平面应力和平面应变精选幻灯片

1、要点要点 建立平面问题的基本方程建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等述；方程的求解方法等3 3.1 1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题1. 平面应力问题平面应力问题(1) 几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力外力（体力、面力）和（体力

2、、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿 z 方向不变化。方向不变化。xyyztba(3) 应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面如图选取坐标系，以板的中面为为xy 平面，垂直于中面的任一直线平面，垂直于中面的任一直线为为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。0z0zx可认为可认为整个薄板的整个薄板的各点各点都有：都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0 xzzx结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量

3、：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。2. 平面应变问题平面应变问题(1) 几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸两个方向的尺寸大得多大得多，且且沿长度方向几何形状和沿长度方向几何形状和尺寸不变化尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面平行于横截面作作用，且用，且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。 约束约束 沿长度沿

4、长度 z 方向不变化方向不变化。(3) 变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则, u, x, x沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平面位移问题0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyx

5、xy 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题3. 平面问题的求解平面问题的求

6、解问题：问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；3-2 平面

7、问题基本方程平面问题基本方程xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyydxxxyxy 3.2.1 3.2.1 平衡微分方程平衡微分方程xyxyxyPBACxyO取微元体取微元体PABC（P点附近点附近），），dxPAdyPB DXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：yxxyyx,体力：体力：X ，YAC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdyyyxyx222)(! 21dxxdxxxyxyxydxxxxBC面：面：dxxxyxydyyyy 注：注： 这里用了小变形假定，

8、以变形前这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。的尺寸代替变形后尺寸。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得 0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyx整理得：整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy当当0, 0dydx时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy0 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx两边同除以两

9、边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Xyxyxx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Yxyxyy平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx（2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题

10、均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。，包括边界。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy3.2.2 3.2.2 斜面上的应力斜面上的应力 主应力主应力1. 斜面上的应力斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxy设设P点的应力分量已知：点的应力分量已知：yxxyyx,斜面斜面AB上

11、的应力矢量上的应力矢量: s 斜面外法线斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：的关于坐标轴的方向余弦： myN),cos(lxN),cos(ldsdymdsdx由微元体平衡：由微元体平衡： , 0 xF0111dsYdydxNxyy0111dsXdxdyNyxx整理得：整理得： xyyNlmY（3）0111dsXmdsldsNyxxyxxNmlX, 0yF整理得：整理得： （4）外法线外法线 xyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxy（2）斜面上的正应力与剪应力）斜面上的正应力与剪应力NNNNNmXlY NNNmYlXxyyNlmYyxxNmlX（3）（4）将式（将式（2-3）（）（2

12、-4）代入，并整理得：）代入，并整理得：xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（5）（6）说明：说明：（1）运用了剪应力互等定理：）运用了剪应力互等定理：yxxy（2） 的正负号规定的正负号规定N 将将 N 转动转动90而到达而到达 的方向是顺时针的，的方向是顺时针的，则该则该 为正；反之为负。为正；反之为负。NN 任意斜截面上应力计算公式任意斜截面上应力计算公式（3）若）若AB面为物体的边界面为物体的边界S，则，则YYNXXNYlmXmlsxysysxysx)()()()(（18） 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件2. 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向

13、xyOdxdydsPABsXNYNNyxxyxyNNNNNmXlY NNNmYlX（1）主应力）主应力 若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上的正应，则该斜面上的正应力力 称为该点一个称为该点一个主应力主应力 ；0NN当当 时，有时，有0NsNmYlXNNxyyNlmYyxxNmlXmlmxyylmlyxx求解得：求解得：yyxlmyxxlm0)()(22xyyxyx222122xyyxyx（7） 平面应力状态主应力的计算公式平面应力状态主应力的计算公式主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为称为主平面主平面；主应力主应力 所在平面的法线方向所在平面的法线方向 称为称为应力主向应力主向；由式（

14、由式（7）易得：）易得：yx21I 平面应力状态平面应力状态应力第一不变量应力第一不变量（2）应力主向）应力主向yyxlmyxxlm 设设1 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的与坐标轴正向的方向余弦为方向余弦为 l1、m1，则则2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或 设设2 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则则1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1xyx2)(1yxy或应力主向的计算公式：应力主向的计算公式：yxyxyx2211tantan（8）由由y

15、x21得得)(12xyxxy12tan1tantan21显然有显然有表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。结论结论任一点任一点P，一定存在两，一定存在两 互相互相垂直的主应力垂直的主应力1 、 2 。（3）N 的主应力表示的主应力表示xyOsNN2dxdydsPABN1由由xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(222212mlN)(12 lmN2212)(l1 与与 2 分别为最大和最小应力分别为最大和最小应力。（4）最大、最小剪应力）最大、最小剪应力由由)(12 lmN)1 (2lm122 ml)(21411222lN)(1122llN)(1242llN显然，当显然，当)

16、21(0212ll时，时，N为最大、最小值：为最大、最小值：221minmax由由21l得，得，max、 min 的方向与的方向与1 （ 2 ）成成45。xyOdxdydsPABN12sNN小结：小结：xyyNlmYyxxNmlX（3）（4）xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（5）（6）YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18） 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件2212mlN)(12 lmN2212)(l（1）斜面上的应力）斜面上的应力yxyxyx2211tantan（8）表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、

17、最）一点的主应力、应力主向、最大最小应力大最小应力222122xyyxyx（7）221minmaxmax、 min 的方向与的方向与1 （ 2 ）成成45。3.2.3 3.2.3 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移建立：建立：平面问题中应变与位移的关系平面问题中应变与位移的关系 几何方程几何方程1. 几何方程几何方程一点的变形一点的变形线段的线段的伸长或缩短伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；xyOP考察考察P点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA变形前变形前变形后变形后PABBPAuvdxxvvdxx

18、uudyyuudyyvv注：注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：点的剪应变：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxyxyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx几何方程几何方程（9）说明：说明：（1）反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变

19、间的间的关系，是弹性力学的基本方程之一。关系，是弹性力学的基本方程之一。（2） 当当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；反之，已知可完全确定；反之，已知 ，不能确定不能确定u、v。xyyx,xyyx,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy 以两线段夹角以两线段夹角减小为正减小为正，增大为负增大为负。2. 刚体位移刚体位移物体无变形，只有刚体位移。物体无变形，只有刚体位移。 即：即： ,0, 0, 0时当xyyxxvxfyuyf0201)()(0 xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： )()(2

20、1xfvyfu(d)将将(d)代入代入(c)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydf或写成：或写成： dxxdfdyydf)()(21上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，的函数，右边仅右边仅 x 的函数，的函数，两边只能等两边只能等于同一常数，即于同一常数，即 dyydf)(1(d)积分积分(e) ，得：，得： dxxdf)(2(e)其中，其中，u0、v0为积分常数。为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（方向的刚体位移），代入（d）得）得:(2-10)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式讨论：讨论： (2-10)xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式

21、（1）2222yxvu,0, 00时当vu仅有仅有x方向平移。方向平移。（2）, 0,0vuu则,0, 000时当uv仅有仅有y方向平移。方向平移。, 0,0uvv则（3）,0, 000时当uvxvyu则xyOPyxrrxyxyxytantan说明：说明：OPr P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动 绕绕O点转过的角度（刚性转动）点转过的角度（刚性转动）3.2.4 3.2.4 斜方向的应变及位移斜方向的应变及位移1. 斜方向的正应变斜方向的正应变N问题：问题：已知已知 ，求任意方，求任意方向的线应变向的线应变N 和线段夹角的和线段夹角的变化。变化。xyyx,xyOP(x,y)N 设设 P 点的

22、坐标为点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为点的坐标为（x+dx，y+dy），PN 的长度为的长度为 dr，PN 的的方向余弦为：方向余弦为：myPNlxPN),cos(,),cos(于是于是PN 在坐标轴上的投影为：在坐标轴上的投影为：mdrdyldrdx,P1N1N 点位移：点位移：dyyvdxxvvdvvvNdyyudxxuuduuuN 变形后的变形后的P1N1在坐标方向在坐标方向的投影：的投影：dyyvdxxvdyvvdyNdyyudxxudxuudxN 设设PN变形后的长度变形后的长度 P1N1=dr， PN 方向的应变为方向的应变为N ，由应变由应变的定义：的定义：vudrdrrd

23、NdrdrrdN或22drdrrdN22)()(dyyvdxxvdydyyudxxudx两边同除以两边同除以 (dr)2，得得222)1 (drdyyvdrdxxvdrdydrdyyudrdxxudrdxN2211xvlyvmyumxul化开上式，并将化开上式，并将yvxvyuxuN,的二次项略去，有的二次项略去，有xvlmyvmyulmxulN2)21 (2)21 (2122xyOP(x,y)NvuP1N1drrd xvyulmyvmxulml2222222xvlmyvmyulmxulN2)21 (2)21 (2122xyyxNlmml22（11）2. P点两线段夹角的改变点两线段夹角的改变

24、yxxy1xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr变形前：变形前：ml,PN 的方向余弦的方向余弦ml,PN 的方向余弦的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦的方向余弦P1N1 的方向余弦的方向余弦11,ml11,mlmml lcos11111cosmml l2. P点两线段夹角的改变点两线段夹角的改变xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr变形前：变形前：ml,PN 的方向余弦的方向余弦ml,PN 的方向余弦的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦的方向余弦P1N1 的方向余弦的方向余弦11,ml11,ml),cos(111xNP

25、l )1 (Ndrdyyudxxudx),cos(111yNPm )1 (NdrdyyvdxxvdyldrdxmdrdyNN1)1 (1利用：利用：化简，得：化简，得：yumxullN11xvlyvmmN11略去二阶小量；略去二阶小量；2. P点两线段夹角的改变点两线段夹角的改变xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr变形前：变形前：ml,PN 的方向余弦的方向余弦ml,PN 的方向余弦的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦的方向余弦P1N1 的方向余弦的方向余弦11,ml11,mlyumxullN11xvlyvmmN11同理，得：同理，得：yumxullN11

26、xvlyvmmN11PN 与与 PN变形后的夹角改变为：变形后的夹角改变为：1mml lcos11111cosmml l代入，并利用：代入，并利用：1cos)(mml lNN1)(2yxmml lxymlml)(并略去高阶小量，有并略去高阶小量，有xvyuyvxuxyyx,cos2. P点两线段夹角的改变点两线段夹角的改变xyOvuP(x,y)NNP1N11N1rd 1rd 1drdr变形前：变形前：ml,PN 的方向余弦的方向余弦ml,PN 的方向余弦的方向余弦变形后：变形后：P1N1 的方向余弦的方向余弦P1N1 的方向余弦的方向余弦11,ml11,mlPN 与与 PN变形后的夹角改变为：

27、变形后的夹角改变为：1mml lcos11111cosmml l1cosNN1)(2yxmml lxymlml)(cos（12）从中求出变形后两线段间的夹角从中求出变形后两线段间的夹角,1进一步求出进一步求出13. 斜方向应变公式的应用斜方向应变公式的应用3. 斜方向应变公式的应用斜方向应变公式的应用（1）已知一点的应变已知一点的应变 ，可计算任意方向的，可计算任意方向的应变应变 。 的最大值、最小值。主应变、主应的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。变方向等。xyyx,NN（2）已知一点任意三方向的应变已知一点任意三方向的应变 ，可求得，可求得该点的应变分量该点的应变分量 。321,NNN

28、xyyx,xyyxNxyyxNxyyxNmlmlmlmlmlml332323322222221121211xy453N1N2N若若 用用45应变花测构件表面应变：应变花测构件表面应变：2233 ml0, 111ml1, 022ml2132NNNxy1Nx2Nyxyyx,120120120若若 用用120应变花测构件表面应变，即：应变花测构件表面应变，即：xy1N2N3N求得该点的应变分量求得该点的应变分量:321,NNNxyyx,作为作业！作为作业！xyyx,3.2.5 3.2.5 物理方程物理方程建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系

29、、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1. 各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的力学中的广义虎克（广义虎克（Hooke）定律）定律。)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1（13）其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又称泊松比。)1 (2EG（1）平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xz

30、yyExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于平面应力问题由于平面应力问题中中)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15） 注：注：(1) 0z)(yxzE(2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (20zxyzz（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中)1(12yxxExyxyE)1 (2（16） 注：注：(2) 平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式：物理方程的另一形式：)1(12xyyE由式（由式（2-13）第三式，得）第三式，得)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzy

31、yExyxyG1yzyzG1zxzxG1（13）)(yxz0zxyzz(1) 平面应变问题中平面应变问题中0z，但，但0z)(yxz（3）两类平面问题物理方程的）两类平面问题物理方程的转换：转换：)1(12yxxExyxyE)1 (2（16） )1(12xyyE)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 （15）(1) 平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：1(2) 平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：21 E12)1 ()21 (EEE3.2.6 3.2.6 边界条件边界条件1. 弹性力学平面

32、问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）几何方程：）几何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）未知量数：未知量数：vuxyyxxyyx,8个个方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。2. 边界条件及其分类边界条件及其分类边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOqPuSSuSSS是是力学计算模型力学计算模型建立的重要

33、环节。建立的重要环节。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界SuS（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量， 表表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：可表达为：vu,vvuuss（17） 说明：说明：,0时当 vu称为固定位移边界。称为固定位移边界。xyOqPuSSuSSS（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界YX,x

34、yOdxdydsPABXNYNNyxxyxy由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得xyyNlmYyxxNmlX式中取：式中取：YYXXNN,sxyxysyysxx,得到：得到：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）式中：式中：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方轴的方向余弦。如：向余弦。如： 垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：. 1, 0ml垂直垂直 y 轴的边界：轴的边界：. 0, 1mlYXsxysx,XYsyssy,例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2

35、), ax 0, 1mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(0, 0sxysx(3), hy1, 0mlqsxysysxysx0) 1(0) 1(00, 0sxysy(4), hy1, 0ml00) 1(0) 1(0sxysysxysx0,sxysyq说明：说明：x = 0 的边界条件，是有矛的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：盾的。由此只能求出结果：. 0, 0vu0, 0YXqYX , 00, 0YX内容回顾：内容回顾：1.两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应力应力特征。特征。几何特征几何特征;

36、受力特征受力特征;应变应变特征。特征。yxxyyx,yxxyyx,xyyztba水水坝坝滚滚柱柱位移边界条件位移边界条件2.平面问题的基本方程：平面问题的基本方程：（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）几何方程）几何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,应力边界条件应力边界条件平面应力问题平面应力问题例例2 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp

37、(x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu(3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxN例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyY cosyX 由应力边界条件公式，有由应力边界

38、条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右侧面：右侧面：sin,cosmltanyxtanyx 0YX0cossinxyyx0sincosxyx例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解：解： 平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上边界上无面力作用。即无面力作用。即0YXAB 边界：边界：111sin,cosml由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysx

39、ysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx（1）AC 边界：边界：12122sincoscosml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 点处无应力作用点处无应力作用例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例例6例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。0YXsin)90cos(l

40、YlmXmlsxysysxysx)()()()(cos)180cos(m上侧：上侧：0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下侧：下侧：, 0X0l1mqYqsysxysxysx) 1()(0)(0) 1()(0)(0)(sxyqsy)(图示构件，试写出其应力边界条件。图示构件，试写出其应力边界条件。例例6上侧：上侧：, qX 0l1m0Y0) 1()(0)() 1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(syYlmXmlsxysysxysx)()()()(, 0X,sin)90cos(lcosm下侧：下侧：NpYpsysxysxysxcos)(sin()(0

41、cos)()sin()(（3）混合边界条件）混合边界条件(1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：一为应力边界条件。如：图图(a)：0Ysxy 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：0sx0 uus0 vvs 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件平面问题的基本方程平面问题的基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程00YyxXyxyxyyxx（2）2. 几何方程几何方程yux

42、vyvxuxyyx（9）3. 物理方程物理方程（平面应力问题）（平面应力问题）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）4. 边界条件边界条件位移：位移：vvuuss（17）应力：应力：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）3.2.7 圣维南原理圣维南原理问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形变分量、位移分量完全满足8个基本个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。足，往往很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界如图所示，其力的作

43、用点处的边界条件无法列写。条件无法列写。1. 静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系静力等效力系。)(iOOFmMiFR 这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。确，但对变形体而言一般是不等效的。2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布，变换为分布不同但不同但静力等效的面力静力等效的面力，

44、则，则近处近处的应力分布将有的应力分布将有显著改变，而显著改变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP3.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1) 对对复杂的力边界复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。，用静力等效的分布面力代替。(2) 有些有些位移边界位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1) 必须满足必须满足静力等效静力等效条件；条件；(2) 只能在只能在次要边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要边界主要边

45、界PAP次要边界次要边界例例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：0, 1ml0YXYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式0hxxyhxxy右侧面：右侧面：0, 1ml0,YyX代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有00hxxyhxx上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP对对O点的力矩等效：点的力矩等效

46、：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！yPxyyx上端面：上端面： （方法（方法2）取图示微元体，取图示微元体，0yFdxyhhy0sin0Pdxhhyy0sinP 0OMxdxyhhy00sin2hPxdxyhhy0)(sin2hP 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，3.2.8 3.2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问

47、题1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）（2）几何方程）几何方程：yuxvyvxuxyyx（9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（15）（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,2.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、

48、v ，再由几何方程、物理方程求出应力再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。形变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量 和部分和部分应力分量 为基本未知函数，将，为基本未知函数，将，并求出这些未知量并求出这些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。3. 按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平

49、衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（19）（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（20）（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,应力边界条件：应力边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1

50、(2（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（21）（17）式（式（20）、（）、（17）、（）、（21）构成按位移求解问题的基本方程）构成按位移求解问题的基本方程说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEX

51、yxvyuxuE（20）（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,（17）应力边界条件：应力边界条件：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（21）3.2.9 3.2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程1.变形协调方程（相容方程）变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：（2）平衡微分方程：平衡微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0Yyxyyx0Xyxxyx2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，需寻求补

52、充方程， 从从形变形变、形形变与应力的关系变与应力的关系建立补充方程。建立补充方程。将几何方程：将几何方程：xvyuyvxuxyyx,（9）作如下运算：作如下运算：2323xyvyxu2322yxuyx2322xyvxyxvyuxyyxxy22显然有：显然有：yxxyxyyx22222（22） 形变协调方程（或相容方程）形变协调方程（或相容方程）即：即： 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这些位移分量。xyyx,例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：0, 0

53、yvxu积分得：积分得：)()(21yfvxfu由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：CxyxvyuxyCxydxxdfdyydf)()(21显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。0Yyxyyx0Xyxxyx（2）2. 变形协调方程的应力表示变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：yxxyxyyx22222（22）yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：)(1xyyE)(1yxxExyxyE

54、)1 (2（15）（a）xXxxyxxy222XxyxxyYyxyxyyYxXyxyxyxxy222222将上述两边相加：将上述两边相加：yYyyxyxy222（b）将将 (b) 代入代入 (a) ，得：，得：yYxXxyyx)1 ()(2222将将 上式整理得：上式整理得：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(（23）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为： ， 得得1（24）（平面应力情形）（平面应力情形）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）当体力当体力 X、Y

55、为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx（25）3.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）yYxXxyyx)1 ()(2222（23）（3）边界条件：）边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（18）（平面应力情形）（平面应力情形）说明：说明：（1）对位移边界问题，不易按应）对位移边界问题，不易按应力求解。力求解。（2）对应力边界问题，且为）对应力边界问题

56、，且为单连单连通问题通问题，满足上述方程的解，满足上述方程的解是唯一正确解。是唯一正确解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方，满足上述方程外，还需满足程外，还需满足位移单值条位移单值条件件，才是唯一正确解。，才是唯一正确解。例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx解解（a）（b）（1） 将式（将式（a）代入平衡方程：）代

57、入平衡方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2）03322xyxy033 yy 满足满足将式（将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式（式（a）不是一组可能）不是一组可能的应力场。的应力场。例例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx（a）（b）

58、（2）解解将式（将式（b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：yxxyxyyx2222202222222CCyxxyxyyxCyx222022xyCyxxy22式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。例例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。xyxy解解材料力学解

59、答：材料力学解答：0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy式（式（a）满足）满足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2）显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。00 yIPyIP0000式（式（a）满足）满足相容方程。相容方程。再验证，式（再验证，式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？0, 022hyyxhyy 满足满足00 xx满足满足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pd

60、ylxhhxy22022dylxhhx近似满足近似满足近似满足近似满足结论：式（结论：式（a）为正确解）为正确解0)(2222yxyx代入代入相容方程：相容方程：02222xyIPyx0上、下侧边界：上、下侧边界：右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：3.2.10 3.2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化1.常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的相容方程令：令：22222yx 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为：yYxXyx11)(2yYxXyx)1 ()(2 平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力当体力 X