昌平区2019-2020学年第一学期高三期末质量检测数学答案

1、昌平区2019 2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2020.11、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号(1)(3)(4)(5)(6)(8)(9)(10)答案DCADABBCCA二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）(9) 40(10) 9(11) 2; (3, ±273),6 (三(13) 144（14）75；（第一空3分，第二空2分）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）aa3 =8,解：（I）设等差数列an的公差为d ,依题意有a1 =2, 解得1，d =2.所以an =2

2、n£=n2n .11(n)因为1Sn n2111 1=(1 -，)(1)LSn22 311(1-) = 1- n n 199因为Tn >，即1 -一 100所以n 99.所以n的最小值为100（16）（本小题满分13分）199>, n 1 10010分12分13分解：（I）设高一年级有 a人，高二年级有b人.采用分层抽样，有,.336 12 336 124分5的学生是“运动达人”.所以高一年级有196人，高二年级有140人.（II ）从上表可知，从高二抽取的 5名学生中，编号为1103.57分所以CO =%.7分.、一、,冗(n)因为 0 <x <-,

3、9; >0,2nn ton n故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为(III )自的所有可能取值为1,2,3.P( =1)=CC2 =W,P( =2)=零=±P( =3)，C；10c35c3所以之的分布列为123P33110510.3319故之的期望 E(D =1 M+ 2M +3M = .13 分105105(17)(本小题满分14分)解：(I)因为 f (x) = sin 注 cos*+sin2 注 2222 .1 - cos x一 sin x 223 .11=sinx- - cosx-222冗1= sin(cox -) + .5 分62一，r2兀因

4、为f (x)的最小正周期为2 ,即T =2=2 ,所以一一 W0又一一三一一.10分6626若f(x)在区间0,-上取到最大值3,只需 归之，12分2226 2 ，4所以切之4.14分3(18)(本小题满分14分)解：(I)在四棱锥 P-ABCD中，因为平面PAD，平面ABCD,平面PADI平面ABCD = AD ,又因为CD -LAD , CD匚平面ABCD所以CD，平面PAD .因为PAu平面PAD ,所以CD _L PA .5分(n)取AD中点O,连接OP,OB.因为PA = PD ,所以PO _ AD .因为平面PAD _L平面ABCD ,平面PAD I平面ABCD = AD ,因为P

5、Ou平面PAD ,所以PO，平面ABCD.所以 PO _OA,PO _ OB.因为 CD _L AD, BC/AD, AD =2BC ,所以 BCOD,BC =OD .所以四边形OBCD是平行四边形.所以OB _ AD .如图建立空间直角坐标系 O -xyz ,则所以 n =(1,1,1)uuu因为平面PAD的法向量OB = (0,2,0)r umr uuu n OB 、3 所以 cos：, n, OB - = -rutur =.|n|OB|3由图可知，二面角 CPAD为锐二面角,-,3 所以二面角C-PA-D的余弦值为 uuiruur(m)法一：设M是棱PC上一点，则存在 九w0,1使彳导P

6、M =7uPC.urnuuu设 M(X0,y02),则 PM =0xo,yo,zo -1),PC = (-1,2,-1).所以(x0,y0,zo -1)= 1(- 1,2, -1).所以 x0 - - 1 , y0 = 2,z0=1 - 1.所以 M(- ,2 ,1- ).UULT所以 BM =(- ,2 -2,1-).因为 AP _ PD, AP _ CD,CD I PD =D,所以PA_L平面PCD.uir所以PA = (1,0,1)是平面PCD的一个法向量uuir uur若 BM _L平面 PCD ,则 BM / PA.所以2-2=0, =1 - .因为方程组无解，所以在棱PC上不存在点

7、M ，使得BM _1平面PCD14分法二：因为 AP_L PD, AP _LCD,CD I PD = D,所以PA_L平面PCD.因为PA匚平面PAC ,所以平面PAC _L平面PCD.因为平面PACI平面PCD = PC ,若在棱PC上存在点M ,使得BM _L平面PCD ,则BM u平面PAC.因为B更平面PAC ,所以BM0平面PAC .所以在棱PC上不存在点 M ,使得BM _L平面PCD14分22 22 - 1(a b 0).a b(19)(本小题满分13分)解：(I)由题意，椭圆C的方程为10分5'c _V3,a 2可彳导”=册,解得222a =b +c'a2 =8

8、, b2 =2, c2 =6.22所以椭圆C的方程为 a+上=1 .824分因为焦点在x轴上，所以椭圆C的焦点为F1(-76,0),F2(J6,0).所以直径为F1F2的圆O的方程为x2 +y2 =6 .(n)由题意知，直线1与圆。相切于第一象限内的点 P,设直线1的斜截式方程为y =kx+m(k <0,m >0).7分因为直线1与圆O相切，所以点O到直线1的距离为d = 1m1 =J6 1 k2即 m2=6k2+6.8 分因为直线1与椭圆C相交于A,B两点，y=kx m, q222由 4 22,整理得(1+4k )x +8kmx +4m -8=0,9 分x2 4y2 =8设人(。

9、山),B(x2,y2)，则x2 二8km1 4k2x14m2 -81 4k210分因为 A=(8km)2 4M(1+4k2)(4m2 -8) =16父(8k2m2+2).又 m2 =6k2 +6 ,所以：=32(k2 -2) 0 .所以k2 2 .又因为k <0 ,所以k<夜.11分9因为 | AB H：1 k |xi X2 |=4 2 1k1 4k所以 S 0AB =1|AB | d =1 4,2.1 k2-k2221 4k2,6f2、，. 2(1+k )(k -2)(1 4k2)2设 1 +4k2 =t ,则 t9 ,则S OAB= 4 3- 3)16t人 11V u = -，

10、0 ：二 ut 9则 S OAB = 3-27u2-6u-1 .、r21 2 4设 h(u)=27u2 -6u 1 =-27(u )2 .93因为h(u)在(0 1)上单调递减，9所以 h(u)：二1 .所以S&AB 而.13分(20)(本小题满分13分)解：(I )函数f (X)的定义域为(0,依).1分,23八由 f(x)=xx +3ln x得 f'(x) =12x+.2 分x33令 f (x)=2,即 12x+=2,得 x = 1, x = 一 (舍)3 分x2又 f(1) = 0,4 分所以曲线y = f (x)的斜率为2的切线方程为y = 2x 25分(II ) 设

11、g(x) = f (x) -(2x - 2) = 3ln x - x2 - x + 2 ,则3-2xg' (x )=- 2x - 1=一 x2 -x 3二-(农3 x( - 1).x令 g '(x) =0 得 x =1 ,3x 二 一一27分当 g'(x) >0时，0<xc1；当 g'(x) <0 时，x>1.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,-Ho)上单调递减.8分所以 g(x) < g(1) =0.所以 f(x)W2x-2.9 分(III)由(II )可知，当 k =2时，f(x) <2(x-1),所以不存在x0

12、 >1,当x W (1,xO)时，恒有f(x)>2(x1)；所以k=2不符合题意.10分当 k>2时，对于 x>1, f(x)<2(x-1)<k(x-1),所以不存在x0 >1,当x w (1,x0)时，恒有f(x)>2(x1);所以k>2不符合题意.11分当 k < 2时，设 h(x) = f (x) k(x -1) = -x2 + (1 k)x +3ln x + k.因为 h'(x) = -2x2+(1-k)x*3, x2令 h'(x)=0，即2x 十(1k)x + 3 = 0.2因为 A=(1k) +24 >0,的/日 1k