五年级奥数题图形的计数

1、学习必备欢迎下载图形的计数7.7. 在一块画有 4 4 4 4 方格网木板上钉上了 2525 颗铁钉（如上右图）, ,如果用线绳围正方形，最多可以围出_ 个. .2.2. 如上右图，0 0 为三角形 A A1A A6A A12的边 A A1A A12上 的 一 点,分 别 连 结0A0A2,0A,0A3, ,OAOA11,这样图中共有_ _3.3.个三角形. .4 4. .如上右图中共有数一数一共有（一共有（DCAB（1 1）6.6.如下左图中，所有正方形的个数是6个梯形 学习必备欢迎下载8.8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板，上面有 4 4 4 4 个钉（如下左图）. .以每个钉为顶点

2、，你能用皮筋套出正方形和长方形共_ 个. .学习必备欢迎下载9.9._如下左图, ,方格纸上放了 2020 枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_ 个. .10.10._ 数一数,如上右图是由个小立方体堆成的. .要注意那些看不见的二、解答题11.11. 如下左图中共有 7 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比12.12. 如上右图中，ABAB、CDCD、EFEF、MNMN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?1313现在都是由边长为 1 1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为 2 2 厘米、4 4 厘米、8 8 厘 米、9 9厘米的大小不同的正方形、它们

3、的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色 的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4 4 个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？14.14.将SBCSBC 的每一边 4 4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载- 答 案-1 .30由例 1 注可知图形中每边有 3+2+1=6 （条）线段，因此整个图形中共有6 5=30 条线段.2. 37将 ZAiA6Ai2分解成以 OA6为公共边的两个三角形0AIA6中共有 5+4+3+2+1=15（个）三角形，一 OA6A12中共有 6+5+4+3+2+

4、1=21（个）三角形，这样，图中共有 15+21+1=37（个）三角形3. 15这样的问题应该通过分类计数求解此题中的三角形可先分成含顶点C 的和不含顶点 C 的两大类含顶点 C 的又可分成另外两顶点在线段AB 上的和在线段 BD 上的两小类.分类图解如下：所以原图有（3+2+1）+（3+2+1）+3=15（ 个）三角形.4. 18梯形一共有三行，每行都有 3+2+仁 6（个）,所以一共有 6 3=18（个）梯形.5. 108,36（1）因为长方形是由长和宽组成的，因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数，将它们相乘就是所有长方形的个

5、数.因为 AB 边上有 8+7+6+2+1=36 条线段，AD 边上有 2+1=3 条线段，所以图中一共有 36 3=1082 2个长方形（2）三角形一共有 6 行，每行都有 3+2+仁 6（个），所以一共有 6 6=36（个）三角形.6. 30由例 5 注可知整个图形中共有12+22+32+42=30 个正方形.7. 50此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下：边长为 AB 的正方形有 16 个；边长为 AC 的正方形有 9 个；边长为 AD 的正方形有 4 个；边长为 AE 的正方形有 1 个；边长为 DF 的正方形有 9 个；边长为 CF 的正方形有 8 个；边长为 B

6、F 的正方形有 2 个；CAD学习必备欢迎下载边长为 CG 的正方形有 1 个.所以，最多可围出 50 个正方形.学习必备欢迎下载28. 44因为正方形是特殊的长方形，所以可以把正方形看成长方形，这样就不必分别求正方形和长方形的个 数,仍用分类计数的方法求解先考虑有一组对边平行于BC 的长方形有多少个这一类按其水平边的位置可分为6 小类，即位置在BF、FE、EC、FC、BE、BC.同样,其竖直边也分为 6 类.所以这一类有 6 6=36 个长方形另一类是没有边平行于 BCBC 的. .这一类又分类两小类，分解图如下页图所示，其中分别有 6 6 个和2 2 个长方形 所以，一共可套出正方形和长方

7、形36+6+2=44 个.9.21以正方形的面积大小分类计数.设相邻两点的距离为1,则正方形面积为 1 的有 9 个；面积为 2 的有 4 个；面积为 5 的有 2 个；面积为 8 的有 4 个；面积为 13 的有 2 个；所以，共有 9+4+2+4+2=21 个正方形.10.30将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30 个.(1 +6) X 611.白色小三角形个数 =1+2+3+6=21,2D学习必备欢迎下载黑色小三角形个数 =1+2+3+7= =28,21213 3所以它们的比=.2828 4 412.解法一本图中三角形的个数为(1+2+3+4) 4=40(个).下面求梯

8、形的个数.梯形由两底唯一确定.首先在AB, CD, EF, MN 中,考虑两底所在的线段，共有(43) “ 2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有 10( 10=4+3+2+1)个梯形.共 60 个梯形.故所求差为 20.解法二在图 三中可数出 4 个三角形,6 个梯形，梯形比三角图形图形多2 个.而在题图中，这种恰有 10 个.故题图中，梯形个数与三角形的个数之差为2 10=20(个).13.边长 2 厘米的正方形：2 2=4(个)红色边长 4 厘米的正方形(4-1)4=12(个)红色(4-2)(4-2)=4(个)白色边长 8 厘米的正方形(8-1)4=28(个)红色(8-2

9、)(8-2)=36(个)白色边长 9 厘米的正方形(9-1)4=32(个)红色(9-2)(9-2)=49(个)白色所以，红色小正方形共有4+12+28+32=76(个)白色小正方形共有4+36+49=89(个)注本题的要求是由边长为 1 厘米的红色和白色两种正方形，分别组成边长是 2 厘米,4 厘米,8 厘米,9厘米的大小不同的正方形，可以看作方阵问题来解四周的小正方形是涂红色的，可看成是空心方阵，因此，涂红色正方形的个数等于4 (n-1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2) (n-2).比如，由边长为 1 厘米的正方形组成边长为 9 厘米的正方形

10、，涂红色的小正方形的 个数是:4(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数是：(9-2)(9-2)=49(个).14.将平行四边形分为三类：尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角在左上、右下方.就第类而言：込型6 个；型”3 个，与其对称的 3 个；型 1 个，与其对称的 1 个； 一_：型 1 个；共 15 个.同理,第、类也分别含 15 个，故上述 三类平行四边形共 45个.注这样数平行四边行，很麻烦，又易出错.我们试图找到一种对应关系：先考虑任一边不与 BC 平行的 平行四边形，延长各边必与 BC 有 4 个交点，特殊情况下，第二个交点与第三个交点重合；反过来， BC 上的 任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不