空间解析几何答案

1、第1页共9页空间解析几何复习题(答案)1.已知|a| = 1,|b|=4,|c|=5,并且a b c = 0. 计算a b b c c a. 解：因为|a| = 1,|b|= 4,|c| = 5,并且a b c=0所以a与b同向，且a b与c反向因此a b=0,b c=0,c a=0所以a b b c c a=02.已知|ab| = 3,| a b| = 4,求|a | |b |.(1)2+(2$得(a=25b=5y-2二_2y_5zi z 2x j 5x_yk=0所以；fi.-2y -5z亠z 2x亠5x -y $ = 0即29x25y226z220yz 4xz-10 xy二0又x与a共线，

2、x与a夹角为0或二解：| a b | = |a b cos日=3(1)b |= a bsinB = 4(2)所以3 .已知向量x与a(,1,5,-2)共线,求向量x的坐标.解： 设x的坐标=1,5,-2(1)又x与a共线，则-0-2-2第2页共9页cos0 =1 =x2y2z212+52+(_2 f *x2+ y2+z2胡30整理得x2y2z210(3)第3页共9页5已知点A(3,6,1),B(2,-4,1),C(0,-2,3),D(-2,0,-3),(1)求以AB,AC,AD为邻边组成的平行六面体的体积.求三棱锥A - BCD的体积.求BCD的面积.(4)求点A到平面BCD的距离.解：因为A

3、3,0,1,B 2,-4,1,C 0,-2,3,D -2,0,-3所以AB= ：一1,_10,0AC = -3,-8,2联立1、2、3解出向量x的坐标为右右-14 .向量a,b,c具有相同的模，且两两所成的角相等，若a,(1,1,0)和(0,1,1),求向量c的坐标.b的坐标分别为解：a| = b=|c = r且它们两两所成的角相等，设为日则有a b=10 110 1=11r贝ylb设向量c的坐标为X, y,za b cos9 = r=y + z = b - c cos9 = rr =1r丄=12 Ir(1)(2)=x2y2z2= r12122 -022所以x2y2z =2(3)x =1联立(

4、1 )、(2)、求出 y = 0或z = 1所以向量c的坐标为1,0,1或1 413,3, 31“ y =第4页共9页AD - -5, -6,4(1)AB, AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积02 3 +100 +0(0120 +12)=1764188176二63_ _ i jBCxBS=-2 2-44k2 =16i -16j +0k-4所以BCXBD = J(-16 f +( 16f =16J0，这是平行四边形BCED的面积6求经过点A(3,2,1)和B(-1,2,-3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程. 解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为Ax Cz D = 0(1)把点

5、A 3,2,1和点B -1,2, 3代入上式得3A C D = 0(2)- A -3C D = 0(3)由(2), (3)口D _ D得A =,C =22DD代入(1 )得-xz D =02 2消去D得所求的平面方程为1因此S.BCD(4)设点A到平面I1BCED = 16.2=8.22BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥1VTSBCDH3A - BCD的体积所以H二空LS.BCD3883118、.2 211.22-1-10V = -3-8-5-6(2)由立体几何中知道，四面体ABCD(三棱锥A - BCD)的体积1VT=6V(3)因为BC二 一2,2,2，BD二-4,4,4A习题八.3图第

6、5页共9页X y z7求到两平面x y2一6=0和2 -5 V1距离相等的点的轨迹方程解；设动点为M x, y,z，由点到平面的距离公式得32一1222_5222一102所以3x y + 2z 6 =空1( 5x + 2y 10z + 10)V1298已知原点到平面:-的距离为 120,且在三个坐标轴上的截距之比为-2:6:5,求的方程.解：设截距的比例系数为k,则该平面的截距式方程为x y z _1-2k 6k 5k化成一般式为-15x 5y 6z -30k =0又因点O 0,0,0到平面的距离为 120,则有-30k| 丨- =120讥一15$十52十62求出k =：4、286所以，所求平

7、面方程为-15x 5y 6120 286二09 若点A(2,0, -1)在平面上的投影为B(-2,5,1),求平面的方程.解：依题意，设平面的法矢为n =14,-5,2代入平面的点法式方程为4x 2 - 5 y - 5 - 2 z - 11= 0整理得所求平面方程为4x -5y - 2z 35 = 010. 已知两平面：mx 7y -6z -24 =0与平面：2x-3my 11z-19二0相互垂直，求m的值.解：两平面的法矢分别为m二m, T,-6,门2二2, -3m,11，由m丄压，得2m - 21m - 66 = 066求出m - -一|3z - y + 2z - 6| 5x 2y -10

8、z 10第6页共9页1911.已知四点A(0,0,0),B(,2,-5,3),C(0,1,-2),D(2,0,7),求三棱锥D -ABC中ABC第7页共9页面上的高.解：已知四点A0,0,0 ,B 2,-5,3,C 0,1,-2 ,D 2,0,7,则DA- -2,0,-7 , DB = 0,-5,-4 ,DC - -2,1,-9由DA,DB, DC为邻边构成的平行六面体的体积为-20-7V = (DA,DB, DC )= - 0-5 -4-21-9-L 90 0 0 - - 70 0 8 1十90 70 - 8=28由立体几何可知，三棱锥D - ABC的体积为1114VD辭cV28二663设D

9、到平面ABC的高为H则有1VD ABCH SABC3所以3VD山BCH =-S.ABC又AB二2,5,3,AC二0,1,-2k3=7i +4j +2k-212.已知点A在z轴上且到平面：4x-2y-7z 74=0的距离为 7,求点A的坐标.解：A在z轴上，故设A的坐标为0,0,2，由点到平面的距离公式，得7z+14.742-22-72所以-7z 14 h 769则z = 2 _ 690 1所以,SABCJABsc2二1,7242222因此,1428,6928 6969第8页共9页那么A点的坐标为A 0,0,2 _ . 6913.已知点.A在z轴上且到点B(0,-2,1)与到平面:6x-2y 3

10、9的距离相等，求点A的坐标。解：A在z轴上，故设A的坐标为0,0, z，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得*02+(_22+(1 _z2=3z_9J62- 2f+322化简得40z -74z，229 =02因为(74) 440 x229=311640方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。X 1 y _1z 1xyz亠114.求经过点P(1,-2,0)且与直线和都平行的平面的方11 01-10程.解：两已知直线的方向矢分别为w = 1,1,0 , v2二1, - 1,0，平面与直线平行，则平面的法矢a = A,B,C与直线垂直由a丄v1，有A B 0( 1)由a丄V2，有A-B-0=0

11、(2)联立(1), (2)求得A=0, B = 0,只有C H0又因为平面经过点P 1, - 2,0，代入平面一般方程得0 10-2 C0 D=0所以D = 0故所求平面方程Cz = 0,即z = 0，也就是xoy平面。X 1 y 3 z15.求通过点 P(1 , 0, -2)，而与平面 3x-y+2z-1=0 平行且与直线相交的直4-21线的方程.解：设所求直线的方向矢为v=：m,n,p,第9页共9页直线与平面3x 2z - 0平行，贝U v丄n,有由（1），（2），（3）得知，将A, B,C作为未知数，有非零解的充要条件为xyz211 =0344即8x -5y -11z =0，这就是求作的

12、平面方程。X - 2 y z川117求点P（1,T,0）到直线的距离.1-10解：点A2,0,-1在直线上，直线的方向矢v=1,-1,0(1)直线与直线X1_y 3=-相交，即共面4-21mnP则有4-21=01-13-00 + 2所以7m 8 n +12 =0(2)由（1）, （2）得mnP-，即-1 223【3-1l-8 1212-7p-8P-31x -1 _ y _ z 24一-50一-31x3 v+4 z416求通过点A(0,0,0)与直线的平面的方程.21 1解：设通过点A(0,0,0)的平面方程为A(x-0) B(y - 0) C(z-0) =0Ax By Cz = 0(1)又直线

13、3二上4=z 4在平面上，则直线的方向矢21 1所以2A B 0v与平面法矢n垂直（2）直线上的点3,-4,4也在该平面上，则3A 4B 4C =0(3)3m - n 2 p = 0m n4取m = 4,n-50,p = -31，得求作的直线方程为第10页共9页AP = T,T,1,则AP与v的夹角为第11页共9页AP v1+1+0cos 0AP|v| J(仃+(_1 f +121(-1 f所以 V -900因此点P(1, 1,0倒直线的距离为d = AP = J(1)2+(lf+12= J33x_y+2z_6=0 .丄、18九取何值时直线丿与Z轴相交？x +4y - Xz15 =03x-v+

14、2z-6=0一解：直线丿与z轴相交，则有交点坐标为(0,0, z),x +4y - hz -15 =0”2z6 = 0由直线方程得丿，求得人=-5jz-15 =0 x + 2z = 019.平面x + y +z +1 =0上的直线l通过直线l1:丿与此平面的交点且与y + z+1=0直，求l的方程.解：依题意，l与h的交点在平面上，设通过交点的平面方程为x y z V y z1x 2z = 0即1 x 1 ，y 1：；二汕2.L：z 1 ，- 0(1)x + 2z = 0已知直线h的一组方向数为y +z +1 = 0将，-,J-1代入(1 )得2x11z10L2z =3卩=1I31 +卩=2*

15、2、_1 _ 4 =2 +2& +4卩得l1垂所以由直线与平面垂直得mnP0 22 11 01 11 00 1mn=卫-2-111 . ,! 1 . , 1亠 亠22 1 -1所以丿第12页共9页333333第13页共9页故所求直线方程为jX + y + z+1=02x + y z+1 =020.求过点(-3,25)且与两平面x - 4z = 3和3x - y平行直线方程.解： 与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行， 则直线的方向矢垂直于这两平面法矢 所确定的平面，即直线的方向矢为i j k104=Yi13jk3-11将已知点代入直线的标准方程得x 3 y-2 z-54一13一1x目_z *15=0，求该平面的方程.解：设求作的平面为Ax By Cz = 0(1)直线5=上-在该平面上，则有点-5,2