必修2导学案第一章1柱、锥、台体性质特征

1、必修2第一章1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计算1 旋转体 一般地，一条平面曲线绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体。 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1.圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征问题1.下面的几何体与多面体不同，仔细观察这些几何体，它们有什么共同特点或生成规律？上面的几何体分别是什么平面图形通过旋转而成?分别以矩形、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体， 分别叫做圆柱，圆锥，圆台。问题3.仿照圆柱中关于轴、底面、

2、侧面、母线的定义，在图中指出圆锥与圆台的轴、底面和母线？ 圆柱、圆锥、圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台,这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面,无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线。圆柱、圆锥、圆台的表示方法：用表示它们的轴的字母表示，如：思考题： 1平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的截面是什么图形？ 过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的截面是什么图形？圆柱、圆锥、圆台的性质性质1：平行于底面的截面都是圆性质2：圆柱的轴截面是全等的矩形 圆锥的轴截面是全

3、等的等腰三角形 圆台的轴截面是全等的等腰梯形圆台的性质平行于底面的截面都是圆，过轴的截面都是全等的等腰梯形，母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点.问题4.圆柱、圆锥、圆台之间的关系，2. 球： 定义1、在空间内，到一个定点的距离等于定长的点的集合是一个球面；到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是一个球。 定义2：圆绕着它的直径旋转一周形成的曲面叫球面，球面所围成的几何体叫球体。 其中半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 球的表示方法：用表示球心的字母O表示。 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面，用一个平面去截球面，截线是圆。 截面性质、 （1）

4、.球心和截面圆心的连线垂直于该截面. （2）.心到截面的距离d,球的半径R和截面圆的半径r,有如下关系:球R2=r²+d2 大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的圆叫做小圆。（0<d<R ） 课堂练习 1.判断正误：（对的打，错的打×） (1)半圆以其直径所在直线为轴旋转所成的曲面叫球。 (2)到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球. (3)球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。（1）×（2）×（3） 2.如果在球面上有两个不同的点，那么在这个球上可以得到多少个大圆（） 个

5、个或无数个 C个个或无数个 3.用一个平面截半径为5cm的球，截面圆半径是3 cm,求球心到截面的距离.变1.用两个平行平面截半径为5cm的球，两截面圆半径分别为3 cm、4cm,求两个平行平面之间的距离.变2.用一个平面截半径为5cm的球，截面圆面积是9 cm²,求球心到截面的距离.变3.在半径是13的球面上有A、B、C三点,AB=6,BC=8,CA=10,求球心到经过这三点的截面的距离. 变4.在半径是13的球面上有A、B、C三点,AB=6,BC=6,CA=6,求球心到经过这三点的截面的距离.例2.如果一个圆柱恰好有一个内切球，试作出它们的一个轴截面(过轴的截面)图形。 例4圆柱

6、、圆锥、圆台的截面一般要掌握三类：一是平行于底面的截面，二是经过旋转轴的截面即：（即：轴截面），三是经过两条母线的截面，试说出这些截面的形状。答：平行于底面的截面都是 ，圆柱、圆锥、圆台的轴截面依次是：圆柱的轴截面是全等的矩形； 圆锥的轴截面是全等的等腰三角形；圆台的轴截面是全等的等腰梯形。经过两条母线截面依次是：矩形； 等腰三角形；等腰梯形。思考：选择一些平面曲线，绕其所在平面的一条直线旋转，想像其生成的曲面，你能画出它的示意图吗？4圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式5 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式球：V=4/3R3S=4R2注意S-底面积，R表示半径，h表示高

7、 圆台：1) 侧面积=(R1+R2)*l ；2）全面积=R1(l+R1)+R2(l+R2)；3)体积=(1/3)H(R12+R22+R1*R1). R1-下底圆半径,R2-上底半径,l-圆台的母线长,i=H2+(R1-R2)2, H-圆台的高.圆柱：1) 侧面积=2RH；2) 全面积=2R(H+R)；3) 体积=R2*H. R-圆柱底圆的半径,H-圆柱的高.圆锥：1)侧面积=Rl,2) 全面积=R(l+R),3) 体积=(1/3)R2*H；R-圆锥底圆半径,I=(R2+H2) -圆锥的母线长,H-圆锥的高. 三.棱柱、棱锥、棱台的本质特征1、 空间几何体思考：观察下列图形，该如何将其分类？分类

8、的标准是什么？如果我们不考虑这些物体的颜色、质地、材料等因素，只考虑物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。（一）、多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。 思考：一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？ 知识探究（一）： 棱柱 1、定义： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个相邻四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱 2、结构特征（1） 底面互相平行；2）侧面都是平行四边形；3）侧棱平行且相等理解棱柱的定义过BC的截面截去长方体的一角，截去的几何体是不是棱柱，

9、余下的几何体是不是棱柱？答：都是棱柱 观察长方体，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？答：三对平行平面；这三对都可以作为棱柱的底面观察右边的棱柱，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？答：四对平行平面；只有一对可以作为棱柱的底面棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底面吗？答：不是棱柱两个互相平行的底面以外的面都是平行四边形吗？ 答：是为什么定义中要说“其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，”而不简单的只说“其余各面是平行四边形呢”？ 答：满足“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”这样说法的还有右图情况，如图所示所以定义中不能简单描述成“其余

10、各面都是平行四边形”3、 棱柱的分类 棱柱可以按恻棱与底面垂直与否分为斜棱柱与直棱柱；也可以按棱柱的底面多边形的边数是三角形、四边形、五边形、 分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、 底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。4、 底面、侧面、侧棱、顶点 两个平行的面叫底面，其余各面叫侧面，两个面的公共边叫棱。其中，两个侧面的公共边叫恻棱。底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点。思考：一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？棱柱的表示方法：用表示底面各顶点的字母表示，如四棱柱ABCD-ABCD。知识探究（二）： 棱锥的结构特征 1、棱锥定义：有一个面是多边形，

11、其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥ABCDS 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、(其中三棱锥又称四面体)棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD。 3、正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面的中心的棱锥叫正棱锥。 棱柱可以按恻棱与底面垂直与否分为斜棱柱与直棱柱；也可以按棱柱的底面多边形的边数是三角形、四边形、五边形、 分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、 底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 4、底面、侧面、侧棱、顶点 多边形面叫底面，其余各面叫侧面，每两个面的公共边叫棱。其中，两个侧面三角形的公共边叫

12、恻棱。各个侧面三角形的公共顶点叫作棱锥的顶点。试一试：用符号表示以下几何体思考1：一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？ 答：至少有4个面；1个底面，N个侧面，N条侧棱，1个顶点.思考2：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？ 知识探究（三）：棱台的结构特征 1、定义： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台. 2、 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。 思考1：棱台有哪些结构特征？ 棱台：每条侧棱延长后 ，两底面是 且 的多边形。（平行且相似）（1）、有两个面是互相平行的相似多

13、边形，（2）、其余各面都是梯形，（3）、每相邻两个梯形的公共腰的延长线共点. 3、底面、侧面、侧棱、顶点 截面与原来棱锥的底面（两个平行的面）叫棱台的底面，其余各面叫侧面，两个面的公共边叫棱。其中，两个侧面的公共边叫恻棱。底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱台的顶点。思考2： 下列多面体一定是棱台吗？如何判断？ 例1 一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？例2.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ） A. A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 B. A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3 C. A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C

14、1=2,AC=4 D. AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1例3.下列命题其中正确的有（ ）（1）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台（2）两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台（3）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例4.下列命题其中假命题的有（ ）（1）棱柱的侧面都是平行四边形（2）棱锥的侧面都是三角形，且都有一个公共顶点（3）多面体至少有四个面（4）棱台的侧棱所在的直线均交于同一点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 直棱柱、正棱锥、正棱台表面积与体积1、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开

15、图若干个小矩形拼成的一个 ， 若干个 ，若干个 .（2） 表面积及体积公式： 1、直棱柱和正棱锥的表面积 （多媒体演示侧面展开图） 名称侧面积(S侧)棱柱棱柱直截面周长×l直棱柱ch棱锥棱锥各侧面积之和正棱锥ch棱台棱台名称体 积(V)棱柱棱柱S底·h=S直截面·h直棱柱S底·h棱锥棱锥S底·h正棱锥棱台棱台h(S上底+S下底+)名称全面积(S全)棱柱棱柱S侧+2S底直棱柱棱锥棱锥S侧+S底正棱锥棱台棱台S侧+S上底+S下底例1、已知正四棱锥（如图）底面正方形的边长为,高与斜高的夹角为，求正四棱锥的侧面积及全面积（单位：）例2、粉碎机的下料斗是

16、正四棱台形（如图），它的两底面边长分别是和，高是，计算制造这个下料斗所需铁板的面积是多少？例3、正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截， 得到正六棱台和较小的棱锥:（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；（2）若大棱锥的侧棱长为,小棱锥底面边长为，求截得的棱台的侧面积和全面积。【典例分析】例4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _ 例5如图，三棱锥一条侧棱，底面一边，其余四条棱的棱长都是，求三棱锥的体积例4三棱锥的顶点为，已知三条侧棱两两垂直，若，求三棱锥的体积【跟踪练习】1三棱台中，则

17、三棱锥，的体积之比是（ ）ABCD2如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且，均为正三角形，则该多面体的体积为（ ）ABCD【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1下列命题正确的是（ ）(A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。2根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称：（1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其

18、他面都是全等的矩形。（2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。3五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。4一个气球的半径扩大倍，它的体积扩大到原来的几倍？【课中35分钟】边听边练边落实5如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（ ）（图在教材P8 T1 (3)）6已知圆台的上下底面半径分别是r，R，且侧面面积等于两底面面积之和，求圆台的母线长。7如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求长方体的体积与剩下的几何体的体积的比。 8一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm，求球的体积与表面积。【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1.填空