圆周角第1课时圆周角定理及推论教案2020-2021学年沪科版数学九年级下册

1、24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论一、教学目标1 .理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2 . 了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与 证明.二、教学重点及难点重点：了解圆周角与圆心角的关系.难点：能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明三、教学用具多媒体课件四、相关资料无五、教学过程【情景引入】你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行 24场比赛决定冠军队伍.比赛如图所示，甲队员在圆心。处，乙队员在圆上 C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道

2、为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？【探究新知】【知识点解析】 圆周角，本微课资源针对圆周角进行讲解，并结合具体例题，提高知识的应 用能力。【探究1】圆心角、圆周角问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那么当角的顶点发生变化时，我们能得到几种情况？中点/副力岫四国内业也届上整匕崔国外图 3413处理方式：学生根据上图的几种情况，类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.【数学探究】探究圆周角与圆心角的数量关系，通过探究的方式，定量地揭示出圆周角与圆心角的数量关系，同时根据圆周角和圆心角不同的分布，分类讨论，证明定理白正确性.试一试：指出图3

3、 4 14中的圆心角和圆周角.图 3-4- 14解：圆心角有/ AOB, /AOC, /BOC;圆周角有/ BAC, / ABC, / ACB.处理方式：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法.寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定.寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦， 每两条弦所夹的角即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点.这里要注意，因为半径AO没有延长，所以/ OAB严格来说还不算是一个

4、圆周角， 这里有必要向学生说明一下， 但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意.【探究2】探究同一条弧所对圆周角与圆心角的关系画一个80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画一画并思考下列问题： 问题1:你所画的这几个圆周角与圆心角的大小有什么关系？如果改变圆心角度数，这个关 系依然成立吗？问题2:通过上述问题，你有何猜想？问题3:对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并 与同伴交流.（几何画板展示）教师适时引导：能否考虑从特殊情况入手试一下.圆周角一5 一边经过圆心.由图3-

5、4-1，15可知，显然/ ABC = 22AOC,结论成立.（预设学生口述，并展示）证明：/ AOC是ABO的外角，AOC = / ABO + / BAO.犷、这. OA=OB, ./ ABO = Z BAO.f /图 3-4- 15AOC = 2Z ABO.一 一 1， 一即/ ABC = 2/ AOC.如果/ ABC的两边都不经过圆心(如图3416),那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论) 图 3-4-16如图，当点O在/ ABC内部时，只要作出直径BD,将这个角转化为上述情况的两个角的 和即可证出., 11由

6、刚才的结论可知：/ abd = 2/aod, /cbd=2/cod,ABD + Z CBD = 2( / AOD + / COD),即/ ABC = g/AOC.如图，当点O在/ ABC外部时，仍然是作出直径 BD,将这个角转化成上述情形的两个角 的差即可. 11由前面的结果，有/ ABD=2/AOD, Z CBD=-Z COD, ./ ABD / CBD = 2( / AOD / COD),即/ ABC =，/AOC.问题4:还会有其他情况吗？经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？教师适时总结：这一结论称为圆周角定理.板书：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.问题5:在上述经历探索

7、圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？为音土图 3-4- 17处理方式：学生通过从对特殊角的圆周角与圆心角的数量关系入手进行猜想，进而提出猜想、作图，然后写出已知、求证，并进行讨论、交流，在教师的引导下寻找解决问题的途径.教师在讲台利用几何画板演示圆心与圆周角的三种不同位置情况，配合学生的思考过程进行逐步演示分析.并给学生充足的时间思考.通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用. 多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再进行深加【探究3】 探究同弧或等弧所对圆周角之间的关系问题回顾：如图3418,当球员在B, D, E处射门时，他所处的位置对球门A

8、C分别形成三个张角/ ABC, / ADC, /AEC,这三个角的大小有什么关系？处理方式：通过回顾之前提出的问题， 直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理.分析：如图3 418,连接AO, CO,111/ABC = 2/ AOC, /ADC=2/ AOC , /AEC=2/AOC, abc = /adc = /aec.图 3-4-18由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等【新知运用】探究点一：圆周角定理【类型一】 利用圆周角定理求角例1如图，AB是。的直径，C, D为圆上两点，/ AOC=130° ,则/ D等于（）A. 25°B. 30°

9、;C. 35°D. 50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系./ AOC=130° , /AOB=180° , ./BOC = 50° , D=25° .故选 A. 方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.【类型二】 同弦所对圆周角中的分类讨论思想例2已知。O的弦AB长等于。O的半径，求此弦 AB所对的圆周角的度数.解析：弦AB的长恰好等于。O的半径，则4 OAB是等边三角形，则/ AOB = 60° .而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要

10、分类讨论.解：分下面两种情况：如图所示，连接 OA, OB,在。上任取一点C,连接CA,1CB.AB = OA=OB,AOB = 60 ,ACB=2/AOB = 30 .即弦 AB 所对的圆周角等于 30 ° .1如图所示，连接 OA, OB,在劣弧上任取一点D,连接 AD, OD, BD,则/ BAD=-111/BOD, / ABD=2/AOD.，/ BAD + /ABD = 2(/BOD + /AOD)=/AOB.AB 的长等 于。的半径，. AOB 为等边三角形，/ AOB = 60° .Z BAD + Z ABD = 30° , / ADB = 180&#

11、176; - (Z BAD + Z ABD)= 150° ,即弦 AB 所对的圆周角为 150° .综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是 30。或150。.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质.要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论 1解题例3如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的。O的圆心O在格点上,则/ AED的正切值等于（）52 51* B. 5 C- 2 D.2解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求

12、解，E=/ABD,tan Z AED = tanZABD= AC= 1.故选 D. B 2方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等.注意与三角函数的结合.【类型二】 利用圆周角定理的推论 2解题例4如图所示，已知 ABC的顶点在。上，AD是4ABC的高，AE是。O的直径，求证： /BAE = / CAD.解析：连接BE构造RtAABE,由AD是 ABC的高得 RtAACD ,要证/ BAE=Z CAD , 只要证出它们的余角/ E与/C相等，而/ E与/C是同弧AB所对的圆周角.证明：连接 BE, AE 是。O 的直径，/ ABE =90° ,/ BAE+

13、Z E=90° /. AD是 ABC 的高，. ADC =90° , ./ CAD + Z C=90° . /AB= AB, . . / E= / C./ BAE + /E=90° , /CAD + /C=90° , BAE=/ CAD.方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角 ”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.【随堂检测】1.如图，在。O中，4ABC是等边三角形， AD是直径，则/ ADB =° , / DAB2.如图，A, B, E, C四点都在。O上，AD是4ABC的高，/CAD=/EAB, AE 是。的直径吗？为什么?D3.如图，在O O中，直径AB为10 cm,弦AC为6 cm, / ACB的平分线交。O于点D.求BC,AD和BD的长.六、课堂小结1 .圆周角的概念2 .圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3 .圆周角定理的推论推论1:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直