高数复习知识点

1、高等数学(上)知识点高等数学上册知识点二函数与极限(一)函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：募函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；(重点)函数 f(x)在 X0 连续lim f(x) f(X0)X X0第一类：左右极限均存在.间断点，可去间断点、跳跃间断点:第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理(重点)、介值定理及其推论.(二)极限1、 定义1) 数列极限lim xn a0, N ,

2、 n N, xn an2) 函数极限lim f (x) A 0,0, x,当 0 x x0时，f (x) AX X0第1页共12页高等数学（上）知识点第5页共12页左极限：f(x0)lim f(x)x x。右极限:f(x0)lim f (x)x x0lim f (x) A 存在f(x0)f(x0)x xo2、极限存在准则1 ）夹逼准则:1) yn xnZn ( n ')2)lim ynlim znalim xnn2)单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小（大）量1)定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无

3、穷小Th10();Th2,lim 存在，则lim lim（无穷小代换）4、求极限的方法1)单调有界准则;2)3)极限运算准则及函数连续性;4)两个重要极限：（重点）.sinx .a) lim 1a) x 0 xb)1lim (1 x)xx 01 x lim (1) e5)无穷小代换：（X0）（重点）a) x sin x tan x arcsin x arctan xb)1 cosx -x2 2xc) e 1 x(ax 1xln a)d) ln(1 x)x(loga(1x) xIn ae) (1 x) 1 x导数与微分（一）导数定义：f（x。）lim世x xo xf(%) xo左导数:右导数:f

4、 (xo)f (2)lim四X xoxf(%) xolimx xof(x)xf(xo) xo函数f(x)在xo点可导f (xo) f (xo)2、 几何意义：f （x。）为曲线y f （x）在点xo, f （xo）处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系:4、 求导的方法1）导数定义；（重点）2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；（重点）5）隐函数求导数；（重点）6）参数方程求导；（重点）高等数学(上)知识点7)对数求导法.(重点)5、 高阶导数d2yddy1) te义：dx2dx dxn(n)i (k) (n k)2) Leibniz 公式：uv Cnu vk 0(二)微分

5、1)定义：y f(x。x) f(x。) Ax 0( x),其中 A与 x 无关.2)可微与可导的关系：可微 可导，且dy f (x。)x f (%)dx三、微分中值定理与导数的应用(一)中值定理1、Rolle定理：(重点)若函数f(x)满足：1)f(x) Ca,b；2)f(x) D(a,b)；3)f(a) f(b)；则(a,b),使f ( ) 0.2、Lagrange 中值定理：若函数f(x)满足：1)f(x) Ca,b；2)f(x) D(a,b)；则 (a,b),使f(b) f(a) f ( )(b a).3、Cauchy中值定理：若函数f(x),F(x)满足：1)f(x),F(x) Ca,

6、b ； 2)f(x),F(x) D(a,b) ；3)F (x) 0,x (a,b)(a,b),使f(b)F(b)f(a)F(a)(二)洛必达法则(重点)(三)Taylor公式(不考)(四)单调性及极值1、单调性判别法：(重点)f(x) Ca,b,f(x) D(a,b),则若 f (x) 0, 则f(x)单调增加；则若f (x) 0,则f(x)单调减少.2、 极值及其判定定理：a)必要条件：f(x)在X0可导，若%为f(x)的极值点，则f (xo) 0.b)第一充分条件：(重点)f(x)在的邻域内可导，且f (x。)0,c)则若当x x0时，f (x) 0,当x %时，f (x) 0,则x

7、76;为极大值 点；若当x x0时，f (x) 0,当x x0时，f (x) 0,则x0为极小 值点；若在x0的两侧f (x)不变号，则x0不是极值点.d)第二充分条件：(重点)f (x)在x0处二阶可导，且f (比)0 , f (x0) 0,e)则若f (x0) 0,则x°为极大值点；若f (x0) 0,则x°为极小值 点.3、凹凸性及其判断，拐点xi x2、 f(x1) f(x2)，1) f(x)在区间I上连续，若xi,x2 I, f(一) 2，则称f(x)在xi x2、 f(xi) f(x2),区间I上的图形是凹的；若xi,x2 L ”工一)2,则称f(x)在区间I上

8、的图形是凸的.2)判定定理(重点)：f(x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a)若x (a,b), f (x) 0,则f (x)在a,b上的图形是凹的;第7页共12页高等数学（上）知识点b）若x （a,b）, f（x） 0,则f（x）在a,b上的图形是凸的.3）拐点：设y f（x）在区间I上连续，X0是f（x）的内点，如果曲线y f（x）经 过点（X0, f（X0）时，曲线的凹凸性改变了，则称点（x0, f（x0）为曲线的拐点. （五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；（重点）3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle

9、 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线：！imaf（x），则x a为一条铅直渐近线；x a2、水平渐近线：lim f（x） b,则y b为一条水平渐近线； xf （x）3、斜渐近线：imk !1m f（x） kx b存在 则y kx b为一条斜x x x渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F（x）可导，且F （x） f（x）,则F（x）称为 f （x）的一个原函数.（重点）2、 不定积分：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数的原函数称为f（x）在区 间I上的不定积分.3、 基本积分表（P188 ,13

10、个公式）；（重点）4、 性质（线性性）.（二）换元积分法（重点）1、第一类换元法（凑微分）：f （x）（x）dx f（u）duu（x）2、第二类换元法（变量代换）：f（x）dx ft（t）dtti（x）（三）分部积分法：udv uv vdu （重点）（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质:定义:ba f (x)dx呵 f( i) Xi 1第17页共12页2、 性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数f （x）在区间a,b上连续,则a,b,使（平均值：f （bf(x)dx abf(x)dx f( )(b a)a（二）微积分基本公式

11、（N L公式）（重点）x1、变上限积分：设(x) a f(t)dt ,则(x) f (x)d (x)推广 : ,、f出 f (x) (x) f (x) (x) . dx (x) b2、 N L公式：若F(x)为f (x)的一个原函数，则f (x)dx F (b) F (a)a（三）换元法和分部积分（重点）b1、换元法：a f (x)dx f (t) (t)dt abb b2、分部积分法：a udv uv a a vdu aa(四)反常积分1、 无穷积分： tf (x)dx lim f (x)dxat abbf (x)dx Jm t f (x)dx0f(x)dx f(x)dx f(x)dx02、

12、 瑕积分:bf(x)dxabJim t f(x)dx (a为瑕点)bf(x)dx at阿af(x)dx (b为瑕点) t b a两个重要的反常积分:, p 1dxi p1)a xp p 1P 1b dx b dx2) a(x a)qa(b x)q(b a)1q1 q六、定积分的应用（一）平面图形的面积b1、直角坐标：Af2(x)f1(x)dx (重点)a''12 / 2、极坐标：A 2 2()12( )d（二）体积1、旋转体体积:（重点）a）曲边梯形yf (x), x a, xb,x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积:bVxaf 2(x)dxb）曲边梯形y f（x）,xa, xb

13、, x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:bVv2 xf (x)dxy a（柱壳法）2、平行截面面积已知的立体:bA(x)dxa（三）弧长七、2、3、直角坐标:参数方程:极坐标：s微分方程（一）概念f (x) 2 dx(t) 2(t) 2dt()2dP(x)dxP(x)dx用常数变易法或用公式：y eQ(x)e dx C1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程

14、（重点）g（y）dy f（x）dx,两边积分 g（y）dy f（x）dx（三）齐次型方程dy （V、 y y dy , vdu丁，设u ，则丁 u x 丁 ；dx xx dx dxdx'x、xdxdv或二（一），设v ,则；T v yTdyyydydy（四）一阶线性微分方程（重点）dxdy P（x）y Q（x）（五）可降阶的高阶微分方程1、y（n） f （x）,两边积分n次；2、y f（x,y）（不显含有 y）,令 y p,则 y p ；3、y f（y,y）（不显含有 x）,令 y p,则 yp_dy（六）线性微分方程解的结构1、y1，y2是齐次线性方程的解，则 G% c2y2也是；2、必，丫2是齐次线性方程的线性无关的特解，则 Ciyi C2y2是方程的通解； * . 3、y Gy c2y2 y为非齐次万程的通解，其中 y1，y2为对应齐次万程的 .*线性无关的解，y非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程（重点）二阶常系数齐次线性方程：y py qy 0特征方程：r2 pr q 0,特征根：口工特征根通 解实根r1 r2C r1x C 2xyC1eC2ep12了，丁八1 xy (C1