全等三角形几何证明常用辅助线

1、百度文库-让每个人平等地提升自我几何证明-常用辅助线（一）中线倍长法：/例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图， ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD < -1 （AB+AC）分析：要证明 AD < 1 （AB+AC）,就是证明AB+AC>2AD ,也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中 的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该 进行转化。待证结论 AB+AC>2AD中，出现了 2AD,即中线AD应该加倍。证明:延长 AD至E,使DE=AD ,连CE,则AE=2

2、AD。在4ADB 和4EDC 中，AD= DE-ZADB=/EDCBD= DC.ADBAEDC(SAS) . AB=CE又在 ACE中，AC+CE >AE . AC+AB >2AD，即 AD < 1 (AB+AC)小结：（1）涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法（ 它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC和两个角/ BAD和/ CAD集中于同一 个三角形中，以利于问题的获解。课题练习：ABC中，AD是 BAC的平分线，且 BD=CD ,求证AB=AC15例2:中线一倍辅助线作法A漂边中线方式1:延长AD到E,使 DE=AD , 连接BEB.,CDAB

3、DCE例 3: ABC 中，AB=5例4:已知在 ABC中,DF=EF ,求证：BD=CE8- C/D方式2:间接倍长EA作 CFXADT F,，/延长 MD!U N,作BE,AD的延长线于 Em J ：使DN=MD连接BE/连接CDN,AC=3,求中线AD的取值范围AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上， DE交BC于F,且/ABDFCE课堂练习：已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC ,延长BE交AC于F,求证：AF=EFAC , D、E 在 BC上，且 DE=EC 过 D作 DF / BA例5：已知：如图，在 ABC中，AB 交 AE于点 F, D

4、F=AC.第1题图求证：AE平分 BAC课堂练习：已知 CD=AB , /BDA=/BAD, AE是4ABD的中线，求证：/ C= Z BAE作业:1、在四边形 ABCD中，AB / DC, E为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线 相交于点F。试探究线段，AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，平分 BAC交CIABC 中， C=90 , CM AB 于 M, AT AMM于D.交BC于T.过D作DE弋D一一3:已知在 ABC中，AD是BC边 于F,求证：AF=EF4:已知 CD=AB , / BDA= / BAD5、在四边形 ABCD中，AB

5、 / DC, 相交十点F。试探究线段 AB与AFD BT E C 上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC ,延长BE交AC ABFBDC,AE是ABD的中线，求证：/ C= Z BAEABCEDCE为BC边的中点，/ BAE= / EAF , AF与DC的延长线.、CF之间的数量关系，并证明你的结论 ABEF求证：/ BAB/BCD180分析：因为平角等于180 化成为平角，图中缺少全等的三 可通过“截长补短法”来实现证明：过点D作DE垂直/A.D0 ,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转/角形， 因而解题的关键在于构造直角三角形，/BC图1-1BA的延长线于点 E,彳DFL BC于点F,如

6、图（二）截长补短法例1.已知，如图1-1 ,在四边形 ABC珅/BOAR A=DC B叶分/ ABC1-2 / B叶分/ ABCDE=DF在 RtMDEW RtACDF,/DE DFAD CDRtAADIE RtA CDFH。，. / DA巨/ DCF又/ BAD/DAE=180 , . / BA。/ DCF=180 ,即/ BAD/ BCB180例2.如图2-1 , AD/ BC点E在线段 AB上，/ AD巨/ CDIEABF C图1-2E / DC巨/ ECB 求证：CD=AHBC例3.已知，如图3-1 , /1 = /2, P为BN上一点，且 PDL BC于点D,DCB 图2-1ABnB

7、C=2BD求证：/ BAP+/BCF180 .例4.已知：如图4-1 ,在ABC43, 1求证：AB=AGCDAN BD C图 3-1/ C= 2/ B, Z 1 = 7 2.ABDC图4-1作业:1、已知：如图，ABCDM正方形，/ FAD=/FAE求证：B&DFAE2、五边形 ABCD呼，AB=AE BGDE=CD / ABG/AEB180 ,求证：AD平分/ CDE（三）其它几种常见的形式:1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全 等三角形。例：如图1:已知AD为 ABC的中线，且/ 1 = /2,/3=/4, 求证：B曰CF> EF。2、有以线段中点为端点的

8、线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图2: AD为4ABC的中线，且/ 1 = /2, /3=/4,求证：B曰CF>EF图2练习：已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各 向形外作等腰直角三角形，如图 4,求证EF= 2AD3、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AOBD, ADLAC于A , BCLBD于B,求证：AD= BC4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7: AB/ CD AD/ BC 求证:AB=CD5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8:在 RtzXABC中，AB= AG / BAC= 90° , /1 = /2, CHBD 的延长于E 。求证