海伦公式几种证明方法_第1页
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1、已知三角形的三边为 a、b、 c,设 p1(ab c),求证：三角形的面积S.p(p a)(pb)(pc).证明：由正弦定理S1absinC 可得:S2 1a2b2 sin2C-a2b(1 cos2 C),2442.2 2/ 2 2 2 2又由余弦定理cos2C(a b c)2 (ab c )29，从而有2ab4a bc b a,于是有于是就有S已知三角形的三个边 a、b、c求它的面积S,有公式S . p(p a)(p b)(p c),其中 p 1(a b c)。这就是大家所熟知的“海伦公式”，在中学几何课本上一般都有介绍。人们认为这个 公式一定是海伦所首先发现，其实并不然。在一些有关数学史着

2、作中，对此早有不同提法。海伦是古希腊的 数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家，他对于物理学和机械学很有研究，发 明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道，大概在公元1-3世纪期间。为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的 发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时， 计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由 三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解 决的，于是他得到了海伦公

3、式。而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定 的启发作用。一种方法是用解三角形基本的知识解决。即三角形的面积S p(p a)(p b)( p c).证毕。另一种方法是用向量的知识解决。向量作为一种数学工具，在高中数学中起着重要的作用，所 以用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。在选修教材1-2的P37例2就是一种体现。下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。证明：在三角形 ABC中，设 CB a,CA b,BA c, CB |a| a,CA |b| b, BA |c| c, C 为向量 a,b,的夹角，贝 V1 i ”a ? b又因为 S |a|b|sinC , cosC -2 |a|b|21 2 f 22所以 S |a| |b| sin C4将上述|a| a,|b| b,代入即上面的一种证明方法一样，下面就不在重复证明了在这里还要强调上面得到的 S 1 Ja|2|b|2 (a?b)2用向量表示，在向量深入学习后，就会发现高中教材无形中就体现大学里的向量知识一外积，即P P 彳I22 22|(ab)|a|b|(a?b)，从而还有S | ab |.对于向量这

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