2010年北京大学优秀中学生夏令营试题及解答

1、 B B D D 3 2010 年北京大学优秀中学生夏令营试题 5*5*如图所不，圆。是等腰梯形ABCDABCD的内切圆 1、仕一个跟问无穷等比数列中，有二项：sinrToosz,tMi i ,求证；Bt工是该数列的一 项. 3*已知三条祂轴线尺1 :二丁+加丁 +阳Pj ; 1/ = r2 + b)r -I- cj乃： =处+h丁 4r 且P.Px写丹相切一求证：珂,匕写吊各自切点的盘写R,岡的公切线平行一 4、将12冷分成程组，每组4个数，满足每组中有一彳数是另三个数的算术平均 埶 求所有可链的正整数 f 时为切点,2010 年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答 1设！rin疝,COB

2、x,x, z分别为数列中的第m, n p顶,注意到 于是 8杲数列中的 P +2（?i亠 171）项- 2 、当Fdn T c s亍时,有 tdn 工 +oot A0 = N tan r 厅 +oot:/ r 而当sin r tan x+ oot 护诂 r 进而应曲均值不等式即得* 3、设鬥,幵的公切线为廿=恥卡愉则 (&1 fc)a 4(ci (0)(如一呼4(ca ) = 0. 解得 加 +加 2(ci cj) 2 设已,旳与丹的切点坐标分别为（mtm）,（皿齐円）则为方程 (ti 1)2 bi) + 亡一亡丄0 的重根，于是判别式 (b di)a 4(U - l)(c cj =0

3、 且rL = 一磐二企.化简判别式，有 2a l） 卩-M2 4(a-l)7f CO5T tan i sin z / DOti X am j + bni2bni2 + c am bnibni i c 7712 TH 1 =a(ni2 4-7711) + b b 一 如尸(b-bi” b b + b 切 4(a1) 4(a 1) 2 虹一&2 因此原命题得证. 斤可以是任意正偶数 方面，由于 1 + 2 + + 4;i = 2n (4zi + 1) 是4的倍数，因此Ti必须为惕数； 另一方面，考虑到L2,.-.,8可以分为 (7,2,3,4), (5,6.1,8), 因此可以将4“个数先

4、按顺序每4个连续的数分为一组，如 (1,2,3,4), (5,6,7,6,7,8),-., (4n (4n - -3,4n3,4n- - 2,4n - l,4n), 然后将第21组中的以-7与第弘组中的弘-1交擲呵，其中* = 1,2,冷. 综上，71为任意正儁数.从而有 于是只需要证明 a 也即 b b- -bibi 2(1) b b bibi 2(1) 2b 2b 仙+勿) -; - : - 0 2 (a 1) 61 + bibi 22 ci -6 &1 bibi 2 一 1 7712 _ 7711 由切割线定理BT BM = BNBT BM = BN2 2 ,又 BMBM2 2 = = BCBCl l + + MCMC2 2 - - 2BC2BC CM 8s C C = 4BN= 4BN2 2 +BN% +BN% - -2 22BN BN2BN BN88C88C = BN2（