ch10-3-2直线及其方程ppt课件

1、10.3.2 10.3.2 空间直线及其方程空间直线及其方程一一. . 直线的对称式方程直线的对称式方程 ( ( 或点向式方程或点向式方程 ) )方向向量方向向量平平行行于于如如果果一一非非零零向向量量,321llll 的方向向量的方向向量为直线为直线则称向量则称向量Ll的的一一组组方方向向数数称称为为 Llll321,10.3.2 10.3.2 空间直线及其方程空间直线及其方程，一条已知直线一条已知直线L，方方向向向向量量已已知知：点点,),(3210000llllzyxM 求直线方程求直线方程l0MM，上上任任取取一一点点在在),(zyxML，则则lMM/0，即即 ltMM0亦即亦即， l

2、tOMOM0或写成或写成 ltrr0向量式方程向量式方程或写成或写成 302010l tzzl tyyl txx参数方程参数方程或或302010lzzlyylxx 对称式、对称式、点向式、点向式、标标准准式式方方程程或写成或写成 ltrr0向量式方程向量式方程说说明明，之之一一为为若若0,)1(321lll，不不妨妨设设03 l则则有有002010zzlyylxx 一般式方程即为一般式方程即为 002010zzlyylxx，之之二二为为若若0,)2(321lll，不不妨妨设设032 ll则则有有000010zzyylxx 一般式方程即为一般式方程即为 0000zzyy011111 DzCyBx

3、A：设平面设平面 022222 DzCyBxA：及及平平面面 若两平面相交，若两平面相交，则则它它们们的的交交线线记记为为 L上点的坐标满足上点的坐标满足显然显然 L 0022221111DzCyBxADzCyBxA)1(的的称称为为直直线线方方程程组组L)1(一般式方程一般式方程注注唯一唯一直线的一般式方程并不直线的一般式方程并不二二. . 空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程L两两点点、求求经经过过例例),(),(122221111zyxMzyxM解解方向向量方向向量,12121221zzyyxxMM ，又又过过点点),(1111zyxM由点向式方程可得由点向式方程可得12112112

4、1zzzzyyyyxxxx 两两点点式式方方程程的的直直线线方方程程 040222zyxzyx将将直直线线的的一一般般方方程程例例解解：取取直直线线上上一一点点),(0000zyxM，令令00 z解得解得，100 x，60 y，即即)0, 6,10(0 M方向向量方向向量1, 1, 11, 2, 1 l111121 kjiL化成点向式方程化成点向式方程从而从而126310 zyx kji23 0212)0, 0, 0(3zyxzyx且且与与直直线线求求经经过过点点例例解解 方向向量方向向量112121 kjil kji53，又又直直线线过过点点)0, 0, 0(由点向式方程可得由点向式方程可得

5、531 zyx平行的直线方程平行的直线方程32)2, 1, 1(40 zyxM在在平平面面试试求求点点例例到到并并从从而而求求出出0M解解1, 1, 1平面的法向量平面的法向量向向量量，即即为为平平面面的的垂垂线线的的方方向向的的垂垂直直于于平平面面的的直直线线为为因因而而过过点点0M121111 zyx0MN，上的垂足上的垂足 N该平面的距离该平面的距离应满足应满足则垂足则垂足),(zyxN 32121111zyxzyx，得得代代入入32 zyx，32 ttzyx 121111令令，即即1 tx，1 ty，2 tz到到该该平平面面的的距距离离为为从从而而0M|0NMd 222)32()32(

6、)32( 2 ，即有即有132 x，132 y，232 z即即垂垂足足)232, 132, 132( N10.3.3 10.3.3 几个有关问题几个有关问题两条直线共面两条直线共面21MM1l2l0,2121 llMM一一. . 两直线共面问题两直线共面问题定定义义角角两两直直线线的的方方向向向向量量的的夹夹两直线的夹角两直线的夹角的的方方向向向向量量分分别别为为设设两两直直线线21, LL，,1111pnml ，,2222pnml 的夹角余弦为的夹角余弦为与与则则21LL|),cos(cos21 ll 222222212121212121|pnmpnmppnnmm 二二. . 两直线的夹角两

7、直线的夹角叫做叫做或直角或直角)通通常常指指锐锐角角(.注注平平行行与与直直线线21)1(LL212121ppnnmm 垂直垂直与与直线直线21)2(LL0212121 ppnnmm与与：已已知知两两条条直直线线例例 0120551zyxzxL的夹角；的夹角；与与求求21)1(LL是是异异面面直直线线与与证证明明21)2(LL解解)1(的的方方向向向向量量1L1121011 kjil kji 032022yxzyL：的的余余弦弦则则夹夹角角 | |cos2121 llll 632 32 故故32arccos 的方向向量的方向向量2L0211102 kjil kji2)2(可知：可知：由由)1(

8、不平行，不平行，与与21LL若相交，若相交，则则交交点点必必满满足足 )4(032)3(02)2(012)1(05yxzyzyxzx得得由由)4(),3(),1(，3 x，0 y，2 z，但但不不满满足足方方程程)2(即即为为矛矛盾盾方方程程组组， 无解无解不不相相交交，与与21LL因而是异面直线因而是异面直线夹角夹角 影影直直线线的的夹夹角角直直线线和和它它在在平平面面上上投投直直线线与与平平面面的的夹夹角角 Ln，若直线的方向向量为若直线的方向向量为l，法法向向量量为为平平面面n 则则直直线线与与平平面面的的夹夹角角|),(2 nl sin|),(2sin( nl |),cos( nl|

9、| nlnl 三三. . 直线与平面的夹角直线与平面的夹角称为称为)20( 注注垂垂直直与与直直线线 Lnl /平平行行与与直直线线 L nl和和平平面面求求直直线线例例 0036zyxzyx解解直直线线的的方方向向向向量量111311 kjil kji2422, 4, 2 平面的法向量平面的法向量4, 1, 1 n间的夹角间的夹角014 zyx的的正正弦弦为为则则夹夹角角 |),cos(sin nl 1824| 4, 1, 12, 4, 2 | 63 即即63arcsin ，使它平行，使它平行作直线作直线过点过点例例LA)3, 2, 1(7 为为的的夹夹角角：41222 zyx解解,321l

10、lllL 的方向向量的方向向量设直线设直线，由于由于1/ L，则则1 nl，其其中中0, 1, 11 n即即0, 1, 1,321 lll021 ll得得到到21ll ，：于平面于平面11 yx 且与另一平面且与另一平面则则有有2322213213|22|sinllllll 22 代入上式，解得：代入上式，解得：将将12ll ，134ll 于是，于是，4,111llll 4, 1, 11 l故故所所求求直直线线为为431211 zyx，的夹角为的夹角为与与由由42 L，且且2, 1, 22 n到到直直线线求求点点例例)10,1,2(8 M解解MLP方法一方法一：垂垂直直的的平平面面且且与与作作

11、过过点点 LM0)10()1(2)2(3 zyx即即01423 zyx的的参参数数方方程程为为L tztytx2213 四四. . 点到直线的距离点到直线的距离的距离的距离：12213 zyxL的的方方程程，得得代代入入平平面面 ，1 t的的参参数数方方程程，代代回回 L，得到交点得到交点)1, 3, 3( P的距离的距离到到因而点因而点LM| MPd 138 LM0Ml方法二方法二，上上一一点点易易知知)2, 1, 0(0 ML，方方向向向向量量1, 2, 3 l的的距距离离到到则则LM|0 llMMd149| 10,34,26 | 138 且且与与直直线线求求通通过过点点例例)5, 1 ,

12、 2(90 M垂直的直线方程垂直的直线方程0M0LP解法一解法一：垂垂直直的的平平面面且且与与作作过过点点 00LM0)5()1(2)2(3 zyx即即01323 zyx写成参数方程：写成参数方程：将将0L相相交交并并：121310 zyxL的的参参数数方方程程，代代入入将将01Lt 的的交交点点与与得得到到 0L)1, 3, 2( P确确定定的的方方程程为为及及由由点点PM0452102 zyx 25112zyx即即为为所所求求方方程程 tztytx2131的的方方程程，代代入入平平面面 得得到到1 t解法二解法二，的的方方向向向向量量设设所所求求直直线线,321llllL 由题意可知：由题

13、意可知：,1, 2, 300 lL 的的方方向向向向量量，上上一一点点)0, 1, 1(0 ML则有：则有：，00 ll即即，023321 lll)5(共面，共面，及及与与又知又知00MMll即即00,MMll503123321 lll0 得到得到，061210321 lll)6(，解解得得联联立立)6(),5(，01 l232ll 2, 022lll 故故2, 1, 02l 所所求求直直线线为为，251102 zyx 2512zyx即即定定义义的所有平面的集合，的所有平面的集合，通过空间直线通过空间直线 L称称为为 平面束平面束011111 DzCyBxAL：是是平平面面设设直直线线 的的交

14、交线线：与与022222 DzCyBxA 的的方方程程为为则则 L 0022221111DzCyBxADzCyBxA构造方程构造方程0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA )(R 五五. . 平面束平面束即即zCCyBBxAA)()()(212121 的的上式即为直线上式即为直线 L平面束方程平面束方程.注注时，时，0)1( ；即即为为平平面面1 平面束方程也如下构造平面束方程也如下构造)2(0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 0)(21 DD ;2 但不含平面但不含平面在在平平面面：求求直直线线例例 010110zyxzyxL投投影影直直线线的的方方程

15、程 L解解的平面束方程的平面束方程过直线过直线 L0)1()1( zyxzyx 01)1()1()1( zyx即即根根据据条条件件，可可令令01, 1, 11,1,1 上的上的：0 zyx ，解得解得1 垂直的平面方程：垂直的平面方程：且与且与得到过得到过代入代入 L)9(01 zy故故所所求求投投影影直直线线为为 010zyzyx与与：试试求求直直线线例例0123111 zyxL间间的的距距离离解法一解法一化为一般式方程化为一般式方程将将1L 03201yxz的的平平面面束束方方程程为为过过1L0)32()1( yxz 即即0312 zyx，其其法法向向量量1,2, n1, 0, 122 lL 的的方方向向向向量量为为zyxL 0212： 2ln令令01 得得1 得平面得平面代入代入022 zyx，上上点点又又知知)0, 2, 1(22 ML的距离：的距离：到