实变函数试题库()及参考标准答案

1、实变函数试题库（）及参考答案作者:日期:实变函数试题库及参考答案（3） 本科一、填空题1 .设 A, B为集合，则 B AI B U A_ AUB2 .设A为无理数集，则 A c （其中c表示自然数集 0,1的基数）3 .设E ?n，如果E中没有不是内点的点，则称 E是4 .任意个闭集的交是5 .设f x是定义在可测集 E上的实函数，如果 a ?1, E xa f x b是可测, （a b）则称f x在E上6 .可测函数列的上确界也是 7 .设 fn x f x , gn x g x a.e.，则 fn x /gn x148 .设fn x f x ,那么由黎斯定理, 二、选择题1 .下列集合关

2、系成立的是（）cA I A I Ac ccC I A U A2 .设 E Rn ,则（）A E EBEE3 .设P为康托集，则（）fn x 有子列fnk x，使 ae于EcBI AU AccDI AcU AcCEEDEEA P是可数集B mP 0C P是不可数集D P是开集4.下列集合关系成立的是（C 若 A B 则 AI B BB 则 AUB三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1.设D x是狄利克莱函数，即x为 0,1以0,1中有理数贝U （ 中无理数A D x几乎处处等于1D x几乎处处等于C D x是非负可测函数D x是L可积函数2.设 E ? nA E是可测集B E的任何子集

3、是可测集E是可数集D E不定是可数集3.设 E ? nE是可测集时,x是可测函数E x是可测函数时,E是可测集E是不可测集时,E x可以是可测函数e x是不是可测函数时，E不一定是可测集4.设f x是a,b上的连续函数，则（x在a,b上有界f x在a, b上可测x在a,b上L可积f x在a, b上不一定L可积四、判断题1 .对等的集合不一定相等.2 .称f x ,g x在E上几乎处处相等是指使3 .可数个开集的交是开集4 .可测函数不一定是连续函数.5 .对等的集合有相同的基数.五、定义题1 .简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.()f x g x的x全体是零测集.()()()()12 .简述R中

4、开集的结构3 .可测集与闭集、F集有什么关系?4 .为什么说绝对连续函数几乎处处可微?六、计算题1.设 f xcosxx E,为0, 中有理数集，求 f x dx.x 0,- E2nxcos nx2.设 fn x 2-, x1 n x0,1 ，求 lim fn x dx . n0,120,2七、证明题a f(x) .1 .设f(x)是E上的可测函数，则对任何常数a 0,有mEx| f (x) a e Ee dx2 .设f(x)是E上的可积函数，En为E的一列可测子集，mE，如果lim mEn mEn则 lim f (x)dx f (x)dx nEnE3 .证明集合等式：(AUB) C (A C

5、)U(B C)4 .设ERn是零测集，则E的任何子集F是可测集，且mF 0115 .证明：R上的实值连续函数 f x必为R上的可测函数本科实变函数试题库及参考答案（3）一、填空题1 .= 2尸3. 开集4.闭集5.可测6.可测函数 7. f x /g X 8. fn X f X二、单选题1.8 2.A 3.B 4.A三、多选题1.9 CD 2.ABD 3.AB 4.BD四、判断题V V x V V五、定义题若 A:B B,又 B:A A,则 A:B2.答:设G为R1中开集，则G可表示成R1中至多可数个互不相交的开区间的并.3.答:设E是可测集，则 0,闭集F E ,使m E F 或 F集F E

6、 ,使mE F 04.答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差, 而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微六、解答题1.解：因为 mE 0,所以 f x cosx, a.e于 0,1于是 f x dx cos xdx0,_0,_22而cosx在0,-上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式2cosxdxR 2 cosxdx sin x|(2 10,1因此 f x dx 10,22.解：因为fn x在0,1上连续，所以可测n 1,2,L又fn xnxcos nx nx nx 12222 , x 0,1 ,n1 n2x21 n2x22nx 21

7、,2,L而 lim -nx3 0,所以 lim fn x 0.n 1 n xn因此由有界控制收敛定理limfn x dx lim fn x dx 0dx 0nn0,10,10,1七、证明题1.证明 因为f(x)在E上可测，所以ef(x)是非负可测函数,于是由非负可测函数积分性质,Ex|f(x) aeadxf (x).e dxEf (x).e dxEx|f(x) a, a aa _ a _ _ _而 Ex|f(x) ae dx e mEx|f(x)a,所以 mEx|f(x) a e a Eef(x)dx2 .证明 因f(x)在E上L 可积，由积分的绝对连续性知，对任意 0,存在 0,对任彳si A E ,当mA 时有| f (x)dx |,由于lim mEn mE ,故对上述的Ann0,存在ko,当n ko时EnE ,且有mE mEn m(E En)，于是I E f (x)dx E f(x)dx| 1f (x)dx| , EEnE En即 lim f (x)dxf (x)dxnEnE3 .证明(AUB) C (AUB)I Cc (AI Cc)U(BI Cc) (A C)U(B C)* * 一,4.证明 设F E , m E 0 ,由外测度的单调性和非负性，0 m F mE 0 ,所以* . . . . m F 0 ,于是由卡氏条件易知 F是可测集5.证明 a,b R1 ,不妨假设