23.3相似三角形

1、高效课时通高效课时通教学课件教学课件 数学数学 九九年级上册年级上册 华东师大版华东师大版高效课时通高效课时通第23章 图形的相似23.3 相似三角形高效课时通高效课时通相似三角形的相关概念相似三角形的相关概念l三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec)l相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.l相似比等于1的两个三角形全等.l注意：l要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.l反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！l由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.高效课时通高效课时通判定三角形相似的方

2、法判定三角形相似的方法l判定两个三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法:l两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似.l三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似. 类比三角形全等的判定方法类比三角形全等的判定方法: 边角边边角边(SAS);角边角角边角(ASA);角角边角角边(AAS);边边边边边边(SSS);斜边直角边斜边直角边(HL). 你还能得出判定三角形相似的其它方法吗你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?高效课时通高效课时通相似与全等类比相似与全等类比新化旧新化旧由角边角(ASA)、角角边(AAS)可知,有两个角对应相等的两个三角形相似;由边边边(

3、SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似;由边角边(SAS)可猜想:两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;由斜边直角边(HL)可猜想:斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.我们已经把前两个猜想变为现实,剩余的还有问题吗？高效课时通高效课时通 问题三问题三: 如果 ABC与 ABC有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗? (1)如果这个角是这两边的夹角,那么它们一定相似吗? 我们一起来动手: 画 ABC与ABC使A=A, 设法比较B 与B的大小,C与C的大小. ABC与ABC相似吗?说说你的理由. 改变k值的大小(如1 3),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结

4、论?).23(如给定的值都等于和kCAACBAAB高效课时通高效课时通判定三角形相似的方法判定三角形相似的方法两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. . 如图,在 ABC与ABC中,如果那么 ABCABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)CBAA B C.CAACBAABw这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频率不是很高,务必引起重视.且A=A,高效课时通高效课时通 图中的ABCABC,你还能用其它方法来说明其正确性吗?且A=A=450,ABCABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)CBAA B C解法2: 如图,设

5、小正方形的边长为1,由勾股定理可得:. 2CAACBAAB;22, 8ACAB;2, 4CABA高效课时通高效课时通 问题四:在Rt ABC与Rt ABC中, C= C=900,如果有一直角边和斜边对应成比例,那么它们一定相似吗? 我们一起来动手: 画 ABC与 ABC,使 设法比较B 与B的大小,A与A的大小. Rt ABC与Rt ABC相似吗?说说你的理由. 改变k值的大小(如1 3),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论?).23(如给定的值都等于和kBAABCAAC高效课时通高效课时通斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. .如图,在

6、RtABC与RtABC中,如果那么ABCABC, (斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.)CBAABC.CAACBAABw这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必务必引起重视引起重视.高效课时通高效课时通 我们重新来看问题三: 如果 ABC与 DEF有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗? (2).如果这个角是这两边中一条边的对角,那么它们一定相似吗? 小明和小颖分别画出了下面的 ABC与 DEF:ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 两边对应成比例两边对应成比例,且其中且其

7、中一边的对角对应相等的两一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。个三角形不一定相似。高效课时通高效课时通 判定三角形相似的常用方法判定三角形相似的常用方法: : 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都等于相似比.高效课时通高效课时通 如图: 在 ABC和 DEF中 ，如果A=D, B=E,那么 ABC DEF.ABCDEFw那么 ABC DEF.DFACEFBC

8、DEAB如果.DFACDEAB如果且A=D， w那么 ABC DEF.高效课时通高效课时通两角分别相等的两个三角形相似。两角分别相等的两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似定义判定定义判定相似三角形的判定定理的证明相似三角形的判定定理的证明高效课时通高效课时通定理定理 两两角分别相等的两个三角形相似角分别相等的两个三角形相似ABCA/B/C/已知：如图，在已知：如图，在ABC和和A/B/C/中，中，A=A/, B=B/.求证：求证：ABCA/B/C/.高效课时通高效课时通证明：在证明：在ABC

9、的边的边AB（或它的延长线）上截取（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过过点点D作作BC的平行线，交的平行线，交AC于点于点E（如图），（如图），则则ADE=B, AED=CACAEABAD（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）线段成比例）过点过点D作作AC的平行线，交的平行线，交BC于点于点F,则则CBCFABAD（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）线段成比例）高效课时通高效课时通DEBC,DFAC四边形DFCE是平行四边形DE=CFCBCF

10、ACAECBDEACAEBCDEACAEABAD而ADE=B, DAE=BAC, AED=CADEABCA=A/, ADE=B=B/,AD=A/B/ADE A/B/C/ABCA/B/C/高效课时通高效课时通定理定理 两边两边成比例且夹角相等的两个三角形成比例且夹角相等的两个三角形相似相似已知：如图，已知：如图，在在ABC和和A/B/C/中中， A=A/, /CAACBAAB求证：求证：ABCA/B/C/.高效课时通高效课时通证明：在证明：在ABC的边的边AB（或它的延长线）上截取（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过过点点D作作BC的平行线，交的平行线，交AC于点于点E（如图）（如图），则则

11、B=ADE, C=AEDABCADE（两角分别相等的两个三角形相似）（两角分别相等的两个三角形相似）AEACADAB/,BAADCAACBAAB高效课时通高效课时通/CAACADAB/CAACAEACAE=A/C/而A=A/ADE A/B/C/ABCA/B/C/高效课时通高效课时通定理定理 三三边成比例的两个三角形相似边成比例的两个三角形相似已知：如图，在已知：如图，在ABC和和A/B/C/中，中， /CAACCBBCBAAB求证：求证：ABCA/B/C/.高效课时通高效课时通证明：在证明：在ABC的边的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取（或它们的延长线）上分别截取AD=A/B/,AE=

12、A/C/,连接连接DE./,CAAEBAADCAACBAABAEACADAB而而BAC=DAEABCADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）高效课时通高效课时通/,BAADCBBCBAAB又/CBBCADAB/CBBCDEBCDE=B/C/ADE A/B/C/ABCA/B/C/DEBCADAB高效课时通高效课时通BCAEDF如图，如图，ADBCADBC于点于点D D， CEABCEAB于点于点 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？高效课时通高效课时通BCAEDF如图，如图，ADBCADB

13、C于点于点D D， CEAB CEAB于点于点 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？高效课时通高效课时通BCAEDF如图，如图，ADBCADBC于点于点D D， CEAB CEAB于点于点 E E ，且，且交交ADAD于于F F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？高效课时通高效课时通BCAEDF如图，如图，ADBCADBC于点于点D D， CEABCEAB于点于点 E E ，且，且交交ADAD于于F F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？高效课时通高效课时通相似三角形的性质相似三角形的

14、性质问：相似三角形的识别方法有哪些？问：相似三角形的识别方法有哪些？证二组对证二组对应角相等应角相等证三组对应证三组对应边成比例边成比例证二组对应边成比证二组对应边成比例，且夹角相等例，且夹角相等高效课时通高效课时通相似三角形的特征相似三角形的特征问：你知道相似三角形的特征是什么吗？问：你知道相似三角形的特征是什么吗？角：对应角相等角：对应角相等边：对应边成比例边：对应边成比例问：什么是相似比？问：什么是相似比？相似比相似比=对应边的比值对应边的比值= 如右图，如右图，A B C ABC高效课时通高效课时通A AB BC CA AB BC CD DD D已知：已知： ABC ABC,相似比相似

15、比为为k,它们对应高的比是多少？对应角它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。？请证明你的结论。高效课时通高效课时通相似三角形对应边上的高有什么关系呢？相似三角形对应边上的高有什么关系呢？ 相似三角形对应边上的高之比等于相似比相似三角形对应边上的高之比等于相似比ABCD则则:(1)利用方格把三角形扩大利用方格把三角形扩大2倍，得倍，得ABC，并作出，并作出BC边上的高边上的高A D 。 A B C 与与ABC的相似比为多少？的相似比为多少？AD 与与A D有什么关系？有什么关系？右图右图A B C ， AD为为 BC 边上的

16、高。边上的高。DABC高效课时通高效课时通相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比如右图如右图A B C ， AF为为 A 的角平分线。的角平分线。则则:(1)把三角形扩大把三角形扩大2倍后得倍后得ABC，A F 为为 A的角平分线，的角平分线， A B C 与与ABC的相似比为多少？的相似比为多少？ AF 与与A F比是多少？比是多少？ABCFABCF高效课时通高效课时通相似三角形对应边上的中线比等于相似比相似三角形对应边上的中线比等于相似比相似三角形对应边上的中线有什么关

17、系呢？相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？如右图如右图A B C ， AE为为 BC 边上的中线。边上的中线。则则:(1)把三角形扩大把三角形扩大2倍后得倍后得ABC，A E为为 BC边上的中线。边上的中线。 A B C 与与ABC的相似比为多少？的相似比为多少？ AE 与与A E比是多少？比是多少？ABCE ABCE高效课时通高效课时通填空：填空： （1）两个三角形的对应边的比为）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两个三角形的对，则这两个三角形的对应角平分线的比为应角平分线的比为_ ，对应边上的高的比为，对应边上的高的比为_，对应，对应边上的中线的比为边上的中线的比为_ (2)相似三角形

18、对应角平分线比为相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比为则相似比为_,对应中线的比等于对应中线的比等于_; 高效课时通高效课时通你会应用吗？你会应用吗？ABCABC，BD和和BD是它们的对应中线，已是它们的对应中线，已知知 ，BD=4cm，求，求BD的长的长. 23CAAC解：解： ABCABC，BD和BD是它们的对应中线23CAACDBBD（相似三角形对应中线的比都（相似三角形对应中线的比都等于相似比）等于相似比） BD=6234BD高效课时通高效课时通相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。相似三角形的面积比等于相似比的平方。高效

19、课时通高效课时通想一想：想一想：你发现上面两个相似你发现上面两个相似三角形的周长比与相三角形的周长比与相似比有什么关系？面似比有什么关系？面积比与相似比又有什积比与相似比又有什么关系？么关系？周长比等于相似比，面积比等于相似比的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方平方101022215522ABCACB高效课时通高效课时通小结小结 相似三角相似三角形的性质形的性质对应角相等、对应边成比例对应角相等、对应边成比例对应高之比、对应中线之比、对应对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比角平分线之比都等于相似比周长之比等于相似比周长之比等于相似比面积之比等于相似比的面积之比等于相似比的平方平方（你学到了什么呢？）（你学到了什么呢？）高效课时通高效课时通相似三角形的应用相似三角形的应用情境导入情境导入给我一个支点给我一个支点 我可以撬动整个地球。我可以撬动整个地球。阿基米德阿基米德高效课时通高效课时通1.1.数学建模数学建模如图，铁道口的栏杆短臂长如图，铁道口的栏杆短臂长1m1m，长臂长，长臂长16m16m，当短臂，当短臂端点下降时，长臂端点升高多少米？端点下降时，长臂端点升高多少米？高效课时通高效课时通 【思考】利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体长度的问题？ 【概括】解决此类问题时，可构建相似