人教版九年级数学上册《21-1 一元二次方程》导学案设计优秀公开课

1、第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数.2. 根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.自主学习3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题. 难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.一、知识链接1. 什么叫做一元一次方程，它有什么特点？2. 下面式子哪些是方程？2+6=8；2x+3；5x+6=22；x+3y=8；x-518；4 - 2 = 9 .x3. 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部 AC(腰以上)与下部 BC(腰以下)的高度比，等于下部 BC 与全部

2、AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高 AB 为 2 m，下部 BC=x m，请列出方程.课堂探究二、要点探究探究点 1：一元二次方程的概念问题 1有一块矩形铁皮，长 100cm，宽 50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为 3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题 2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?要点归纳：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax2+

3、bx+c=0(a，b， c 为常数，a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a，b，c 为常数，a0)，其中 称为二次项， 称为二次项系数， 称为一次项， 称为一次项系数， 称为常数项.想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c=0 要限制 a0，b、c 可以为零吗？典例精析例 1下列选项中，关于 x 的一元二次方程的是（）A.x2 + 1x2= 0B. 3x2 - 5xy + y2 = 0C. ( x -1)( x - 2) = 0D. 4 x 2 -1 = (2 x + 3) 2方法总结：判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是

4、，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.例 2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x=2x2；(2) (a1)x|a|+1 2x7=0.方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0 的字母的值【变式题】方程(2a4)x22bx+a=0，（1） 在什么条件下此方程为一元二次方程？（2） 在什么条件下此方程为一元一次方程？方法总结：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：1. 相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；2. 不同点：一元一次方程未知数最高次数是

5、 1，一元二次方程未知数最高次数是2.例 3(教材 P3 例题)将方程 3x(x1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.方法总结：系数和项均包含前面的符号. 探究点 2：一元二次方程的根问题 1：下面哪些数是方程 x2x6 = 0 的解?-4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4x432101234x2 x 6要点归纳：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.典例精析例 4已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+a=0 的一个根是 3，求 a 的值.【变式题】已知 a 是方程 x2+2x2=0 的一个实数根

6、，求 2a2+4a+2018 的值.方法总结：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值探究点 3：建立一元二次方程模型问题 在一块宽 20m、长 32m 的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向， 一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为 570m2，问小路的宽应为多少？三、课堂小结一元二次方程的概念是整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是 2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0)，其中(a0)是一元二次方程的必要条件.一元二次方程的根使方程左右

7、两边相等的未知数的值.建立一元二次方程模型审设找列当堂检测1. 下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x2 ；x2=0 ；(x+3)(2x4)=x2；3y2=(3y+1)(y2)；x2=x3+x21；3x2=5x1.2. 填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项x2=3x3y2+1=2 3 y4x2=5(2x)(3x+4)=33.关于 x 的方程(k21)x22(k1)x2k20， 当 k 时，是一元二次方程；当 k 时，是一元一次方程.4.（1）已知方程 5x2+mx6=0 的一个根为 4，则 m 的值为 ；（2）若关于 x 的一元二次方程(m+2)x2+5x+m24=0，有一个根为 0，

8、求 m 的值.5. (1) 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆， 使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中取 3）；(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.拓广探索6. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为 1， 求 a+b+c 的值.思考：（1）若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程 ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗?（2）若 ab +c=0，4a+

9、2b +c=0 ，你能通过观察，求出方程 ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗?参考答案自主学习一、知识链接1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1 的方程叫做一元一次方程；一元一次方程的特点是：只含有一个未知数；未知数的次数是 1；是整式方程.2. 5x+6=22，x+3y=8 ， 4 - 2 = 9 .x3.解：列方程得 x2= 2(2x)，整理，得 x2 + 2x4 = 0课堂探究二、要点探究探究点 1：一元二次方程的概念问题 1解：设切去的正方形的边长为 xcm，则盒底的长为(1002x)cm，宽为(502x)cm.根据方盒的底面积为 3600cm2，得：

10、(1002x)(502x)=3600.化简得 x275x +350 = 0.问题 2解：根据题意，列方程： 1 x(x -1) = 28. 化简，得： x2 - x - 56 = 0.2要点归纳ax2abxbc想一想当 a=0 时，方程变为 bx+c=0，是一元一次方程，故 a0.b、c 可以为零.典例精析例 1 C例 2 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a2)x2x=0，所以当 a20，即a2 时，原方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且 a1 0 知，当 a=1 时， 原方程是一元二次方程.变式题 解：（1）当 2a40，即 a 2 时，是一元二次方程；（2）当 a=2

11、且 b0 时，是一元一次方程例 3 解：去括号，得：3x23x=5x+10.移项、合并同类项，得 3x28x10=0.其中二次项系数是 3；一次项系数是8；常数项是10.x432101234探究点 2：一元二次方程的根问题 1x2 x 61460466406所以 x=2，x=3 是方程 x2x6 = 0 的解.例 4解：由题意把 x=3 代入方程 x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0，9+4a=0，4a=9， a = - 9 .4变式题解：由题意得：a2+2a2=0 即 a2+2a=2.2a2+4a+2018=2(a2+2a)+2018=22+2018=2022.探究点 3：建立一元二次

12、方程模型建立问题 解：设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是 32x m2，纵向小路的面积是 220x m2 ，两者重叠的面积是 2x2 m2.根据题意得 3220(32x 220x) 2x2=570.整理得 x236x35=0.当堂检测1.是一元二次方程的有：x2=0；(x+3)(2x4)=x2；3x2=5x1.2.从左至右从上至下依次为 x2+3x=0，1，3，0，3y22 3 y+1=0，3，2 3 ，1，4x25=0，4，0，5，3x22x5=0，3，2，5.3.114.(1) - 37 ；2(2)解：将 x=0 代入方程 m24=0，解得 m=2. m+2 0， m2，综上所述， m =2.5.(1)解：设由于圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2.根据题意，得200 150 3x2 = 200创150 3 ，4整理得 x2 - 2500 = 0 .(2)解：该市两年来汽车拥有量