二次根式章节知识点题型及巩固习题

1、二次根式知识点一：二次根式的概念定义：一般地，形如va (a>o的代数式叫做二次根式。"称为二次根号。注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因等是二次为负数没有平方根，所以白之。是石为二次根式的前提条件，如根式，而 7-2,-7等都不是二次根式。例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:叵、“、1、五(x>o)、氏、4/2、 x、x +y (x>0, y?>0).知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a叁0时，Va有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大

2、于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a<0时，Ja没有意义。例2.当x是多少时， V3x +1在实数范围内有意义?1例3.当x是多少时，<2x +3 +在实数范围内有意义?x 1知识点三：二次根式 鼠(a>0的非负性Va (a>0表示a的算术平方根，也就是说，Va (a>Q)是一个非负数，即 <a >(a>00的算术平方根是 0,所注：因为二次根式 Va (a>Q表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数,以非负数(a>o的算术平方根是非负数，即Va >(a>Q ,这个性质也就是非负数的

3、算术平方根的性质, 和绝对值、偶次方类似。例 4(1)已知 y= J'2 -x + Jx -2 +5 ,求 x 的值.y若 出石+Jb=0,求 a2004+b2004 的值 知识点四：二次根式Q'a2的性质 (Va 2=a (a>0文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式 （Va 2=a （a>0是逆用平方根的定义得出的结论。2 .L 2'3例1计算G5 ）3J 2 ）例2在实数范围内分解下列因式：(1) x2 _34(2) x -4知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

4、 注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身,籽=臼=矶"之°）；若a是负数，则等于a的相反数-a,即2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论 a取何值,一定有意义;3、化简时，先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。化简(1)百痣"填空：当an0时，商；当 a<0 时,0a之? ?并根据这一性质回答下列问题.-22-2(1)若Ya =a，则a可以是什么数？（2）若Va=-a,则a是什么数？（3）7a>a，则a是什么数?例 3 当 x>2,化简 %/(x -2 2 V" -2x 2 .知识

5、点六：（而与曲的异同点1、不同点：表示的意义是不同的,一个实数a的平方的算术平方根；在都是非负数，即因而它的运算的结果是有差别的,表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示中a可以是正实数，0,负实数。但函）2、相同点：当被开方数都是非负数，即 仪之。时，（而；弓<0时,（6）无意义，而知识点七：二次根式的乘除1、乘法a , b = ab (a>0b>0)反过来：.ab =、_ a -、b(a>0, b>0)2、除法空=,a (a>0, b>0).b , b 反过来,Jjlaa =(a > 0,bbb>0)例1 .计算(1) 4 曲 X 77

6、(2)(3)用 x 277(4)知识点九：二次根式的加减例2化简(2).16-81(3) J9x2y2(4) 54例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(1)J(")m(9)=C：m"(2)4 X 5/25 =4X25x 725 =4 2512 x25/25 =4,12=8.3例4.计算：（1）(2)(3)I64（4）能例5.化简:(1)6464b2 9a2(2)(3)9x64y2(4)5x169y29 x例6.已知x2 5x 4 /击2的值.x -1-；9 - x，一29_x ,且x为偶数，求（1+x）x-6 x-6知识点八：最简二次根式与同类二次根式1、最简二

7、次根式应满足的条件：（1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式； 被开方数中 不含开得尽方的因数或因式2、化简最简二次根式的方法：（1）把被开方数（或根号下白代数式）化成积的形式,即分解因式：（2）化去根号内的分组或分理上的根号），即分母有理化;（3）将根号内能开得尽方的因数（或因式）开出来.（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝 对值,注意符号问题）3、同类二次根式：被开方数（因式）相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时 务必将各个根式都化为最简二次根式。如J8与J18例1.把下列二次根式化为最简二次根式（1） 3,j一 ；（2） , x2y4x4y2 ；8

8、x2y31、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减,二次根式部分不变），不能合并的直接抄下兆例 1 .计算（1）J8+S8（2）716X+J647（3） 3748-9 J1+3VT2（4） （ V48 +720 ） + （VT2-V5）例 3.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ,求（2xV9x +y2 J； ） - （x23 y【基础训练】 ,1 -5x /-y )的值.1 .化简：(1) 辰=;(2)，25 -24 三(4) "5x3y2(x20,y 20) =；2 .( 16,安徽

9、)化简3 . (16,武汉)计算A .24 .化简：(1) ( 16,泰安)Hi =。J4的结果是（）B . ± 2C . -2而的结果是；(3) (16,宁夏)5&。8=;(5) (16,宜昌)>73+(573)=5. （ 16,重庆）计算 J8 J2的结果是（）(3) . 6 12 18 =（5） 20 -44 =D. 4(2) >/12-x/3 的结果是 ;(4) (16,黄冈)5 Vx -2 Vx =(6)(2)(2+力=；A、6B、6C、2D、V26 .（16,遵义）若 a2 + Vb” = 0,则 a2-b=.7 . （ 16,聊城）下列计算正确的是（

10、）A. 2 枢+4& 二&后B.比二 4&C.屏也二 3 D.后F二-38 .下列运算正确的是（）A、VT6 =0.4B、V （-1.5 2 =-1.5C、- 49=3D、939. （16,中山）已知等边三角形 ABC的边长为3 + J3,则A ABC的周长是10 .比较大小：3 JT011 . （16,嘉兴）使 Jx 2有意义的x的取值范围是 12 .（ 16,常州）若式子 Jx +5在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x>-5B.x<-5C.xW-5D.x> -513 .（ 16,黑龙江）函数了二苴三 中,自变量1的取值范围是 工T14 .

11、下列二次根式中，x的取值范围是 x>2的是（）A、.2xB、>/x+2C、.x215 . （16,荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. Ja2 十1B. AC.而16 . （16,中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. MB.加C. 76D. V217 . （16,常德）下列各式中与 J5是同类二次根式的是（）A. 26B.而C.枢D .加18 .下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）a. 瓦与行 b.石8与v27c.、与jf .d. 745与75419 .（ 16,乐山）已知二次根式 J2a-4与 也 是同类二次根式,则的 a值可以是（）A、5B、6C、7D、820

12、 . （16,大连）若 x=4a - Vb, y=+Jb ,则xy的值为（A . 2 a ab. 2<bc. a + b21 .计算:（1）（4加一 4n+3的）32戊（3） （ 16,上海）卜#（出-灰）+册.V2-1（2）（4）2（3/18 + - V5O 4（16,庆阳）22 .先将 2 + J- 3 x 2化简，然后自选一个合适的x 2x 2xx值，代入化简后的式子求值。【提高训练】、热身运动1、则x满足2、使等式J（x +1 X x -1 ） = TXUvR 成立的条件是 3、已知 Jx3 +3x2 = xJx3 ,则()(A) x< 0(B) x<-3(C) x&

13、gt;-3(D) - 3<x< 04、若 x<y<0,则 Jx2 _2xy + y2 + Jx2 +2xy+y2 =()(A) 2x (B) 2y (C) -2x (D) - 2y5、若 0Vx< 1,则;'(x-)2 +4- J'(x +-)2 -4等( ) xx22(A) 2(B) 2(C) -2x (D) 2xxx6、化简三二(a<0)得()a(A)。-a(B)4a(C)J-a(D) Va7、a化简二次根式号后的结果是.8、已知xy>0,化简二次根式xjy的正确结果为.9、已知a、b、c为正数,d为负数，化简ab -c2d2ab . c2d210、若最简根式3a守4a +3b与根式J2ab2 -b3 +6b2是同类二次根式,求a、b的值.11、若最简二次根式2,3m2 2与n2 34m2 10是同类二次根式,求 m、n的值.312、若 Jx _ y + y2 _4y +4 = 0,求 xy 的值。、冲刺阶段化简-32、4、当x=4时，求五色江2 -1 x 1 - :&2 x5、323 - 2已知x:一尸，y二产3 - 232+ : x的值.（结果用最简二次根式表不'）x 1x2 x32x - xy43 22 3x y 2x y x y的值.（先化简 xy,再化简分式