ABC=90o,AB=12cm,AD=8cm,BC= 22cm, AB为。的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度 运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一

7、点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s) .(1)当t为何值时，四边形 PQCD为平行四边形?(2)当t为何值时，PQ与。相切？例10. 如图，在矩形 ABCD中，BC=20cm, P, Q, M, N分别从A, B, C, D出发沿AD, BC, CB, DA方 向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内， 若 BQ=xcm( x 0),贝U AP=2xcm, CM=3xcm, DN=x2cm .(1)当x为何值时，以PQ, MN为两边，以矩形的边(AD或BQ的一部分为第三边构成一个三角形；(2)当x为何值时，以P, Q

8、, M, N为顶点的四边形是平行四边形；(3)以P, Q, M, N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.*Q M(第25题)练习11 .如图，正方形 ABCD的边长为2cm,在对称中心 。处有一钉子.动点 P, Q同时从点 A出发,A B C方向以每秒2cm的速度运动，到点 C停止，点Q沿A D方向以每秒1cm的速度运动,停止.P , Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为 ycm2 .(1)当0 0 x01时，求y与x之间的函数关系式；(2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求 x值；(3)当10x02时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从

9、触及钉子停止时ZPOQ的变化范围；(4)当00x&2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象.12解(1)当 00x01 时，AP 2x, AQ x, y - AQgAP x ,2即y x .21 _(2)当S边形abpq 1显方形abcd时，橡皮筋刚好触及钉子，2 12 c C1 C CC 1 C24BP 2x 2, AQ x,- 2x2 x 2 2, x -.223到点 D到运动O12 x一4(3)当 1 W x0 时，AB 2 , 3PB 2x 2, AQ x,x 2x 2_22 3x 2,作OELAB, E为垂足.4当 一& x< 2 时，BP 32x

10、2, AQx, OE1,-x, IP y 2yS梯形BEOPS梯形OEAQ90o < / POQ < 180o或 180o <Z POQ < 270o(4)如图所示：2.如图，平面直角坐标系中，直线A* x轴，y轴分别交于A(3,0), B(0,春)两点，点C为线段AB上的一动点 过点C作CDL x轴于点D.(1)求直线AB的解析式；(2)若S梯形OBCD= 33,求点C的坐标； 3(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与 OBAi似.若存在，请求出所有符合条件 的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3解(1)直线AB解析式为：y= -x+<

11、3 .(2)方法一：设点C坐标为x, x+ V 3 ),那么 OD= x, CD=- x+ %13 .33_ OB CDCD _.32-S 梯形 OBCD =x26由题意：1-x2 J3 = 4*3 ,解得 x1 2, x2 4 (舍去)63方法S AOB1 OA OB23-3-2- , SW OBCD4.3,3S ACD,可得CD=6由 OA=V3OB,得 / BAO= 30° , AD=/3CD.12SACD=CDX AD=CD22,3AD=1 , OD=2 . . C (2 , J).(3)当/ OBP= Rt/时，如图若 BO2 OBA,则/ BOP= Z BAO=30

12、76; , BP=, 3 OB=3,- Pi(3,3,OP=- OB=1.BAO= 30 °)(由对称性也可得到点4P4的坐标).若 BPO OBA,则/ BPO= / BAO=30°- P2(i,5.当/ OPB= Rt/时过点P作OPBC于点P(如图)，此时 PBO AOBA, / BOP= / 过点P作PMOA于点M .、，.13.3万法一： 在 RtPBO中，BP= - OB= -y-, OP= 13 BP=-.在 RtPMO 中，/ OPM=30° ,八 13“3 333.3、OM=OP=-； PM= y13OM= P3 ( ,、. 、一.3、3方法:设

13、 P ( x ,x+ v 3 ),得 OM = x , PM = x+ q 3由/ BOP= / BAO彳导/ POM=Z ABO.PM史x ,3OA. tan/POM= -3 , tan Z ABOC= =7'3 .OM xOB置x+6=V3x,解得 x= 3 .此时，P3(n 这3).3444若 POB OBA(如图)，则/ OBP=Z BAO= 30° , / POM=30°PM= -OM = .34当/ OPB= Rt/时，点P在x轴上，不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是 ：一3、33 3、3.3、Pi (3, -3-), P2(1, * 3),

14、 P3( 4，-4-)，P4( 4 ' N .BD=5,求这时点P的坐标。AB 83.如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABO等腰才!形，BC OA OA=Z AB=4, / COA=6 0,点P为x轴上的一个动点，点 P不与点0、点A重合.连结 CP,过点P作PD交AB于点D.(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时， OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标;(3)当点P运动什么位置时，使得/ CPD=/ OAB且解作BQ，x轴于Q. 四边形ABCD是等腰梯形， ./ BAQ= / COA= 60°在 Rt A BQA中,BA=4,BQ=AB sin / BAO=4&

15、lt; sin60 ° =2方AQ=AB cos / BAO=4X cos60 ° =2, OQ=OA-AQ=7-2=5 点B在第一象限内，.点B的的坐标为(5, 2<3)(2)若A OCP为等腰三角形, . / COP=60 ,此时A OC斯等边三角形或是顶角为 120。的等腰三角形若A OC斯等边三角形，OP=OC=PC=4且点P在x轴的正半轴上， 点P的坐标为(4,0)若A OC混顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4 点P的坐标为(-4,0).点P的坐标为(4,0)或(-4,0)若/ CPD=Z OAB / CPAh O

16、CP吆 COP而/ OABW COP=60 / OCPW DPA 此时A OC即A ADP.OP OC"AD AP.BD 5AB 8 . BD 5 AB 5, 82AD=AB-BD=4-5=3 2 2AP=OA-OP=7-OP. OP 4 37 OP2得OP=1或6点P坐标为(1,0)或(6,0).4,已知：如图，在 RtAABC中，/ C=900, AC=4cm, BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点 A匀速运动，速 度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 2cm/s ;连接PQ.若设运动的时间为t (s)(0<t<2),解答下列问题：(1)当

17、t为何值时，PQ/ BC? (2)设A AQP的面积为y ( cm2),求y与t之间的 函数关系式；(3)是否存在某一时刻 t,使线段PQ恰好把RtAABC的周长和面积同时平分？若存在，求出 此时t的值；若不存在，说明理由；(4)如图，连接 PC,并把A PQC沿QC翻折，得到四边形 PQP' C,那么是否存在某一时刻 t,使四边形PQP' C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.解：(1)在 RtAABC 中，AB YBC2 AC 2知：AP = 5 t, AQ = 2t,若 PQ / BC,贝U AAPQ s* ABC,2t 5 t10- , t 一 .7

18、P 作 PHI± AC于 H.s 匕 ABC,45(2)过点APHAQ APAC AB图PH AP . PH 5 t3,.1， ， PH 3 t . . y BC AB 355 '2一_133 2AQPH-2t (33t)-t23t255,(3)若 PQ把GABC周长平分，贝U AP+AQ=BP+BC+CQ . . (5 t) 2t t 3 (4 2t),解得：t 1.若 PQ把"BC面积平分，则 S apq -S abc , 即一3t2 +3t=3. 25t=1代入上面方程不成立，不存在这一时刻t,使线段PQ把Rt9CB的周长和面积同时平分.(4)过点 P作 PM± AC于 M