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文档简介
1、第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程学习目标:1.理解一元二次方程的概念及其一般形式,确定各项系数.2. 根据实际问题,建立一元二次方程的数学模型.自主学习3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 重点:理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题. 难点:根据实际问题,建立一元二次方程的数学模型.一、知识链接1. 什么叫做一元一次方程,它有什么特点?2. 下面式子哪些是方程?2+6=8;2x+3;5x+6=22;x+3y=8;x-518;4 - 2 = 9 .x3. 设计师在设计人体雕像时,使雕像的上部 AC(腰以上)与下部 BC(腰以下)的高度比,等于下部 BC 与全部
2、AB(全身)的高度比,可以增加视觉美感,假设如图所示的雕像高 AB 为 2 m,下部 BC=x m,请列出方程.课堂探究二、要点探究探究点 1:一元二次方程的概念问题 1有一块矩形铁皮,长 100cm,宽 50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为 3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题 2要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排 7 天,每天安排 4 场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?要点归纳:只含有一个未知数 x 的整式方程,并且都可以化为 ax2+
3、bx+c=0(a,b, c 为常数,a0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数,a0),其中 称为二次项, 称为二次项系数, 称为一次项, 称为一次项系数, 称为常数项.想一想:为什么一般形式中 ax2+bx+c=0 要限制 a0,b、c 可以为零吗?典例精析例 1下列选项中,关于 x 的一元二次方程的是()A.x2 + 1x2= 0B. 3x2 - 5xy + y2 = 0C. ( x -1)( x - 2) = 0D. 4 x 2 -1 = (2 x + 3) 2方法总结:判断一元二次方程的步骤,首先看是不是整式方程;如果是
4、,则进一步整理化简,看化简后的方程中是否只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.例 2 a 为何值时,下列方程为一元二次方程?(1)ax2x=2x2;(2) (a1)x|a|+1 2x7=0.方法总结:用一元二次方程的定义求字母的值的方法:根据未知数的最高次数等于 2,列出关于某个字母的方程,再排除使二次项系数等于 0 的字母的值【变式题】方程(2a4)x22bx+a=0,(1) 在什么条件下此方程为一元二次方程?(2) 在什么条件下此方程为一元一次方程?方法总结:一元一次方程与一元二次方程的区别与联系:1. 相同点:都是整式方程,只含有一个未知数;2. 不同点:一元一次方程未知数最高次数是
5、 1,一元二次方程未知数最高次数是2.例 3(教材 P3 例题)将方程 3x(x1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.方法总结:系数和项均包含前面的符号. 探究点 2:一元二次方程的根问题 1:下面哪些数是方程 x2x6 = 0 的解?-4,-3, -2,-1,0,1,2,3,4x432101234x2 x 6要点归纳:使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(又叫做根).典例精析例 4已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a=0 的一个根是 3,求 a 的值.【变式题】已知 a 是方程 x2+2x2=0 的一个实数根
6、,求 2a2+4a+2018 的值.方法总结:求代数式的值,先把已知解代入,再注意观察,有时需运用到整体思想,求解时,将所求代数式的一部分看作一个整体,代入求值探究点 3:建立一元二次方程模型问题 在一块宽 20m、长 32m 的矩形空地上,修筑三条宽相等的小路(两条纵向, 一条横向,纵向与横向垂直),把矩形空地分成大小一样的六块,建成小花坛.如图要使花坛的总面积为 570m2,问小路的宽应为多少?三、课堂小结一元二次方程的概念是整式方程;只含一个未知数;未知数的最高次数是 2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0),其中(a0)是一元二次方程的必要条件.一元二次方程的根使方程左右
7、两边相等的未知数的值.建立一元二次方程模型审设找列当堂检测1. 下列哪些是一元二次方程?3x+2=5x2 ;x2=0 ;(x+3)(2x4)=x2;3y2=(3y+1)(y2);x2=x3+x21;3x2=5x1.2. 填空:方程一般形式二次项系数一次项系数常数项x2=3x3y2+1=2 3 y4x2=5(2x)(3x+4)=33.关于 x 的方程(k21)x22(k1)x2k20, 当 k 时,是一元二次方程;当 k 时,是一元一次方程.4.(1)已知方程 5x2+mx6=0 的一个根为 4,则 m 的值为 ;(2)若关于 x 的一元二次方程(m+2)x2+5x+m24=0,有一个根为 0,
8、求 m 的值.5. (1) 如图,已知一矩形的长为 200 cm,宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆, 使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程(其中取 3);(2) 如图,据某市交通部门统计,前年该市汽车拥有量为 75 万辆,两年后增加到 108 万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.拓广探索6. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为 1, 求 a+b+c 的值.思考:(1)若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗?(2)若 ab +c=0,4a+
9、2b +c=0 ,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗?参考答案自主学习一、知识链接1.等号两边都为整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为 1 的方程叫做一元一次方程;一元一次方程的特点是:只含有一个未知数;未知数的次数是 1;是整式方程.2. 5x+6=22,x+3y=8 , 4 - 2 = 9 .x3.解:列方程得 x2= 2(2x),整理,得 x2 + 2x4 = 0课堂探究二、要点探究探究点 1:一元二次方程的概念问题 1解:设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为(1002x)cm,宽为(502x)cm.根据方盒的底面积为 3600cm2,得:
10、(1002x)(502x)=3600.化简得 x275x +350 = 0.问题 2解:根据题意,列方程: 1 x(x -1) = 28. 化简,得: x2 - x - 56 = 0.2要点归纳ax2abxbc想一想当 a=0 时,方程变为 bx+c=0,是一元一次方程,故 a0.b、c 可以为零.典例精析例 1 C例 2 解:(1)将方程式转化为一般形式,得(a2)x2x=0,所以当 a20,即a2 时,原方程是一元二次方程; (2)由|a|+1 =2,且 a1 0 知,当 a=1 时, 原方程是一元二次方程.变式题 解:(1)当 2a40,即 a 2 时,是一元二次方程;(2)当 a=2
11、且 b0 时,是一元一次方程例 3 解:去括号,得:3x23x=5x+10.移项、合并同类项,得 3x28x10=0.其中二次项系数是 3;一次项系数是8;常数项是10.x432101234探究点 2:一元二次方程的根问题 1x2 x 61460466406所以 x=2,x=3 是方程 x2x6 = 0 的解.例 4解:由题意把 x=3 代入方程 x2+ax+a=0,得 32+3a+a=0,9+4a=0,4a=9, a = - 9 .4变式题解:由题意得:a2+2a2=0 即 a2+2a=2.2a2+4a+2018=2(a2+2a)+2018=22+2018=2022.探究点 3:建立一元二次
12、方程模型建立问题 解:设小路的宽是 x m,则横向小路的面积是 32x m2,纵向小路的面积是 220x m2 ,两者重叠的面积是 2x2 m2.根据题意得 3220(32x 220x) 2x2=570.整理得 x236x35=0.当堂检测1.是一元二次方程的有:x2=0;(x+3)(2x4)=x2;3x2=5x1.2.从左至右从上至下依次为 x2+3x=0,1,3,0,3y22 3 y+1=0,3,2 3 ,1,4x25=0,4,0,5,3x22x5=0,3,2,5.3.114.(1) - 37 ;2(2)解:将 x=0 代入方程 m24=0,解得 m=2. m+2 0, m2,综上所述, m =2.5.(1)解:设由于圆的半径为 x cm,则它的面积为 3x2 cm2.根据题意,得200 150 3x2 = 200创150 3 ,4整理得 x2 - 2500 = 0 .(2)解:该市两年来汽车拥有量
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