正多边形和圆、弧长和扇形面积分析

1、正多边形和圆、弧长和扇形面积一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数!学习目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系， 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长=呼冬和扇形面积180n二R的360计算公式，并应用这些公式解决问题.了解圆锥母线的概念， 理解圆锥侧面积计算公式， 理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题.重点难点：重点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系；n°的圆心角所对的弧长| =些£，扇

2、180 形面积S扇二少童及它们的应用；圆锥侧面积和全面积的计算公式.难点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系；弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周 长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程；圆锥侧面积和全面积的计算公式.学习策略：要结合图形真正理解掌握相关概念，注意多观察实物模型、多动手二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”.科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾一一复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗?（一） 多边形的内角和公式为 ，多边形的外角和为 （二） 正n边形有个内角，每一个内角都 ，每一个内角的度数为 （三） 正n边形有个外角，每一个外角都 ，每一个外角

3、度数为 （四） 正n边形有条对角线.（五） 圆的半径为r，则其周长为 ，面积为 0知识要点一一预习和课堂学习O知识点一：正多边形的概念一一-.J勺多边形是正多边形.各边，各角也要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边;（2）各角 缺一不可如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形） 知识点二：正多边形的重要元素（一）正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成 的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.（二）正多边形的有关概念（1） 一个正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中

4、心.（2） 正多边形圆的半径叫做正多边形的半径.（3） 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角.（4） 正多边形的到正多边形的一边的叫做正多边形的边心距.（三）正多边形的有关计算（1） 正n边形每一个内角的度数是 ;（2） 正n边形每个中心角的度数是 ;（3）正n边形每个外角的度数是 知识点三：正多边形的性质（一）正多边形都只有个外接圆，圆有.个内接正多边形.（二）正n边形的半径和边心距把正 n边形分成个全等的直角三角形.（三）正多边形都是图形，对称轴的条数与它的 数相同，每条对称轴都通过正n边形的一；当边数是偶数时，它也是对称图形，它的就是对称中心.0知识点四：正多边形的画法（一）用量

5、角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以 等分圆.（二）用尺规等分圆对于一些特殊的正 n边形，可以用圆规和直尺作图.O知识点五：弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长（圆的周长）公式：一_。的圆心角所对的圆的弧长公式：（弧是圆的一部分）要点诠释：（1）对于弧长公式，关键是要理解1 °的圆心角所对的弧长是圆周长的，即1二 R .2二R =-360180(2) 公式中的n表示1°圆心角的倍数，故 n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3) 弧长公式所涉及的三个量： 、度数、弧所在圆的 一，知道其中的两个量就可以求出第三个量

6、 知识点六：扇形面积公式(一) 扇形定义：由组成圆心角的两条和圆心角所对的所围成的图形叫做扇形(二) 扇形面积公式：半径为R的圆中360。的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n。的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1) 对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1 °的扇形面积是圆面积的，即12-R2 -R360360(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形、扇形、扇形的，知道其中的两个量就可以求出第三个量它与三角形面积公式 S =丄ah有点类似,2(3)扇形面积公式S扇形=1lR，可根据题目条件灵活选择使用, 扇形 2可类比记忆；2(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形=佯 -

7、R-R.扇形 3602 1802知识点七：圆锥的侧面积和全面积连接圆锥和底面圆上任意一点的一叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为 I，底面半径为r，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n°,则圆锥的侧面积，全面积要点诠释：扇形的半径就是圆锥的 ，扇形的弧长就是圆锥底面圆的 因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图形面积，全面积是由 .和 组成的.经典例题-自主学习比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点类型一：正多边形的概念 例1. (1) (2011江苏南通)例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是 中心对称图形

8、.请你再写出它们的两个相同点和不同点相同点：(1) (2) 不同点：(1) (2) (2)如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC、BD交于0点，若分别以 A、B、C、D为圆心，以 OA长 为半径作弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.求证：八边形 EFGHKLMN 是正八边形.例2.已知：如图， ABC是O 0的内接等腰三角形，顶角/ A=36°,弦BD、CE分别平分/ ABC、/ACB.求证：五边形 AEBCD是正五边形町 类型二：正多边形的有关计算例3. (1) (2011广东中山)正八边形的每个内角为()A. 120°B . 135° C .

9、 140°D . 144°(2)已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a, ?求正六边形的周长和面积.举一反三：【变式1】已知，如图，正八边形 ABCDEFGH内接于半径为 R的O 0,求这个八边形的面积探究思考：这个八边形的边长 a=?提示：如图所示，当0A =R 时,AK =0K =a=类型三：考查弧长和扇形的计算如图4,AB切OO于点B, 0A=2 3, AB=3，弦BC/ 0A则劣弧BC的弧长为（).例4.（ 1）（2011广东广州）C.n3D. 2 n（2）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料,?试计算如图所示的管道的展直长度,即A

10、B的长（结果精确到 0. 1mm）例5.如图，已知扇形 AOB的半径为10,/ AOB=60°,求AB的长（结果精确到 0. 1）和扇形AOB的面举一反三：【变式1】如图，AB为L O的直径，CD _AB于点E，交U O于点D， OF _AC于点F （1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2） 当.D =30：'， BC =1时，求圆中阴影部分的面积.LJB类型四：圆锥面积的计算例6. （1） （2011山东泰安）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5 nB. 4nC.3nD.2n58cm,高为 20cm,（2）圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆

11、锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为 要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）举一反三：【变式1】如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50 cm.计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角【变式2】如图，已知Rt ABC的斜边AB=13cm，条直角边 AC=5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个 几何体.求这个几何体的表面积.8三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力.总结规律和方法一一强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧.（一）首先要结合图形真正

12、理解掌握正多边形及其相关的一些概念；（二）在进行正多边形的有关计算时，要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结合勾股定理进行计算；（三）注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形；（四）注意弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位，若圆心角的单位不统一，应先 统一单位，化为度；（五）扇形面积公式S扇二丄IR与三角形面积公式类似把弧长看作底，R看做高就比较容易记忆了；（六）对组合图形面积的计算问题，应认真全面观察和分析图形，避免拿起题目就盲目乱做 经典例题透析商类型一、正多边形的概念s（1） （2011江苏南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它

13、们的相同点与不同点正五边形例如 它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等 它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形 请你再写出它们的两个相同点和不同点相同点：（1）（2）不同点：（1）（2）答案：相同点（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆）;.不同点（1）正五边形的每个内角是 108°,正六边形的每个内角是 120° （或）； （2）正五边形的对称轴是 5条，正六边形的对称轴是 6条（或）.（2）如图，在正方形 ABCD中，对角线 AG BD交于O点，若分别以 A B、

14、C、D为圆心，以OA长为半 径作弧，分别与各边交于 E、F、G H、K、L、M N点.求证：八边形 EFGHKLM是正八边形.G思路点拨：欲证八边形EFGHKLM是正八边形，依据定义，只要证它的各角相等（都为135° ），各边也相等证明：设正方形ABCD勺边长为a,则: EF 二妙+陋-胡二 2R-AB 二（逸-加同理可证幕川- .v'-i：.-/v FG = yl2FB 二眉僅B - AF）二龍（曲 - R）:旳二（炉加同理可证 阳二磁二ZM二厕二（边-1）伉八边形EFGHKLM的各边相等而厶BFG CHK DML AEN都是等腰直角三角形，由三角形的外角性质可得此八边形的

15、每个内角都为90° +45° =135°八边形EFGHKLM是正八边形2 .已知：如图， ABC是OO的内接等腰三角形，顶角/ A=36°,弦BD、CE分别平分/ ABC / ACB求证：五边形 AEBCD是正五边形解：/ ABC是等腰三角形，顶角/ A=36°,/ ABC=72，/ ACB=72 ,又弦BD CE分别平分/ ABC / ACB/ ABDM DBCM ACEM BCEM BAC=36AD = K=AE = BE=BC五边形AEBCD是正五边形.类型二、正多边形的有关计算 &3. （1） （2011广东中山）正八边形的每个

16、内角为（）A. 120°B. 135°C. 140°D. 144°思路点拨:正八边形的每个内角为(4 2)180。_ 泞8，故选B.A解：如图所示,答案：B（2）已知正六边形 ABCDEF如图所示，其外接圆的半径是a, ?求正六边形的周长和面积.思路点拨：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接 OA过O点作OMLAB于M,在Rt AO中便可求得 AM,又应用垂径定理可求得 AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的.M B由于 ABCDEF1正六边形,360°60°

17、;所以它的中心角等于 OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 因此，所求的正六边形的周长为6a1 1一 一 d在 Rt OAM中，OA=a am=2ab=2利用勾股定理，可得边心距所求正六边形的面积=6X- x a xX ABX OM=-举一反三:【变式1】已知，女口图，正八 边形 ABCDEFGF内接 于半 径为 R的OO，求 这个 八边 形的面 积解：如图，分别连结 OA OC及AC由正八边形的对称性，则 ACL OB / AOC=90E四曲 qabc =CxOB探究思考：=4$四腔肌眦三的戸提示：如图所示，当OA=R时,这个八边形的边长 a=?类型三、考查弧长和扇形的计算蛊

18、AC.n（1） （2011广东广州）如图4, AB切OO于点B, OA2幕,AB=3，弦BC/ OA则劣弧的弧长思路点拨:连结OB OC则90°, OB玉，占=30°, ZXO£= 60° ，由弦BC/ OA得60咔_州"胆二 ZAOB 二餅 ，所以 OBC为等边三角形， ZSOC= 60° .则劣弧的弧长为 一_.，故选A.答案：A（2）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，？试计算如图所示的管道的展直长度,即匸的长（结果精确到o.imm）思路点拨：要求一二 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可.AB的长=

19、I -110x40 开=76.8(mm)解：R=40mm n=110因此，管道的展直长度约为76.8mm.思路点拨:解：一二的长=.60x10-“匸=制 1Q.D180.如图，已知扇形 AOB的半径为10,/ AOB=60，求的长（?结果精确到0.1）和扇形AOB的要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足.s 扇形=+. 一.因此，丿的长为10.5，扇形AOB的面积为52.4 .举一反三：【变式1】如图，.：为 的直径， CDLAB 于点，交于点一， 0FLAC ，:点-.（1）请写出三条与二匚有关的正确结论;当 ZD二刖，砂 时，求圆中阴影部分的面积.解：（1）答案不

20、唯一，只要合理均可.例如：丄1匚；匚夕I；二；一二-；_是直角三角形;丄-是等腰三角形.连结丄，则一一一一 lC .丄亠.'：AB 为一 的直径，在丄中，八1, 上一，亠-.'上_'1是上的中位线.»_«_« 兀-筋类型四、圆锥面积的计算 爲6. ( 1) (2011山东泰安)一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是()A. 5 nB. 4 nC. 3 nD. 2 n思路点拨：圆锥的侧面展开图的弧长为2 n ,圆锥的侧面面积为 2n ,底面半径为1,圆锥的底面面积为n ,则该圆锥的全面积是 2n + n =3 n .故选C.答案：C(2)圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm,高为20cm要制作20顶这样的纸帽至少要用