MATLAB实验二定积分的模拟计算

1、q 问题背景和实验目的实验二、定积分的近似计算u 定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。u 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。q 矩形法u 定积分的定义：实验二、定积分的近似计算badxxf)(,1iiixx0 x1x2x1nxnx 1x2x1ix ix nx,)(iixf ,1iiixxxiixxmax0limxnixni 1矩

2、形法1( )(), nbiiaif x dxfx n 充分大，x 充分小u 定积分的近似：l 通常我们取nxxx21nabh左点法右点法中点法l 点 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 ，右端点 和中点 。,1iiixx1ixix2/ )(1iixx()/ixhban, 1 2ixaihi, ,n步长节点u 右点法：11( )()()nnbiiaiif x dxfxhf xixu 中点法：1111( )()22(nnbiiiaiixxf x dxfxhfiixx111( )()()nnbiiaiif x dxfxhf x-1ixu 左点法：左点法、右点法和中点法相应的 Matlab 程序见

3、fuluA.m解：矩形法举例h =1/100=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 u 例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， 并比较这三种方法的相对误差。1021xdxl 左点法：niiniixhxfhxdx1121110211 )(1 0.78789399673078l 右点法：1201()1niidxhf xx 0.78289399673078 0.78540024673078niiixxfhxdx11102)2(1l 中点法：(i = 0,1,2,.,100)11020arctan1dxxx40.78789399673078/4/40.0

4、03178l 理论值：l 左点法相对误差：0.78289399673078/4/40.0031880.78540024673078/4/4 -62.65310 u 误差分析矩形法举例l 右点法相对误差：l 中点法相对误差：不同的方法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法 ?)(xfab1ixixxyobadxxfS)(1S2SiSnSniibaSdxxfS1)(定积分几何意义iSiiiixyyS21nixfyii, 2 , 1 ),(u 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似u 整个曲边梯形的面积：badxxfS)(iniiiniixyyS1112梯形法u 如果我们 n 等分区

5、间 a,b，即令：badxxfS)(niiiiniiiniiyyhxyyS1111122nxxx21nabh则22)(110nnbayyyyhdxxf梯形公式梯形法梯形公式与中点公式有什么区别 ?Matlab 程序见 fuluB.m解：101120122nndxyyhyyx 0.78539399673078u 例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )， 并计算相对误差梯形法举例1021xdxa=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) l 相对误差：0.78539399673078/4

6、/4-65.30510 u 2n 等分区间 a,b ，得该直线用抛物线代替，计算精度是否会更好？11, , 0,1,22ibahxihinnu 计算每个节点上的函数值：nixfyii2 , 1 , 0 ),(抛物线法u 在区间 x0, x2 上，用过以下三点),( ),( ),(222111000yxPyxPyxP的抛物线来近似原函数 f (x) 。u 设过以上三点的抛物线方程为：则在区间 x0, x2 上，有y = x2 + x + = p1(x) 2020)()(1xxxxdxxpdxxf20) (2xxdxxx20 2 3 23xxxxx20012 (4)6xxyyy012 (4)6ba

7、yyyn抛物线法3322202020()()()32xxxxxx 22200022()()6xxxxxx 22020()2 ()4xxxx u 同理可得：)4(6)( )4(6)(2122243222242nnnxxxxyyynabdxxfyyynabdxxfnnu 相加即得：2221222121( )( ) (4) 6iinbxaxiniiiif x dxf x dxbayyyn抛物线法u 整理后可得：)(2 )(46 )(2242123120nnnbayyyyyyyynabdxxf或辛卜生 (Simpson) 公式抛物线法公式抛物线法Matlab 程序见 fuluC.m)(46112312

8、0102nnyyyyynabxdx 0.78539816339745)(22242nyyyu 例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )， 并计算相对误差1021xdx解：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) 0.78539816339745/4/4-162.82710 l 相对误差：抛物线法u 梯形法：trapztrapz(x,y)x 为分割点（节点）组成的向量，y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。22)(110nnbayyyynabdxxf,x10nxxx01y (),(),()nf xf xf xq Matlab 近似计算定

9、积分的相关函数Matlab 计算定积分函数介绍前面的做法u 例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 1021xdx解：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) x=0:1/100:1; y=1./(1+x.2); trapz(x, y)trapz函数1012120122nndxbayyyyyxntrapz(x,1./(1+x.2)trapz 举例quad(f,a,b,tol)f = f(x) 为被积函数，a,b 为积分区间，tol 为计算精度将自变量看成是向量badxxf)(u 抛物线法：quadl 不用自己分割积分区间l 可以指定计算精度，

10、若不指定，缺省精度是 10-6l 精度越高，函数运行的时间越长l 此处的函数 f 是数值形式，应该使用数组运算，即 点运算：.*，./ ，. ，. 注：抛物线法1021xdx解： quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1,1e-10) quad(1./(1+x.2),0,1,1e-16)函数表达式一定要用 单引号 括起来！涉及的运算一定要用 数组运算！u 例：用 quad 计算定积分：quad 举例q 抛物线法计算二重积分： dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)u tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6( , )dbc

11、af x y dxdy u f(x,y) 可以由 inline 定义，或通过一个函数句柄传递u a,b 是第一积分变量的积分区间，c,d 是第二积分变量 的积分区间按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面二重积分的计算21201(43)Ixyydxdy f=inline(4*x*y+3*y2); I=dblquad(f,-1,1,0,2)u f(x,y) 中关于第一自变量的运算是数组运算， 即把 x 看成是向量，y 看成是标量。 也可以全部采用数组运算例2：计算二重积分 20112)34(dxdyxxy dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2) dblquad(i

12、nline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2)X例1：计算二重积分dblquad 举例例：计算二重积分 20112)34(dxdyxxy dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2 , -1, 1, 0, 2)指定 x、y 分别是第一和第二积分变量 dblquad(inline(4*x*y+3*x.2) ,-1, 1, 0, 2)q 被积函数 f (x,y) 的另一种定义方法：匿名函数 dblquad(y,x)4*x*y+3*x.2 , -1, 1 , 0, 2 )下面的命令运行结果和上面的一样吗？dblquad 举例int(f,a,b) 计算 f 关于默认自变量 的定积分，积分

13、区间为a,b。int(f) 计算 f 关于默认自变量 的不定积分。int(f,v,a,b) 计算函数 f 关于自变量 v 的定积分，积分区间为 a, bint(f,v) 计算函数 f 关于自变量 v 的不定积分badvvf)( )f v dvfindsym(f,1)q 符号积分： int符号积分 syms x y; f=y*sin(x); int(f,x) int(f,y) int(f) int(a+b)ans=-y*cos(x)ans=1/2*y2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b2u 例：指出下面各条语句的输出结果int 举例u 例：用 int 函数计算定积

14、分：解： syms x; f=1/(1+x2); int(f,x,0,1) f=sym(1/(1+x2); int(f,x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1)或 int(1/(1+x2),0,1)1021xdx或或int 举例double(a) 将 a 转化为双精度型，若 a 是字符，则取对应的 ASCII 码 a=3; double(a) double(a)例：ans = 3ans = 97其它相关函数221dxex x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); trapz(x,y)l 梯形法：l 抛物线法： quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10)l 符

15、号积分法： syms x int(exp(x(-2),x,1,2)例 1：用 Matlab 函数近似计算积分数值实验20112)(dyyxdxl 抛物线法： dblquad(inline(x+y2),0,2,-1,1)l 符号积分法： f=int(x+y2,y,-1,1); int(f,x,0,2)数值实验例 2：用 Matlab 函数近似计算二重积分u 教材第 75 页：2、3、6q 作业（要求写实验报告）上机作业l 没有提到使用Matlab函数的题必须使用编程完成l 要求使用Matlab函数或命令的必须使用函数或命令u 做题时要注意题目的要求：)(xfab1ixixxyobadxxfS)(

16、1S2SiSnSniibaSdxxfS1)(定积分几何意义u 设过以上三点的抛物线方程为：则在区间 x0, x2 上，有y = x2 + x + = p1(x) 2020)()(1xxxxdxxpdxxf20) (2xxdxxx20 2 3 23xxxxx20012 (4)6xxyyy012 (4)6bayyyn抛物线法3322202020()()()32xxxxxx 22200022()()6xxxxxx 22020()2 ()4xxxx u 整理后可得：)(2 )(46 )(2242123120nnnbayyyyyyyynabdxxf或辛卜生 (Simpson) 公式抛物线法公式抛物线法M

17、atlab 程序见 fuluC.mq 抛物线法计算二重积分： dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)u tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6( , )dbcaf x y dxdy u f(x,y) 可以由 inline 定义，或通过一个函数句柄传递u a,b 是第一积分变量的积分区间，c,d 是第二积分变量 的积分区间按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面二重积分的计算21201(43)Ixyydxdy f=inline(4*x*y+3*y2); I=dblquad(f,-1,1,0,2)u f(x,y) 中关于第一自变量的运算是数组运算， 即把 x 看成是向量，y 看成是标量。 也可以全部采用数组运算例2：计算二重积分 20112)34(dxdyxxy db