直线的倾斜角斜率知识点例题

1、直线的倾斜角和斜率（一）、知识点:1 .直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率-2 .直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把 x轴绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么 就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 - 因此，根据定义，我们可以得

2、到倾斜 角的取值范围是-倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的叫做这条直线的斜率，常用 k表示.倾斜角是的直线没有斜率-、范例:例1如图，直线11的倾斜角1 = 30。，直线1J L求li、12的斜率.例2已知直线的倾斜角，求直线的斜率：3（1）=0 ; （2）=60 ; （3）=90 ; （4）=4例3、判断正误：直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan （）直线的斜率值为tan ,则它的倾斜角为（）因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（）因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在（）四、课堂练习：1 .直线1经过原点和点（一1,1），则它的倾斜角是（）

3、A. B.5C.或5-D. -444442 .过点P( 2, n)和Q m4)的直线的斜率等于1,则m的值为()A.1B.4C.1或 3D.1或 43 .已知A(2 , 3)、R 1, 4),则直线 AB的斜率是4 .已知M(a,b)、N(a,c)( bc),则直线 MN的倾斜角是 .5 .已知Q0, 0)、Ra,b)( aw。)，直线OP的斜率是.6 .已知Pi(xi,yjP2(x2，y2),当 XX2时，直线P1P2的斜率 k =;当 Xx?且yy?时,直线P1P2的斜率为,倾斜角为.思考：如图中的直线11,12,13的斜率的大小关系为 直线的倾斜角和斜率(二)、知识点1.斜率公式：经过两

4、点P(x1, yi), P2(乂2, 丫2)的直线的斜率公式:,y2 yi k X2Xi(xX2) 推导：设直线P1P2的倾斜角是，斜率是k ,向量PiP2的方向是向上的(如上图所示).向量P1P2的坐标是(X2 Xi,y2 yi).过原点作向量tany2yiX2Xi(Xi X2)OP P1P2,则点P的坐标是(X2 Xi,y2 yi),而且直线 OP的倾斜角也 是，根据正切函数的定义,即 k -y2y1(xi X2)-X2 Xi同样，当向量P2P1的方向向上时也有同样的结论 .当*1 x2, y1 y2 (即直线和X轴垂直)时，直线的倾斜角=90 ,没有斜率、范例： 例1求经过A ( 2,

5、0)、B (5, 3)两点的直线的斜率和倾斜角例2求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角 R( 2,3)、P2( 2,8)；R(5, 2)、P2( 2, 2); Pi( 1,2)、P2( 3, 4)1、例3右二点A(2,3) , B(3, 2), C(2,m)共线，求m的值例4 已知三角形的顶点 A(0,5) , B(1, 2), C( 6,m), BC中点为D ,当AD的斜率为1时，求m的 值及AD的长例5若直线l的倾斜角( 一 ,),则其斜率k的范围为4 32变式：直线l过A(4,1) ,B(3,a )(a R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为 例6.已知两点 M2, 3)、N3, 2),直

6、线l过点P(1 , 1)且与线段 MNffi交，则直线l的斜率k的取A.k> 3或 k<- 4 B.4值范围是() 一 4w kw C. v kw 4 D.44四、课堂练习：1 .若直线l过(一2,3)和(6 , 5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为 2 .已知直线l 1的倾斜角为1,则l 1关于X轴对称的直线l 2的倾斜角2为.3 .已知直线l过A( 2,( t+1) 2)、日2,( t1)2)两点，则此直线斜率为 ， 倾斜角为 tt14 .已知两点A(x, -2), B(3,0),并且直线 AB的斜率为一，则x= -2五、课后作业：1、若直线l的倾斜角 =-,则其斜率k=2、

7、若直线l的斜率k= J3 ,则其倾斜角 3、若直线l过(1, 2)和(3, 4),则其倾斜角 4、已知三点 A (3, 1) B (2, K) C (8, 11)共线，则K的取值为 5 .斜率为2的直线经过(3, 5)、(a,7)、(一 1,b)三点，则a、b的值是()A. a=4, b=0 B.a= 4, b= 3 C. a=4, b= 3D.a= 4, b=36 .已知两点A( 3,4)、B(3 , 2),过点P(2 , - 1)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围.(2)求直线l的倾斜角 的取值范围.7 .如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个

8、单位后，又回到原来的位置，求直线 l的斜率.8.过P( 1,2)的直线l与x轴和y轴分别交于 A B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线的斜 率和倾斜角-直线的倾斜角和斜率 & 直线的方程一、知识点(一)直线的倾斜角一条直线l向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的特别地，当直线l和X轴平行时，我们规定它的倾斜角为 0。，因此，倾斜角的取值范围是 0° <a< 180。.y 4-y 4-/n"?p-?国 I-Z1L直线倾斜角角的定义有下面三个要点：（1）以x轴正向作为参考方向（始边）；（2）直线向上的方向作为终边；（

9、3）最小正角.按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系.（二）直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k表示.倾斜角是90的直线 没有斜率对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90° ; （2）k与P1、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； （4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.（三）直线的方程1 .直线的点斜式方程已知直线l经过点P1（x1,y1）,且斜率为k ,直线的方程：y y1 k（x x1） 为直线方程的

10、点斜式.直线的斜率k 0时，直线方程为y y1；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x x1.2 .直线的斜截式方程一已知直线l经过点P （0,b）,并且它的斜率为 k,直线l的方程：y kx b为斜截式.斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便斜截式y kx b在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当k 0时，斜截式方程才是一次函数的表达式.斜截式y kx b中，k , b的几何意义-3.直线方程的两点式当 X2 , yi y2时，经过A（xi, yi）B （ X2, y2）的直线的两点式方程可以写成：y yi x Xi . y2 yi

11、x2 xi倾斜角是00或900的直线不能用两点式公式表示 .若要包含倾斜角为00或900的直线，两点式应变为(y yi)(x2 xi) (x xi)(y2yi)的形式.4 .直线方程的截距式定义：直线与x轴交于一点（a,0）定义a为直线在x轴上的截距；直线与 y轴交于一点（0, b)定义b为直线在y轴上的截距.过A（a,0）B（0, b）（ a , b均不为0）的直线方程 3 _y i叫做直线方程的截距式a b截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.当截距为零时，不能用截距式 .a, b表不5 .直线方程的一般形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成Ax By C 0（其中

12、A、R C是常数.A B不全为0）的形式,叫做直线方程的一般式、一一 .A若B 0方程可化为y AxBC ,它是直线方程的斜截式，表示斜率为B的直B典型例题i.设直线axby0的倾斜角为,且 sin cos 0 ,则 a,b满足(A.C.2.已知ab 0,bc0 ,则直线axby c通过（A.第一、B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.直线x i的倾斜角和斜率分别是（A.450,iB. i350, iC.900,不存在D. i80°,不存在一B. a bD. a b224.右万桂(2m m 3)x (m m)y 4m 1 0表示一条直线，则实数 m满足()3

13、A. m 0B. m 2 '3 一C. m 1D. m 1, m -, m 02-5 .直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是()A (-2,1)B(2, 1)C d,-2) D(1,2)6 .已知A (1, 2)、B (-1 , 4)、C (5, 2),则A ABC的边AB上的中线所在的直线方程为()(A) x+5y-15=0(B)x=3(C) x-y+1=0(D)y-3=07 .下列说法的正确的是()A.经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程y y0 k xx0表示8 .经过定点 AO, b的直线都可以用方程y kx b表示c.不经过原点的直线都可以用方程二y 1表示 a bD .经过任意两个不同的点P1 x1, y1、P2 x2, y2的直线都可以用yYi x2xxx1 %Yi 表示8.若直线ax+by + c=0在等一，二，三象限，则 ()A. ab>0, bc>0,B. ab>0, bcv0.C. ab<0, bc>0,D. ab<0, bcv0.9 .直线过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为()(A)2x-3y=0;(B)x+ y+5 = 0;(C)2x3y= 0