湖南师大附中2017-2018学年高一下学期期末考试数学

1、湖南师大附中2017 2018学年度高一第二学期期末考试数学命题：柳叶 审题：谭泽仁时量：120分钟 满分：150分得分:第I卷(满分100分)、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1 .若a, b, c是平面内任意三个向量，入CR,下列关系式中，不一定成立的是A. a + b= b+a B.入(a+b)= Za+ AbC. (a+b)+c=a+ (b+c) D. b= a2 .下列命题正确的是A.若a、b都是单位向量，则a=bB.若aB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形C.若两向量a、b相等，则它们是起点、终点都相同的向

2、量D.AB与BA是两平行向量3. cos 12° cos 18° sin 12° sin 18° 的值等于31A."2" B.21C- -2,13» 一 2tan x4-函数 f(x)=?r肃x的最小正周期为15兀兀A.了 B.2 C.兀 D. 2Tt5.设a, b是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是A. |a+b|< |a|+|b| B. |a|bg |a+b|C. |a|-|b|<|a|+|b| D. |a|<|a + b|6 .函数f(x) = Asin( cox+昉A , 3, 4为常数，A>

3、;0, 3 > 0, 14 |<2的部分图象如图所 示，则f(兀)=；2'62 x 6A / B. 2 C. 2 D.一看7 .如图，角a、3均以Ox为始边，终边与单位圆。分别交于点A、B,则OA OB =A . sin( a B. sin( a+ 份C. cos( a 9 D . cos( a+ 份兀兀38 .已知"4-< a< -2-, 且 sin a cos a =行，则 sin a cos a 的值是105 B. 52D.9 .已知a 0, 5 , cos套+ a =1,则sin a的值等于 2632V6-1622 732f2 + V32m 1

4、6 B. 6 C. 6兀.一 一 . 一一. 兀 10 .将函数y=3sin 2x+ 的图象向右平移 万个单位长度，所得图象对应的函数 a.在区间72上单调递减B.在区间H，72上单调递增兀 兀 c.在区间与，万上单倜递减兀 兀 D.在区间一言，3上单倜递增11.设。是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三点，动点P满足oP=oA + AB. AC.、入二 十二 ，入C 0, +oo),则点P的轨迹必经过 ABC的|a B 1cos B |a C 1cos CA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答题卡题号1234567891011得分答案、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分

5、.仅已知直线x = Z是函数=阿2X+协的图象上的一条对称轴,则实数°的最小正值为.13 .已知 sin a + cos 3=1, cos a + sin 3 = 0,则 sin( a+ 9 =14 .已知aBaC, |aB11AC|= 1点P为线段BC上一点，满足舒=普 +号.若点 |a b| 4|a c|Q为4ABC外接圆上一点，则AQ AP的最大值等于三、解答题：本大题共3个小题，共30分.15 .（本小题满分8分）已知cos求tan5sin a cos a =1.(2)求 tans + sin aa的值；2a+Y的值.16 .(本小题满分10分)乙UTL兀已知向重 a = (

6、J2sin a , 1), b= 1, sin a + 若角a的终边过点(3, 4),求ab的值；(2)若all b,求锐角a的大小.17 .(本小题满分12分)兀LC已知函数 f(x) = sin - x sin x <3cos2x.求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨if(x)在y, / 上的单调性.第n卷(满分50分)一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分.18 .两等差数列an和bn,其前n项和分别为Sn、Tn,且Sn= 7n：:,则a23 a20等于 Tn n+ 3b7+ bi5(x+1) 2+ sin x .一 .一 .19,设函数f(x)=s的最大值为M，最小值为m，

7、则M + m =.二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PAL底面 ABCD , AD ±AB , AB /DC , AD=DC = AP =2, AB = 1,点E为棱PC的中点.(1)证明：BEXDC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.21.（本小题满分13分）在四边形 ABCD 中，AD/BC, AB =g /A=120° , BD = 3.求AD的长；(2)若 / BCD = 105,求四边形ABCD的面积.22.(本小题满分13分)已知函数 f(x) =

8、x|xa|+bx(a, bCR).当b= 1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值；(2)当 b=1 时，若对于任意x C 1 , 3,恒有匚区一<2jx + l,求a的取值范围; x若a>0,求函数f(x)在区间0, 2上的最大值g(a).湖南师大附中2017 2018学年度高一第二学期期末考试数学参考答案、选择题题号1234567891011答案DDACDBCBCBD1. D【解析】 选项A,根据向量的交换律可知正确；选项 B,向量具有数乘的分配律，可知正确；选项C,根据向量的结合律可知正确；选项D, a, b不一定共线，故D不正确.故选D.2. D 【解析】A.单位

9、向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B.A、B、C、D 四点可能共线，故B不对；C.只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终 点无关，故C不对；D.因AB和BA方向相反，是平行向量，故D对.故选D.一一33. A【解析】cos 12 cos 18 -sin 12 sin 18 =cos (12 书8 )= cos 30 =2,故选 A.tan x sin xcos x 12 兀4. C【解析】函数£仅)=奇扃=蕊丁蕊=3§n 2x的最小正周期为-2=7t,故选C.5. D 【解析】由向量模的不等关系可得：|a|bg|a+b|w|a|+|b|.|a+b|w

10、|a|+|b|,故 A 恒成立.|a|-|b|< |a+b|,故 B 恒成立.|a|-|b|< |a+b|<|a|+|b|,故 C 恒成立.令 a=(2, 0), b=(-2, 0),则同=2, |a+b|=0,则 D 不成立.故选 D.6. B【解析】根据函数的图象 A = V2.由图象得：T=4 7_=兀, 12 3LL r、>27t所以 3=三=2.兀当x = 3"时，f q = /2sin2兀.-T-+ j= k3兀,兀由于| 4方取k=1,解得:兀 一一 .、.L冗4= 3,所以 f(x) = V2sin 2x + 3 .则：f（兀）=坐，故选B.7

11、. C【解析】根据题意，角”，3均以Ox为始边，终边与单位圆。分别交于点A, B,贝U A(cos a, sin *,B(cos 3 sin 3),则有 OA OB = cos acos 3 +sin asin 3 =cos ( a四；故选C.8. B【解析】(sin a -cos a)2= sin 2 a 2sin acos a +cos 2 a=(sin 2 a +cos 2a) 2sin acos a；又sin 2 a +cos 2 a =1 , sin acos a310' .(sin232c cos a) = 1 2X 10= 5；得sinc cos a ;5兀“亚a<

12、 2,知 2 <sin a<1 , 0<cos故有 sin a cos a >0,贝U sin10 ."CoS 的值是5 .故选B.9. C【解析】兀兀如（。,2）， 6+兀a 一6'由cos”=3,得兀sin -+ a =2 兀221 - cos + a = 3 ,则 sin a =sin= sin兀 兀 兀 兀乳2亚in2册16+ acosg-cos-+ a sinQ= 32 - 3 2 =6.故选 C.一 一立 ,，一 心 ， 一一，兀 .1一，3sin 2兀x210. B 【解析】将y = 3sin 2x + 3的图象向右平移万个单位长度后得到

13、y =即y=3sin2x 在的图象，令一行+ 2k兀 2x干吃+2k兀，kCZ,化 ux3232 简可得x C + k兀 + k兀,kCZ,即函数y = 3sin 2x 的单调递增区间为 11+ k Tt,看+ kit，kCZ,令k=0,可得y= 3sin 2x?在区间12, 2上单调递增，故选B.11. D 【解析】由题意可得OPOA = AP =ABAC入 I f I+ I > I|aB | cos B |aC | cos C AB BC AC BC 所以 AP BC =入-T,+ 7Z7.|ab|cos B |ac|cos c=?(-|bc|+|Bc|)=0,所以aPBC,即点p在

14、bc边的高所在直线上,即点p的轨迹经过4ABC的垂心，故选D.、填空题12 .兀 【解析】(略)113 . - 2 【解析】sin a +cos 3=1,两边平方可得:sin 2 a +2sin a cos 3 +cos 2 3 =1,cos a +sin 3 =0,两边平方可得：cos 2 a +2cosasin 3 +sin 2 3 =0,3)= 1,即 2+2sin(a+ 份=1,由 +得：2 + 2(sin acos 3+cos asin- -2sin( a+ 9 = 1. ,、1- sin( a+ 份=2.17 一14 【解析】- ABIAC, |AB|AC|=1,建立如图所不坐标系

15、，设 81B10 , C(。，t),1 AB= p0 , AC = (0, t), APABAC1|aB| 4|aC|tc 110 +4t(0, t) = (1, 4),1P。，R，P为线段bc上一点，可设PC=入PB,，, 1从而有 一1, t4 =入入1=-1,-1解之得t=/.B(2, 0),1c 0, 2 .显然p11, 4为BC中点，点P为4ABC外接圆圆心.Q在4ABC外接圆上，又当aq过点p时|AQ|有最大值为2|AP|="27,此时AP与AQ 夹角为 0= 0°, cos 9=1.，(APAQ)max三、解答题15.【解析】（1）由题意，cos a4,5si

16、n a cos a由=1,可得cos a +sin a5tan a 1=1，1 + tan a即 5tan a 1 = 1 + tan a,解得 tan1 ,八、2 =2.(4 分)（2）由（1）得2tan a 4tan 2 a =-2- = 3,tan 2 a+ 1=-7.(8 分)1-tan 2 a16【解析】角a的终边过点（3,4), ，r 32 + 42 = 5,.sina =：4cos 5a =x = 3；r 5' .a b= V2sin & +sin兀a+ 74=.2sins +sin acos-+ cos asin-7X4+4X落3*亚=述(5分)25 52522

17、 .(5 4 )(2)若 a/ b,则也sin asin a+； =1，即也sin a sin acos+ cos asin = 1， .sin 2 a +sin acos a =1 ,sin a cos a=1sin 2 a =COs 2 a ,对锐角a有cos a为，.tan a =1,兀，锐角a= 4.(10分)17.【解析】(1)f(x) = sin X sin x43cos 2x3“0、=cos xsin x - -2-(1 + cos 2x)1.八 亚-或-一 兀=2sin 2x 2 cos 2x 2 = sin 2x 因此f(x)的最小正周期为兀，最大值为21.(6分)当xC 6

18、,q时，jx3”,从而当0<2x-兀 兀< .3 2'7t5兀即gW* xw彳2时，f(x)单调递增； 丁 2x 兀即磊兀wxw至-时，f(x)单调递减. 23123综上可知，在6,12上单调递增；在2 兀 、，,子 上单调递减.(12分)14918. 24、,a2+ a20a+a21S21 149【解析】=S-=9.b7+b15 b+b21T2124x2+1+2x+sin x 2x+ sin x19 . 2 【解析】 可以将函数式整理为f(x) =-=1+一年J,不妨令g(x)2x+ sin x，函数f(x)图象关于点(0, 1)对称.若x=x0时，函数f(x)取得最大值

19、 M,则由对称性可知,当x=xo时，函数f(x)取得最小值m,因此，M + m = f(xo)+f( xo) = 2.20 .【解析】(1)如图，取PD中点M,连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点，1. 一 故EM /DC,且EM=DC,又由已知，可得EM/AB且EM = AB ,故四边形ABEM为平行 四边形，所以BE / AM.因为PA，底面ABCD ,故PAX CD,而CD IDA ,从而CD,平面PAD,因为AM畀；平 面 PAD,于是 CDAM,又 BE/AM,所以 BE，CD.（5 分）（2）连接BM ,由有CD,平面PAD,得 CDXPD,而 EM / CD,故 PD

20、XEM ,又因为 AD = AP, M 为 PD 的中点,故 PDXAM , 可得PDXBE,所以PDL平面BEM ,故平面BEM，平面PBD.所以直线 BE在平面PBD内的 射影为直线BM ,而BELEM,可得ZEBM为锐角，故/ EBM为直线BE与平面PBD所成的 角.依题意，有PD = 242,而M为PD中点，可得AM =J2,进而BE =，2.故在直角三角形 BEM 中，tan/EBM =器=露=赛，因此 sin/EBM：2.3 八所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 33.（13分）21.【解析】（1）二.在四边形ABCD中，AD /BC, AB =73, ZA = 120

21、76;, BD = 3.3+AD29由余弦定理得cos 120° 一尸,2X43XAD解得AD =乖（舍去AD = - 2乖）,.AD的长为 5.（5分）（2） / AB =AD = V3, ZA=120°, ，ZADB =2（180° 720 ）=30°,又 AD /BC , DBC =/ ADB = 30°.,. ZBCD = 105°, ZDBC = 30°, .zBDC = 180° 705° -30° =45°, ABCD 中，由正弦定理BC 3得=,解得 BC=343 3.

22、(9 分)sin 45° sin 105°从而 Sz6dc = 2bC- BDsin ZDBC = |x (3>/3- 3)x 3x sin 30° (5i).(10 分)S/ABD =2AB x ADsin A=gx 正x 平Xsin 120° =4V3.(11 分)12小9 S= S ZABD + S/BDC = -一4一.(13 分)22.【解析】(1)当 b=1 时，f(x) =x|x- a|-x = x(|x- a|-1),由 f(x) = 0,解得 x= 0 或|x a|= 1,由|xa|=1,解得 x=a+1 或 x=a 1.f(x)恰有两个不同的零点且a+ 1 w a 1,-1-a+ 1 = 0 或 a1 = 0,得 a= H.(4 分)(2)当 b= 1 时,f(x) = x|x- a|+ x,f (x)1对于任意xC 1, 3,恒有W2x+1,x x|x a|+ x 厂即一xw 20x+1,即 |x- a|< 2,jx-1 1,. xC 1 , 3时，2<x+1 1>0,.1-1 - 2yjx-1 < x - a< 2x+ 1 - 1,a< x + 2/x+ 1 1,即xC1, 3时恒有f成立.a>x-2yx+1 + 1,令 t