直线和圆的位置关系

1、直线和圆的位置关系教学目的K知识目标R1 .掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系,并会求圆的切线方 程及与弦长等有关直线与圆的问题.2 .在解决直线与圆的位置关系的问题时,常通过“数“与“形的结合,充 分利用圆心的几何性质、简化运算.如利用圆心到直线的距离讨论直 线与圆的位置关系,利用过切点的半径、弦心距及半径构成的三角形 去解决与弦长有关的问题.K水平目标R培养数形结合的思想、多方位多渠道解决问题水平.教学重点与难点重点：三种位置关系的判断方法、过一点的圆的切线的求法以及弦长 问题的解决方法,即圆心到直线的距离在圆与直线关系问题中的运用. 难点：利用数形结合的思想分析问题、解决问题.教学

2、过程：1、 课堂引入：前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系,这课我们复习用圆的 方程来解决直线与圆的位置关系. 请先做以下练习(教师巡堂以便了 解课下预习情况)(1)、判断直线4x-3y=5与圆x +y =25的位置关系(2)、求圆x +y =25的过点P(3,4)的切线方程.(3)、求圆x +y =25的过点P(5,4)的切线方程.(4)、求圆x +y =25被直线4x-3y-20=0所截得的弦长.(这一局部在引入正课后直接用多媒体投影给出,并由学生快速运算,然后提问结果)2、 知识梳理：提出问题:直线与圆有几种位置关系用什么方法来判断？1 .直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,

3、即把圆的方程和直 线的方程联立成方程组,利用判别式来讨论位置关系.0,直线和圆相交. =0直线和圆相切. 0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比拟.dR,直线和圆相离.2,直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程 .求圆的切线方程 主要可分为斜率k或直线上一点两种情况,而直线上一 点又可分为圆上一点和圆外一点两种情况,先判断点与圆的位置 关系,再用切线的性质求方程.1)假设点p (x , y )在圆上,那么圆x +y =r :的切线方程为xx +y y = r,圆(x-a) +(y-b) =r 的切线方程为(x-a) (x-a) + (y-b) (y

4、-b) = r 2)假设点p (x0, y0)在圆外：利用圆心到直线的距离等于半径将切 线的斜率求出来,再写出切线的方程(斜率不存在的切线方程不要遗 漏).3,直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.(师生一起归纳,并由教师板书)三、例题解析：例 1.(1).设 m0,那么直线 (x+y) +1+m=0 与圆 x2+y2=m(m 0)的位 置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为.d r= =(m 2 +1) =( 1) 2 Q.直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C(2) .圆x2 + y2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=

5、0所得的弦长等于A.B.C,1D.5解析：圆心到直线的距离为,半径为,弦长为2 =.答案：A(进一步说明圆心到直线的距离在直线与圆的关系问题中的重要地位)例2.圆满足截.y轴所得的弦长为2;被x轴分两段弧,其弧长 之比为此3:1;圆心到直线:x-2y=0的距离为.求该圆的方程.解:设圆的方程为：(x-a) 2+ (y-b) 2 = r那么由条件得=r (1)又由得a +1=r(2)又由得(3)联立(1(2)(3),解方程组得 a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=所求圆的方程为：(x+1) 2+ (y+1) 2 = 2 或(x-1) 2+ (y-1) 2 =2(这是早几年的一道高考

6、题,在高考复习中经常彳为典型例题来用,我 的学生对第(2)问的把握可能会有困难,因此,这一问要结合图形来分 析解决.由于学生对解含有绝对值的方程组有畏难情绪,因此,教师板 书解题的整个过程,并且鼓励学生面对这类问题时积极应对,常规方法 入手,运算要快而准确)例 3 圆 C: (x-1) 2+ (y-2) 2 = 25,直线 l: (2m+1) x+ (m+1) y 7m 4=0 (m 6 R)(1)证实：不管m取什么实数,直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得(先由学生思考,提出他们的解答方案,再由老师补充：由含有一个参

7、数 的直线方程入手思考)(1)证实：l 的方程(x+y 4) +m (2x+y 7) =0.得. mW R,2x+y 7=0,x+y 4=0,y=1 ,即l恒过定点A (3,1).圆心 C (1, 2) , | AC | =0,过点A (1, 2)所作圆的切线有两条,那么点 A 必在圆外,即化简得a2+a+9 0.由43a20,a2+a+9 0,解之得一 a ,aS R. .一 a .故a的取值范围是,确定参数的解析几何问题是学生最薄弱的环节,此题的选择一方面是 稳固本节课的内容,另一方面也是对直线与圆锥曲线问题中难点的一 个分散处理四、课堂小练1 .假设圆x 3 2+ y+5 2 = r2上

8、有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于1 ,那么半径r的范围是A. 4, 6 B. 4, 6C. 4, 6 D. 4, 6解析：数形结合法解.答案：A2. 2003年春季北京直线ax+by+c=0 abcO与圆x2+y2=1 相切,那么三条边长分别为I a |、| b |、| c|的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析：由题意得 =1,即c2=a2+b2,.二由1 a 1、| b |、1 c |构成的三角形为直角三角形答案：B3. 2005年春季北京,11假设圆x2+y2+mx =0与直线y= 1相 切,且其圆心在y轴的左侧,那么m的值为.解析：圆方程

9、配方得x+ 2+y2=,圆心为一 ,0.由条件知一0.又圆与直线y= - 1相切,贝U 0 1=,即m2=3 ,.m=. 答案：4. 2004 年福建,13直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2 -6x-2y-15=0 所截得的弦长等于.解析：由 x2+y2 6x 2y 15=0 ,得x3 2+ y-1 2=25.知圆心为3, 1 , r=5.由点3, 1到直线x+2y=0的距离d=.可得弦长为2 ,弦长为4 .答案：45. 自点A 3, 3发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射 光线所在的直线与圆x2 + y2 4x 4y + 7 = 0相切,求光线l所在直 线的方程.解：圆x2 2+

10、y-2 2=1关于x轴的对称方程是x-2 2 + y+2 2=1.设l方程为y 3 = k x + 3,由于对称圆心2, 2到l距离为 圆的半径1,从而可得k1 = -, k2 = .故所求l的方程是3x + 4y-3 = 0 或 4x+3y + 3 = 0.6. M (x0, y0)是圆x2+y2=r2 (r0)内异于圆心的一点,那么直 线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系？分析：比拟圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心O (0, 0)到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.P (x0, y0)在圆内,r,故直线和圆相离.(课堂练习由多媒体投影给出,学生练完后,打出正确答案和解答过

11、程) 五、课堂小结1 .有关直线和圆的位置关系,一般要用圆心到直线的距离与半径的大 小来确定.2 .当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半 径,求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三 角形；与圆相交时,弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构 成的直角三角形.3 .有关圆的问题,注意圆心、半径及平面几何知识的应用.六课后作业8 .(文)求经过点 A ( 2, -4),且与直线l: x+3y 26=0相切于 (8, 6)的圆的方程.9 .点P到两个定点M ( 1, 0)、N (1, 0)距离的比为 ,点 N到直线PM的距离为1 ,求直线PN的方程.10 .

12、假设直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,求k的取值范围 直线与圆的位置关系二.例题解析一.知识梳理：例1例4 1,直线和圆位置关系：例2圆(x-a) +(y-b) =r ,直线:Ax+By+C=0方法一：方法二:d=| |dR,直线和圆相离,2,直线和圆相切3, 直线和圆相交小结：二,方法小结七、板书设计教学设计说明1 .教材分析:这一章是解析几何的根底局部,其内容及方法在各类试 题中均要涉及,是必须要牢牢掌握的,试题可能以各种形式出现,多以 选择题形式出现,有时也有解做题,即考查根底知识的应用水平又考查 综合运用知识分析问题和解决问题的水平,利用方程解决直线和圆的 位置关系问题是解析几何

13、的重点,也是直线与圆锥曲线关系的前奏,学 好这一局部知识为后面的复习奠定根底扫清障碍.作为复习课,是要在 学生原有的根底上,通过对直线与圆位置知识的系统化,使学生对根底 知识根本技能的掌握提升一步.所以知识点归纳是本节课的一个重要 环节.2 , 我所任教的班级是政治普通班,班里根本没有数学尖子生,班级 平均分在屡次模拟测试中以70到80分居多,相当一局部学生数学基础薄弱,缺乏对数学学习的信心和科学的学习方法.概括、转化、分析 、归纳等方面的水平比拟欠缺,但是值得一提的学习优势是笔记认真, 习惯记忆,针对这种特点,我在课前让学生阅读教材,自己归纳知识点, 一方面加快上课节奏上课,另一方面通过比拟使他们对知识的掌握更 加系统.