一次函数及其图像知识点总结

1、2第一部分：变量与函数1、 函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。2、函数的三种表示方法：3、学习函数在现阶段我们主要关注函数的哪些特征及性质：(1)定义域（即自变量的取值范围或者说x的取值范围）(2)值域（即因变量的取值范围或者说y的取值范围）(3)图像与x轴和y轴的交点坐标及其意义（与 x轴的交点，表示当 y=0,x =;与 y轴的交点表示当 x =0, y = ）（4） 极值点：包括最大值及最小值的对称。（7）、位置关系：主要包括直线的平行与垂直。特别是平行，以及平移的研究：包括点的上、下、左、右平移及及直线的上、 下、左、右平移。（8）、函数与方程、不等式之间的关系。J第二部

2、分：函数的图像<-+)(+.+)2 -A1、直角坐标系组成；以及各象限上点的特征。n011 -A(2,1)n111 2(-)仕-)*2、点的表示（横坐标，纵坐标）注意：不要丢了括号和中间的逗号；表示的意思：当 x= 时，y= 如点A（2，1） 表示：当x=2时，y=1同时要注意x轴上点的特征：（,0）即纵坐标等于0;y轴上点的特征：（0, ） 即:横坐标等于0。概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。3、点P（a,b）到x轴的距离为 ;至 y轴的距离为 3在解决面积问题中经常用点，主要用于充当三角形的高。如下列求阴影部分的面积:12'A(2,1)-11 2-1 *#64

3、、点的对称性研究：（如果忘记了，可以自己作一个直角坐标系研究一下）P（a,b）关于x轴对称;关于y轴对称;关于原点对称 思考：如何解决点关于 y=x, y=-x对称，以及点旋转 90 °之后的坐标。5、 点的平移：P（a, b）向上平移2格;向下平移3格;向右平移1格;向右平移5格 （概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）6、两点之间的距离 在同一条水平上线上的时候：求A、B两点之间的距离A(-2,3)B(4,3)1A(-2,3)ABOo'B(-2,2) %1概括：A、B两点之间的距离为：洛-X2或y - y2当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角

4、形的方法来进行求解的，这就需要用到 勾股定理的相关知识，同时也要用到中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。x+x2 y +y2A、B两点的中点坐标为：（一 -，-）2 27、1 ）、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面 确定x的取值范围，特别要小心有些情况下x并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。 初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。X的指数来判断，也可以通过变化速度是匀 判断函数图像是直线、曲线、还是双曲线（可以通过速的还是变速的来进行判断） 最后从函数与x轴（未必一定会有）、y轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（

5、如关于x轴、y轴、原点对称或者关于某一条直线对称等）；分段性；从而画出比较准确的草图。所表示的意义：当x = _2时，y - _6时方程y =2x _2 （或y -2x - -2）这个二元一次方程的一组解。2 ）、作图的一般步骤：列表、描点，连接注意：在列表的过程中，我们应该去体会方程的解与函数图像上的点之间的关系；同时要学会如何判断 一个点是否会在该函数图像上。列表：并绘制出下列两个函数的图像。x当x =-3-2-101232y =x 2x 3y =1250-3-4-30y =2x 2y =-8-6-4-2024描出y =2x_2图像上的点，我们挑出其中一个点（-2,-6）显然这个点在其函数

6、图像上，同时这个点3）、如何判断一个点是否在该函数图像上（其本质就是判断这个点所代表的x, y的值是不是方程的解。如：判断点（4, 6）是否在函数y = x2 -2x -3图像上，即相当于x = 4, y = 6是不是方程y=x2-2x-3 的解。或者说：当 X =4， y =x2 -2x -3 =42 -2 4 -3是否会等于6。4 ）、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标如：y =2x2的图像上 已知点A的横坐标为2，点B的纵坐标为-4;求点A、B的坐标。解析：A点相当于问你，当x=2时，y=_ ； B点相当于问你：y=4时，x =第三部分：一次函数与反比例函数1、 一次函数： y

7、=kx "（knO） 正比例函数： y=kx（k=O）k反比例函数（共三种表示方式）：y二一 y = k（ xy二k（kO）x其中xy =k更方便于求解解析式，而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上。k1提醒：关于y 中k等于多少该如何判断得引起大家的重视；如 y 中的k是多少呢？x2x2、一次函数的作图：首先它的图像是一条直线，而确定一点直线只需要两个点，所以通常只要在直角坐标系中，描出两个点并连接即可。通常的作法是：取与x轴和y轴的两个交点。女口：作函数y =x _2的图像当x =0时，y二2即（0, _2）为一次函数与y轴的交点坐标。当y =0时，x =2即（2,

8、0）为一次函数与x轴的交点坐标。xx = 0x = 2y = x 2y = 2y = 03、会判断点是否在直线上，正比例函数上和反比例函数上；并且已知横坐标要懂得求纵坐标，反之, 已知纵坐标要懂得求横坐标。4、正比例和反比例函数图像匀关于原点对称。而且正比例函数一定经过原点（0, 0）正比例函数y =kx （k式0）反比例函数：y=（k0）x经过象限单调性草图经过象限单调性草图k >0'、 三单调递增1'、 三单调递减k £0二、四单调递减二、四单调递增Jbk|越大，直线越陡|k|越大，双曲线离x轴越远7b . 0图像向上平移b ： 0图像向下平移ybJt>

9、;0 b<0Yi.OKit>06>0/y“ k<0b<0 OX5、一次函数y =kx +b （k式0）的四种草图，其中 k越大，直线越陡;#6、直线的平移（大家自己整理出更一般的结论）如：y =3x -1向上平移5个单位;向下平移2个单位备注：上下平移（即 x值不变，y值的变化），我们可以从函数与 y轴交点的变化更容易观察出结论。向左平移1个单位;向右平移 2个单位备注：左右平移（即 y值不变，x值的变化），我们可以从函数与 x轴交点的变化更容易观察出结论。7、直线之间的位置关系已知直线:11 : y1 = k1 x b112 : y2 = k2xb2 li,l2

10、平行的充要条件: Ii，l2重合的充要条件: Ii，l2垂直的充要条件:k i = k 2 且 bb 2k_, = k2 且 b1 =b2 k1 *k2 _ -18、直线位置关系与方程组的解之间的关系、两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说明方程组有无穷多个解。y = 2 x - 5方程组的解为y = -X ' 1-1)。f y = 2x - 2彳方程组无解，如图所示：图像|y = 2x - 2没有交点。、通过方程无解来说明直线平行的方法：h ： yi =方程组1卩2 : 丫2=& x b 尸 k x2 b =2 (k - k J x = Jb - b当k1

11、-k2 =0且b2 -d =0时方程无解，所以我们可以得到当kk2且d =b2时直线平行。910、正比例函数y =k,x与反比例函数y反比例函数和正比例函数经过相同的象限，即:&、k2同号；或者说：匕*k2 - 0并且两个交点关于原点对称。11、反比例有关的面积问题（图7三角形AOB的面积有多种方法）9、解析式的求解、解析式的求解步骤：首先要先判断它是一次函数 （直线或线段）还是正比较函数（直线或给段，但经过原点），或者反比较函数（双曲线，也可能只有其中一支）；其次，设函数解析式，如下: 、一次函数：y =kx（k =0）需要两个条件（或者两个点坐标）来列方程组，求 k,b的值。k而正

12、比例函数：y二kx（k =0） 反比例函数：反比例函数： y （ k = 0）都只需要一个条件（或者x一个点坐标）去求解 k的值。 例课本46习题第5题。 、写出满足下列条件的一个函数关系式：（1）图像过点（1，1）、（3，2）的一次函数;（2）图像过点（2, 3）的正比例函数；3（3）图像过点（-一，3）的反比例函数；2k2-有交点的条件（如上图所示）：x12、函数与方程、不等式之间的关系指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作 轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。10113例1画出函数y x 3的图像，根据图像，指出:2(1) x取什么值时，函数值

13、 y等于0(2) x取什么值时，函数值 y大于0例2、如图14，已知A(_4,n)， B(2，- 4)是一次函数y =kx b的图象和反比例函数两个交点.(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；(2) 求直线AB与x轴的交点C的坐标及厶AOB的面积; 求方程kxb _巴=0的解(请直接写出答案);x求不等式kx b _m ：0的解集(请直接写出答案)；x圏14.k例3、如图，直线y二X 6与反比例函数讨二一(x<0)的图像交点 A、点B,与xx轴相交于点C,其中点A的坐标为(一2, 4),点B的纵坐标为2。(1 )试确定反比例函数的关系式；(2) 当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数

14、的值。(直接写出来)(3) 求厶AOC的面积。13、函数中设点的一般方法(1) 直接设(x, y)(2)当该点在某上解析式对应的图像上时：如y =2x 1我们就可以假设该直线上某点的坐标为(x0, -2x0 - 1)，当然x0也可以是其他字母，关键点在于把纵坐标也用横坐标表示出44来。再比如：y上的某个点可设为(x0,)xX。例、如图所示：直线 y = kx b与x、y轴轴分别交于点E、F，其中点E的坐标为(-8, 0)点A的坐标(-6, 0)。点P为直线= kx b上的一动点。(1) 、求k的值(2) 、若点P(x, y)是第二象限内，在点P的运动过程中，试写出 OPA 的面积s与x轴的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。-S、探究：当点 P运动到什么位置时，27OPA的面积为，并说明理由。1214、点旋转90