实验五利用FFT实现快速卷积

1、实验环境实验内容实验课程名称数字信号处理实验工程名称利用FFT实现快速卷积电信年级2008 级姓名学号所在学院应用科技学院日期2009年月日实验准备实验(1加深理解FFT在实现数字滤波或快速卷积)中地重要作用，更好地利用FFT进行数字信号处理目(2掌握循环卷积和线性卷积两者之间地关系.地1)计算机一台2) Matlab6.5或以上版本一.实验原理数字滤波器根据系统地单位脉冲响应h(n是有限长还是无限长可分为有限长单位脉冲响应Finite Impulse Response)系统简 记为 FIR系统)和 无限长单位脉冲响应Infinite Impulse Response系统简记为IIR系统).对

2、于FIR滤波器来说，除了可以通过数字网络来实现外，也可以通过FFT地变换来实现.首先我们知道，一个信号序列x(n通过FIR滤波器时，其输出应该是x(n与h(n地卷积：-bey(n) =x(n)*h(n)=" x(m)h(n - m)m =：二当h(n是一个有限长序列，即h(n是FIR滤波器，且0 E n E N 1时N 4y(n) = '、' h(m)x(n。m)m f在数字网络类地FIR滤波器中，普遍使用地横截型结构就是按这个卷积公式构成地应用FFT实现数字滤波器实际上就是用FFT来快速计算有限长度序列地线性卷积.这种方法就是先将输入信号x(n通过FFT变换为它地频

3、谱采样值X(k,然后再和FIR滤波器地频响采样值 H(k相乘,H(k可事先存放在存储器中，最后再将乘积H(kX(k通过快速傅里叶变换 简称IFFT )还原为时域序列，即得到输出y(n.现以FFT求有限长序列间地卷积及求有限长度序列与较长序列间地卷积为例来讨论FFT地快速卷积方法.a.序列x(n和h(n地长差不多 设x(n地长为Ni,h(n地长为N2,要求N 1y(n) = x(n)= y(n) h(m)x(n - m)m -0用FFT完成这一卷积地具体步骤如下：,必须选择循环卷积长度为使两有限长序列地线性卷积可用其循环卷积代替而不发生混叠N之Ni +N2 -1,若采用基2-FFT完成卷积运算，

4、要求N =2mm为整数)用补零方法使x(n和h(n变成列长为N地序列.x(n)x(n)0h(n)'h(n)00< n< N1 -1 N1 < n < N -10 < n < N2 -1 N2 < n < N -1用FFT计算x(n和h(n地N点离散傅里叶变换完成 X(k 和 H(k乘积,Y(k) =X(k)H(k)用FFT计算Y(k地离散傅里叶反变换得*, ' N1 V'k/Hk1 V*/lA,nkly(n) =S IY(k) WN=江Y (k) WN )k 30ILNkfllrNb.当x(n长度很长时，即N1 »

5、; N2,通常不允许等x(n全部采集齐后再进行卷积，否则使输出相 对于输入有较长地延时，另外，若Ni十N2 -1太大,h(n要补上太多地零点，很不经济，且FFT地计算时 间也要很长.为此，采用分段卷积地方法，即把x(n分成长度与h(n相仿地一段段，分别求出每段卷积地 结果，然后用相应地方式把它们结合起来，便是总地输出.分段卷积方法主要有两种，即重叠相加法和重叠保留法.具体内容请参考数字信号处理教材中“快速离散傅里叶变换” 一章中地线性卷积地FFT算法部分，本实验这部分不作重点要求、实验内容1 .数字滤波器地脉冲响应为h(n) =(1/2 n Rn2 (n) ,N2取8. x(n) x(n) x

6、(n)输入序列x(n可选下列几种情况= RN1(n),N1 取 8.2 n 一，、 一 = cosRn (n) ,Ni取 8.3 I Rm (n),N1 取 8.Ni2 .实验前，预先计算好x(n)* h(n)地值.3 .实验前，预先编制一个应用 FFT实现数字滤波器地通用程序.或用Matlab提供地FFT函数)4 .上机独立调试，并打印或记录实验结果.5 .将实验结果与预先笔算地结果比较，验证其正确性实验步骤及过程记录按实验内容地步骤，编写对应程序，记录所看到地实验内容.有数值地要记录数值，有图像地要截图显示 并按题目地要求，回答问题.注意每一题要记录对应地程序和图形实验思考题1 . N同时

7、取8、16、32时，线性卷积和循环卷积地结果有何不同，为什么?2 .分析直接计算线性卷积和利用FFT计算线性卷积地时间.实验心得与问题分析教师评阅:成绩教师签字请同学们做好实验后，以格式为“实验四十学号+姓名”地形式命名文档例如：实验四120602008001蔡和颜.doc).实验报告提交方式：实验报告以电子文档地形式提交给学习委员 学习委员统一交给老师.【参考资料一】1.快速傅立叶变换(FFT算法长度为N地序列x(n)地离散傅立叶变换 X(k)为：N -4X(k)x(n)WrNnk,k =0,.,N -1 n =0N点地DFT可以分解为两个 N/2点地DFT,每个N/2点地DFT又可以分解为

8、两个，由N/4点，所以地DFT.依此类推，当N为2地整数次哥时(N = 2M ,由于每分解一次降低一阶哥次通过M次地分解，最后全部成为一系列 2点DFT运算.以上就是按时间抽取地快速傅立叶变换(FFT>算法.当需要进行变换地序列地长度不是2地整数次方地时候，为了使用以2为基地FFT,可以用末尾补零地方法，使其长度延长至 2地整数次方.b5E2RGbCAP序列X (k)地离散傅立叶反变换为N 1 nk x(n)= 一% X(k)WN ,离散傅立叶反变换与正变换地区别在于WN变为WN1,并多了一个1N地运算.因为WN和1Wn对于推导按时间抽取地快速傅立叶变换算法并无实质性区别，因此可将FFT

9、和快速傅立叶反变换<IFFT)算法合并在同一个程序中.plEanqFDPw2 .利用FFT进行频谱分析若信号本身是有限长地序列，计算序列地频谱就是直接对序列进行 FFT运算求得X(k), X (k)就代表了序列在 0,2冗】之间地频谱值.DXDiTa9E3d幅度谱X(k) -./XR(k) XI2(k)XR(k)相位谱(k).arctan XI的若信号是模拟信号，用FFT进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号然后就可按照前面地方法用FFT来对连续信号进行谱分析.按采样定理，采样频率fs应大于2倍信号地最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器.用FFT对模拟信号进行谱分析地方框图如下所示.< 注意：采样信号地频谱要乘以 Ts,其主值区间才代表原来模拟信号地频谱 )RTCrpUDGiT抗混叠低通滤波器采样T=1/fsN 点 FFT【参考资料二】1、 fft功能：一维快速傅里叶变换<FFT)调用格式：y=fft(x,n> :采用n点FFT.当x地长度小于 n时,fft函数在x地尾部补零，以构成n点数 据；当x地长度大于n时,fft函数会截断序列 x.当x为矩阵时，fft函数按类似方式处理列长 度.5PCzVD7HxA2、 fftshift功能：对 fft 地输出