03第三节一阶线性微分方程

1、第三节一阶线性微分方程分布图示 一阶线性微分方程及其解法例1例2例3例4例5例6伯努利方程例7例8例9例10内容小结课堂练习习题8-3内容要点：一、一阶线性微分方程形如dy P(x)y =Q(x)(3.1)dx的方程称为 一阶线性微分方程 .其中函数 P(x)、Q(x)是某一区间I上的连续函数.当Q(x)三0,方程(3.1)成为dy/ P(x)y =0(3.2)dx这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解y -Ce_P(x)dx.(3.3)其中C为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将

2、通解中的常数C变易为待定函数u(x),并设一阶非齐次方程通解为P(x) dxy =u(x)e ,一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为y - 1 Q(x)e P(x)dxdx C !一吃心(3.5)二、伯努利方程：形如dy P(x)y = Q(x)yn(3.7)dx的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n 0,1.伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的.事实上,在方程(3.7)两端除以yn ,得y'-dy P(x)yJ =Q(x), dx1<y1Jn)P(x)y1"=Q(x),1 - n于是，令z = y1，就得到关于变量 z的一阶线性方程d

3、z (1 -n)P(x)z =(1 -n)Q(x).dx利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解例题选讲:1 -n y_ (1 _n)P(x)dx二e(1 q)P(x)dx Q(x)(1 -n)edx C .一阶线性微分方程1sin x例1 (E01)求方程y + y=的通解.x x解P( x) =-, Q( x) =s”,于是所求通解为xxysin xxedxdx+C Venx1' jsn2，elnXdx+c=1( V xx xcosx C).例2(E02)求方程曳-2y- = (x+1)5/2的通解.dx x 1解这是一个非齐次线性方程.先

4、求对应齐次方程的通解.,dy 2 dy 2dx-2由y =0 =: ln y =2 ln(x 1) ln C = y = C(x 1).dx x 1y x 1用常数变易法，把C换成u,即令y =u(x +1)2 ,则有=u '(x+1)2 +2u(x +1), dx代入所给非齐次方程得u' = (x+1)2/1，两端积分得u=2(x+1)3/2 +C,3回代即得所求方程的通解为y =(x 1)2 2(x 1)3/2 C .3例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解xln xdy +(y ln x)dx =0, y xze =1.解将方程标准化为y1 y=L于 xin x x1-

5、edxxlnxdx . C由初始条件y=1/HC =x e_ln ln x 二 e1e xlnlnx . cdx C 二1 iin2x C .In x 21 一 1,故所求特解为y=.2 2 .,1in x In x例4求解方程包+ ydxdxdx,中(x)是x的已知函数.解原方程实际上是标准的线性方程，其中p(x)=d,Q(x)=9(x)吧,dxdx直接代入通解公式，得通解(吟edxdx+Cl=e (x)：(x)e (x)d ： C = (x) -1 Ce-；(x)例5求方程y3dx +(2xy2 1)dy =0的通解.解当将y看作x的函数时，方程变为,3dy 二 ydx 1 -2xy2这个

6、方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x看作y的函数，方程改写为3 dx 2 dy 2y x =1 dy则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为y3 dx 2y2x =0dy,、一 ，一 dx分离变量，并积分得 dx= -x2dy1，即 x =G 2 yy其中Ci为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为1x = u(y) 2 ,代入原万程，得 yu (y)=- y积分得 u(y) =ln | y | C1故原万程的通解为x = 2 (in I y I%)，其中C为任意常数.y例6如所示，平行于y轴的动直线被曲线 y = f (x)与y=x3(x至0)截下的线段PQ之长数值上等于阴影部

7、分的面积，求曲线f(x).x解 jf(x)dx=%：(x y) =x y,两边求导得y' + y=3x，解此微分方程得 y=e一卢 + j3x2e0xdxj=Ce" +3x2 6x+6,由yx2=0,得C =_6,故所求曲线为y =3(qe/ +x2 2x+2).例7求_dy _ 4 y =x2 Jy的通解.dx x解两端除以 得上电，灯=x2, ,y dx x令 z = 77，得 2 dz _4 z =x2，解得 z=x2仁 +C (dx x2故所求通解为y =x41- +C 2.2伯努利方程例8 (E03)求方程dy + y =(ain x)y2的通解.dx x解以y2除

8、方程的两端，得1Ldx+xy'=a1nx，即 _k'y=a1nx,令z = y,则上述方程变为 1 z = -a In x. dx x解此线性微分方程得z = xC -(ln x)2IL 2以y二代z,得所求通解为yx -C -2 (ln x)2 j=1.例9求方程 +x(y -x) +x3(y -x)2 =1的通解. dx解令y -x =U,贝U dy =业+1,于是得至IJ伯努禾U方程 包+xU = -x3U2. dx dxdx令z=u1" =1,上式即变为一阶线性方程 udz一 xz = x . dx2 x其通解为z = e22 x32x e 22xdx +C

9、=Ce2 -x2 -2.回代原变量，即得到题设方程的通解1二 x 2xCe万-x2 -2例10求解微分方程dy 1,二 . 2 ,、dx xsin (xy)解令z=xy,则生=y +xdy, dx dxdz1 y '1_=y+x .2,、一二!= . 2 ,dx(xsin (xy) x sin z利用分离变量法解得 2z -sin 2z =4x C,将2=*丫代回，得所求通解为 2xy sin2(xy) =4x+C.课堂练习1 .求微分方程包="上的通解.dx cosy sin 2y - xsin y2 .设函数f(x)可微且满足关系式x02f(t)-1dt = f(x)-1

10、,求 f(x).雅各布.伯努利(Jacob Bermoulli , 16541705)伯努利瑞士数学、力学、天文学家。1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔。雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行家的女儿。雅格布在 1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴 塞尔市议会的议员和艺术行会会长。雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理、音乐的基础，以及方法、修

11、辞和雄辩术等七大门类。遵照 他父亲的愿望，他又于 1676年得硕士学位。同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学 上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从 1677年起，他开始在这里写内容丰富的沉思录 。1678年雅格布进行 了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。 然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的几何学、活利斯的无穷的算术以及巴罗的几何学讲义。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。1681-1682年间，他做了第二次学

12、习旅行，接触了许多数学家和科学家。通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣。 这次旅行，他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关慧星的理论以及受到人们高度评价的重力理论。回到巴塞尔后，从1683 年起，雅格布做了一些关于科技问题的文章，并且也继续研究数学著作。1687 年，雅格布在教师学报上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分方法”。 1684 年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究。1685年出版了他最早的关于概率论的文章。由于受到活利斯以及巴罗的涉及到数学、光学、 天文学的那些资料的影响，他又转向了微分几何学。在这同时，他的弟弟约翰.伯努利一直跟其学习数学。168