高考数学压轴题归类100题(66页)

1、导数压轴题题型归纳1.图考命题回顾例1已知函数f(x) = exln(x + m). (2013全国新课标n卷)设x= 0是f(x)的极值点，求 m,并讨论f(x)的单调性；(2)当 m<2 时,证明 f(x)>0.例2已知函数f(x) = x2+ax+b, g(x) = ex(cx + d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点 P(0, 2),且在点P处有相同的切线 y=4x+2 (2013全国新课标I卷)(I)求 a, b, c, d 的值(n)若 x>2时，f(x) kg(x) ,求k的取值范围。例3已知函数f(x)满足f(x)f'(1)ex1 f (0

2、)x - x2 (2012全国新课标)2(1)求f (x)的解析式及单调区间；1 2(2)若 f(x) -x ax b,求(a 1)b 的最大值。 2一、aln x b例4已知函数f (x) -一,曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为x 1 xx 2y 3 0。(2011全国新课标)(I)求a、b的值；ln x k .(n)如果当x 0,且x 1时，f(x)，求k的取值范围。x 1 xx .2例5设函数f (x) e 1 x ax (2010全国新课标)若a 0,求f(x)的单调区间；(2)若当x 0时f (x) 0 ,求a的取值范围例 6 已知函数 f(x) =(x3+3x 2

3、+ax+b)ex. (2009 宁夏、海南)(1)若a=b = 3，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在( 8, & ),(2单蹲噌加，在(& ,2),(西碉减少，证明3- a> 6.2.在解题中常用的有关结论 X(1)曲线y f (x)在x xo处的切线的斜率等于f (xo),且切线方程为y f (xo)(x xo)f(x。)。若可导函数yf(x)在xx0处取得极值，则f (x0) 0。反之，不成立。对于可导函数f (x),不等式f (x) 0( 0)的解集决定函数f (x)的递增(减) 区间。函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:x I f (x) 0(

4、0)恒成立(f (x)不恒为0).(5)函数f(x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于 f(x)在区间I上有极值，则 可等价转化为方程f (x) 0在区间I上有实根且为非二重根。(若 f (x)为二次 函数且I=R,则有 0)。(6) f(x)在区间I上无极值等价于 f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f (x) 0或f (x) 0在I上恒成立 若x I, f(x) 0恒成立，则f(x)min0；若x I, f (x) 0恒成立，则f(x)max 0(8)若 x。I ,使得 f(%) 0,则 f(x)max 0；若x。I ,使得 f(x0) 0,则 f(x)min 0.(9)设f (x)与

5、g(x)的定义域的交集为 D,若 x D f(x) g(x)恒成立，则有f(x) g(x) min 0.(10)若对xiIl、x2 I2 , f(x1)g(x2)恒成立，则 f (x)min g(x)max.若对xI x2 I2,使得f(K)9汽2)，则 f(x)min g(x)min .若对x1 Jx2I2,使得 f (x1) gd),则 f (x)max g(x)max.(11)已知f(x)在区间I1上的值域为A” g(x)在区间I2上值域为B,若对 Xi I1, x2 I2,使得 f(K) = g(x2)成立，则 A B o(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f (x) 0有两个

6、不等实根X1、X2,且极大值大于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式： lnx x 1(x 0)< ln(x+Dx (x 1)ex 1x 12 (xln x1x2212x2 (x 0)3.题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例7 (构造函数，最值定位)设函数f x x 1 ex kx2(其中k R ).(I)当k 1时,求函数f x的单调区间；1(n)当k ,1时,求函数f x在0,k上的最大值M . 21ale例8 (分类讨论，区间划分) 已知函数f (x) - x ax x b(a 0), f'(x)为函数 32f(x)的导函数.设函数f(x)的图象

7、与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是 y 3x 3,求a,b 的值；(2)若函数 g(x) e axf '(x)，求函数g(x)的单调区间.例9 (切线)设函数f (x)x2 a(1)当a 1时，求函数g(x) xf(x)在区间0,1上的最小值；当a 0时，曲线y f(x)在点P(x1, f (x1)(x1ta)处的切线为l , 3 x轴交于点A(x2,0)求证：x1 x2再.22x z例10 (极值比较)已知函数f(x) (x ax 2a 3a)e (x R)，其中a R当a 0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；_2 a当 3时，求函数f(x)的单

8、调区间与极值.例11 (零点存在性定理应用)已知函数f(x) In x, g(x) ex.x + 1右函数(j) (x) = f(x),求函数(f)(x)的单倜区间；x- 1设直线I为函数f(x)的图象上一点 A(x0, f(x。)处的切线，证明：在区间(1,+ 8)上存在唯一的x0,使得直线I与曲线y=g(x)相切.1 a例12 (最值问题，两边分求)已知函数f(x) ln x ax 1 (a R).,、1 , aw时，讨论f(x)的单调性；2c1.设g(x) x2 2bx 4.当a 时，若又任意x (0,2),存在x?1,2 ,使f(x【)>g(x2),求实数b取值范围例13 (二阶

9、导转换)已知函数f(x) ln xF(x)若若G(x)f(x) a(axR),求F(x)的极大值;2.f(x)kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围f (x) x 一 aln x(a R).例14 (综合技巧)设函数x讨论函数f (x)的单调性；若f(x)有两个极值点X,x2,记过点"。“为), BN, fU)的直线斜率为k, 问：是否存在a，使得k 2 a ?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.交点与根的分布例15 (切线交点)已知函数f x ax3 bx2 3x a,b R在点1, f 1处的切线方程 为y 2 0求函数f x的解析式；若对于区间2,2上任意

10、两个自变量的值 x1,x2都有f x1f x2c,求实数c的最小值；若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数 m的取值范围.例16 (根的个数)已知函数f(x) x,函数g(x) f(x) sinx是区间卜1 , 1上的减函 数.(I)求的最大值；2(II)若g(x) t t 1在x 1,1上恒成立，求t的取值范围；ln x(出)讨论关于x的方程f (x)x2 2ex m的根的个数.f (x)例17 (综合应用)已知函数ln(23x)汐求f(x)在0,1上的极值；1 1 一x ,一, 不等式 |a ln x | ln f (x) 3x 0若若对任意6 3成立，求实数 a的取

11、值范围；若关于x的方程f(x) 2x b在0, 1上恰有两个不同的实根，求实数 b的取值 范围.不等式证明(x)例18(变形构造法)已知函数ax 1 , a为正常数.(1)若 f'(x)(2 )当 a x1x2 (x1 x2 )41时，设函数g(x)f(x)x1Xi,X2 (- ,1), Xi 若ex2例20 (绝对值处理)已知函数f(x)ax2 bxc的图象经过坐标原点，且在9若f(x) 1nx (x),且a 2 ,求函数f(x)的单调增区间；在中当a 0时，函数y f(x)的图象上任意不同的两点Ax1,y1 , Bx2,y2 ,线段AB的中点为C(x0，y0),记直线AB的斜率为k

12、,试证明：k f (x0) .若g(x) 11nxi(x),且对任意的x1 ,x20,2 , x1 x2 ,都有g%) g(x1)1xx对任意的x 0恒成立，求实数 a的取值范围; x1，求a的取值范围.2 10)例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f(x) x ln(ax)(a取得极大值.(I)求实数a的取值范围;(II)若方程f(x) (2a 3)恰好有两个不同的根，求 f(x)的解析式； 9(III )对于(II )中的函数f(x),对任意 、 R ,求证 | f(2sin ) f (2sin )| 81 .例21 (等价变形) 已知函数f(x) ax 1 ln x (a R

13、).(I)讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数；(n)若函数f (x)在x 1处取得极值，对x (0,) , f(x) bx 2恒成立,求实数b的取值范围；(出)当0 x y e2且x e时，试比较上与一 一 例27已知函数f x ax - x c(a 0).右函数f x满足下列条件 ln y的大小.x 1 ln x1 27f (x) ln x, g(x) - x mx - (m 0) 例22 (前后问联系法证明不等式)已知22,直线1与函数f (x)，g(x)的图像都相切，且与函数f (x)的图像的切点的横坐标为1。(I)求直线l的方程及m的值；(II)若h(x) f (x 1) g&

14、#39;(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值。b aC一f (a b) f(2a).(III)当0 b a时，求证：2a例23(整体把握，贯穿全题)已知函数f(x) 胆 1. x(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m 0 ,求f (x)在m,2m上的最大值；5都成立(其中e是自然对数的底数) n(3)试证明：对任意 n N* ,不等式ln(L)e n例24(化简为繁，统一变量)设a R,函数f(x) 1nx ax .(I)若a 2,求曲线y f(x)在P 1, 1 处的切线方程;(n)若f(x)无零点，求实数a的取值范围；2(出)若f(x)有两个相异

15、零点X,x2,求证：x1 x2 e .例25 (导数与常见不等式综合)已知函数工)二«-工)，其中为正常力 1 + 1 (l+x)1V(I)求函数 /(工)在(0,-1/)上的最大值；(n)设数列4满足：叼=!"，a* =%+ 2，(1)求数列4的通项公式ar ;(2)证明：对任意的 1>0, >c A*);111 n-(m)证明:+ > -4为 ati n +1例26 (利用前几问结论证明立体不等式)已知函数f(x)=e x-ax(e为自然对数的底数).(I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意”工+8,都有不等式f(x)> x + x

16、2成立，求实数a的取值范围；(III)设men*,证明："+打+依+依<e-1 o 1f 10;对一切实数x,不等式f x X2 恒成立.22(I )求函数f x的表达式；1,1恒成立，求实数t的取值范围；一，、2(n)若 f(x) t 2at 1 对 x 1,1 , a1(出)求证： f 12n*n-2(n N).例28 (数学归纳法)已知函数f(x) ln(x 1) mx ,当x 0时，函数f(x)取得极大值.(1)求实数m的值；(2 )已知结论：若函数f (x) ln( x 1) mx在区间(a,b)内导数都存在，且 a 1 ,则存在x0 (a,b),使得f (x0) f

17、b-3.试用这个结论证明： b a若 1 4 x2，函数 g(x) f (x1)一f (x2) (x x1) f(x1),则对任意 x1 x2x (x1,x2),都有 f (x) g(x)；(3)已知正数1, 2,L , n ,满足12 L n 1,求证：当 n 2 , n N时，对任意大于 1 ,且互不相等的实数x1,x2,L ,xn ,都有 f( 1、2x2 Lnxn)#g)2f伪)LnKn).恒成立、存在性问题求参数范围例29 (传统讨论参数取值范围)已知函数f(x) (2 a)(x 1) 2lnx, g(x) xe1 x(a R,e为自然对数的底数)(1)当a 1时，求f(x)的单调区

18、间；1(2)对任意的x (0,-), f (x) 0怛成立，求a的最小值；2(3)若对任意给定的x00,e，在0,e上总存在两个不同的xi(i 1,2),使得f(xi) g(x0)成立，求a的取值范围例30已知函数f(x) a . |x|(1)求证：函数y “乂)在(0,)上是增函数.(2)若f (x) 2x在(1,)上恒成立，求实数a的取值范围.(3)若函数y f (x)在m,n上的值域是m,n(m n),求实数a的取值范围3例 31 已知函数 f(x) ln(2ax 1) y x2 2ax(a R).若x 2为f (x)的极值点，求实数a的值；(2)若yf(x)在3,上为增函数，求实数a的

19、取值范围；3(3)当a 1时，方程f(1 x)b有实根，求实数b的最大值.2 3 x例32 (分离变量)已知函数f(x) xa 1nx (a为实常数).(1)若a 2 ,求证：函数 f(x)在(1,+ °°)上是增函数；(2)求函数f(x)在1,e上的最小值及相应的 x值；(3)若存在x 1,e,使得f(x) (a 2)x成立，求实数a的取值范围.3 2x例33 (多变量问题，分离变量)已知函数f(x) (x 6x 3x t)e , t R.(1)若函数y f(x)依次在x a,x b, x c(a b c)处取到极值.2求t的取值范围；若 a c 2b ,求t的值.(2)

20、若存在实数t 0,2，使对任意的x 1,m ,不等式f(x) x恒成立.求正 整数m的最大值.例34 (分离变量综合应用)设函数f(x) alnx bx2.一 1 ,.若函数f (x)在x 1处与直线y 相切：2 一、，1 一一求实数a,b的值；求函数f(x)在,e上的最大值；e一. 32当b 0时，若不等式f(x) >m x对所有的a 0,-, x 1,e 都成立，求实2数m的取值范围.例35 (先猜后证技巧) 已知函数f(x) °x(I )求函数f (x)的定义域(II)确定函数f(x)在定义域上的单调性，并证明你的结论k(m)若x>0时f (x) -怛成立，求正整数

21、k的最大值.x 1例 36 (创新题型)设函数 f(x)=e x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(n )当 a=1 时，设 P(x1,f(x1), Q(x 2, g(x 2)(xi>0,X2>0),且 PQ/x 轴，求 P、Q 两点间的最短 距离；(出)若x>0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F( x)的图象上方，求实数a的取值范围.例 37 (创新题型) 已知函数 f(x) = ax ln x 1(a R), g(x) xe1 x.(i)求函数g(x)在区间(0,e上的值域；(n)是否存在实数 a,对

22、任意给定的x0 (0,e,在区间1,e上都存在两个不同的 xi(i 1,2),使得f(xj g(%)成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在， 请说明理由；(出)给出如下定义：对于函数y F(x)图象上任意不同的两点 A(x1，yi), B(x2, y?),如果对于函数 y F(x)图象上的点 M(xo,yo)(其中x 上万土)总能使得 F(x1) F(x2) F(xo)(x x2)成立，则称函数具备性质“ L”，试判断函数 f(x)是不是具备性质“ L”，并说明理由.2例38(图像分析，综合应用)已知函数g(x) ax2ax 1 b(a 0,b 1)在区间最小值f(x)1,设g(x)x(I)

23、求a，b的值;(n)不等式 f(2x)k 2x0在x 1，1上恒成立，求实数k的范围;一 x2方程 f(1 211) kE 3)0有三个不同的实数解，求实数k的范围.导数与数列(x a)2(x b)ex, a、b R, x a是 f(x)的一例39 (创新型问题)设函数f (x) 个极大值点.(1) a 0 ,求b的取值范围;当a是给定的实常数，设 X, x2, x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b,可找到x4R,使得x1，x2,x3,x4的某种排列x1,xi2,xi3,x4(其中ii, i2, i3, i4 = 1,2,3,4)依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的M ； 若不存

24、在，说明理由.例40 (数列求和，导数结合)给定函数f(x)2x2(x 1)试求函数f x的单调减区间；(2)已知各项均为负的数列an满足，4&.1,f() 1求证: anan 11； an1 .设bn ,Tn为数列bnan的前n项和，求证：T20121ln 2012 T2011 .导数与曲线新题型1 2例41 (形数转换)已知函数f(x) ln x , g(x) - ax bx (a 0).2(1)若a 2,函数h(x) f (x) g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范围；(2)在的结论下，设函数 (x)=e 2x+bex,x C 0,ln2, 求函数 (x)的最小值；(3)设函

25、数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作 x轴的垂线分别交 C1、C2于点M、N，问是否存在点 R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.x例42 (全综合应用) 已知函数f(x) 1 ln(0 x 2).2 x(2)定义Sn2n 1 i 12f(-)f(-) f(-)是否存在点 M(a,b),使得函数y f(x)的图像上任意一点 P关于点M对称的点Q 也在函数y f(x)的图像上 汨存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；2n 1,*f()淇中n N，求S2013； nam在(2)的条件下，令Sn 1

26、 2an ,若不等式2 n (an)1对 n N且n 2恒成立，求实数m的取值范围.导数与三角函数综合2例43 (换元替代，消除三角)设函数f(x) x(x a) ( x R)，其中a R .(I)当a 1时，求曲线y f(x)在点(2，”2)处的切线方程；(n)当a 0时，求函数f(x)的极大值和极小值；(出)当a 3, k Q时，若不等式f(k cosx)> f(k2 cos2x)对任意的 x R恒成立，求k的值。例44 (新题型，第7次晚课练习) 设函数f (x) ax COSx,x 0,.讨论f(x)的单调性(2)设f (x) 1 sin x,求a的取值范围.创新问题积累. ，一

27、一x 2 x例45已知函数f(x) ln-x 4 4I、求f(x)的极值.II、求证f(x)的图象是中心对称图形.III、设f (x)的定义域为 D,是否存在 a,bD.当x a,b时，f(x)的取值范围-a b是一，一？若存在，求实数a、b的值；若不存在，说明理由4 44,32.例46已知函数f (x) x 4x ax 1在区间0,1上单倜递增，在区间1,2上单倜递减.(1)求a的值；(2)设g(x) bx2 1,若方程f (x) g(x)的解集恰好有 3个元素，求b的取值范 围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数对(m,n),使f(x m) g(x n)为偶函数？如存在，求出 m,n如不

28、存在，说明理由.导数压轴题题型归纳参考答案例 1 (1)解 f(x)=exln(x+m)? f (x)=ex-L? f (0) = e0-L=0? m= 1,x+ m0+ m定义域为x|x> 1,1ex x+ 1 1f' (x) = ex=x+m x+1显然f(X)在(1,0上单调递减，在0, +8)上单调递增.(2)证明g(x)= ex-ln(x+ 2),则 g ' (x)= ex-(x> 2).x+ 2h(x)=g' (x) = ex-(x>- 2)? h' (x) = ex+ -1->0, x+2x+ 2 2所以h(x)是增函数，h

29、(x) = 0至多只有一个实数根，一 ，111.1又 g(-2)=也-3<0, g (0)=1-2>0,2 1.所以h(x)=g' (x) = 0的唯一实根在区间一1, 0内， ,11,1,设 g' (x) = 0 的根为 t,则有 g' (t) = et 出=0 -<t<0 ,所以，et = ? t+2=e t,当 xC(2, t)时，g' (x)<g' (t)=0, g(x)单调递减;1 + t2 >0, t+ 2当 xC(t, + 8)时,gz (x)>gz (t) = 0, g(x)单调递增;1所以 g(

30、x)min = g(t)= e ln(t + 2) =+ t =t+2当 mW 2 时，有 ln(x+m) w ln(x+2),所以 f(x) = ex ln(x+ m)>ex ln(x+ 2)= g(x)> g(x)min>0.而 f (x) = 2x b , g(x) = ex(cx d2(n)由(i)知， f (x) x 4x例 2 (I)由已知得 f (0) 2, g(0) 2, f (0) 4, g (0) 4, c), a =4, b=2, c=2, d=2;4 分2, g(x) 2ex(x 1),设函数 F(x) = kg(x) f (x) =2kex(x 1)

31、 x2 4x 2 ( x 2),F(x) = 2kex(x 2) 2x 4=2(x 2)(kex 1),有题设可得F(0) >0,即k 1 ,令 F (x)=0得，x1= lnk, x2 = -2,(1)若 1 k e2 ,则一2v 为 w 0, .当 x ( 2,x。时，F(x) <0,当 x (x1，) 时，F (x) >0,即F (x)在(2,为)单调递减，在(x,)单调递增，故F (x)在x=Xi取 最小值 F(x1),而 F(x1)=2x1 2 x12 4x1 2= x1(x1 2) >0,当 x>2 时，F (x) >0,即 f (x) w kg

32、(x)恒成立，(2)若 k e2,则 F (x) = 2e2 (x 2)(ex e2),.当 x>2 时，F (x) >0,F(x)在(2,+ 8)单调递增，而 F( 2) =0,.当 x>2 时，F (x) >0,即 f (x) W kg(x)恒成立,22、若 k e2,贝U F( 2)= 2ke 2 2 = 2e (k e)<0,当x>2时，f (x) < kg(x)不可能恒成立,综上所述，k的取值范围为1, e2.1例 3(1) f(x) f(1)e f (0)x -x2f (x) f (1)e f (0) x2令 x 1 得：f (0) 1f(

33、x) f (1)ex 1 x -x2f(0) f (1)e1 1 f (1) e2x 12x得：f(x) e x x g(x) f (x) e 1 x2g (x)ex1 0yg(x)在x R上单调递增f (x)0f (0)x0, f (x) 0 f (0) x01 c信：f(x)的斛析式为f (x) e x - x且单调递增区间为(0,),单调递减区间为(，0)1 2xx(2) f (x) - x ax b h(x) e (a 1)x b 0得 h(x) e (a 1) 2当a10时，h (x)0yh(x)在xR上单调递增x 时，h(x) 与h(x) 0矛盾当 a10时，h (x)0xln(a

34、 1), h(x) 0 xln(a 1)得：当 x ln(a 1)时，h(x)min (a 1) (a 1)ln(a 1) b 0 22(a 1)b (a 1)2 (a 1)2ln(a 1)(a 1 0)令 F(x) x2 x2 ln x(x 0)；则 F(x) x(1 2ln x)F (x) 00 x 、e, F(x) 0 x e当 x n时，F(x)max *2当a Je 1,b Je时，(a 1)b的最大值为£2(土ln x) b例 4 解(I) f'(x)-2- -2(x 1) x1f(1) 1,由于直线x 2y 3 0的斜率为 一，且过点(1,1),故1即2f

35、9;(1)1,2b 1,a1解得 a 1 , b 1一 b ,22一、In x 1 由知f(x) n xf(x)(等 k) x 1 x(k 1)(x2 1)考虑函数 h(x) 2ln x (k 1)(x x-(x 0),则 h'(x)(k 1)(x2 1) 2x(i)设 kh'(x)k(x2 1) (x 1)2知，当x 1时，h'(x)0 , h(x)递减。而h(1)0故当(0,1)时,h(x)(1, +时，h (x) <0,可得h (x)1 x>0从而当x>0,且 x1 时,f (x)-(2n + k) x 1 x>0,即，/、 lnxf (x

36、) >x 1(ii)设 0<k<1.由于(k1)( x2 1) 2x = (k1)x22x k 1的图像开口向下，且4 4(k 1)20,对称轴x=-1(1一)时，(k-1) ( x2 +1) k+2x>0,故 h (x) >0,而 h(1) =0,故当(1一)k时,-1h (x) >0,可得2 h1 x(x) <0,与题设矛盾。(iii )设 k21.此时x1 2x(k1)(x1) 2xh (x) >0,而 h (1) =0,故当x(1, +)时，h (x) >0,可得1一2- h (x) <0,与题设矛盾。1 x综合得,k的取值范

37、围为(例 5 (1) a 0时，f (x) ex 1x,0f '(x)当 x (,0)时，f'(x)0;当 x (0,)时，f'(x) 0 .故 f(x)在(,0)单调减少，在(0,)单调增加(II) f '(x) ex 1 2ax由(I)知ex 1当且仅当x 0时等号成立.故f '(x) x 2ax (1 2a)x ,_1 一，从而当 1 2a 0,即 a 时，f'(x) 0 (x 0),而 f(0) 0, 2于是当x 0时，f(x) 0.1由ex 1 x(x 0)可得ex 1 x(x 0).从而当a 时， 2f'(x) ex 1 2a

38、(ex 1) e x(ex 1)(ex 2a),故当 x (0,ln2a)时，f'(x) 0,而 f(0) 0,于是当 x (0,ln2a)时，f (x) 0.1综合得a的取值范围为(，1. 2例 6 解：(1)当 a= b= 3时,f(x) =(x3+3x23x3)ex,故f ' (x)- (x3+3x2-3x-3)e x +(3x2+6x 3)e x=e x (x39x)=x(x 3)(x+3)e x.当 x< 3 或 0Vx<3 时,f '冷0;当一3<x<0或 x>3时,f ' <(x0.从而f(x)在(一oo厂3),

39、(0,3)单调增加，在(3,0),(3,+ 单调)减少.(2)f 'a)-(x3+3x2+ax+b)e x +(3x2+6x+a)e x = e x x3+(a 6)x+b a.由条件得 f ' (2)0,IP 23+2(a 6)+b a=0,故 b=4a.从而 f ' (x)- e x x3+(a-6)x+4-2a.因为f' (= f)仁口)所以 x3+(a6)x+4 2a=(x 2)(x a )(x- B )= (x2) x2( a +0 )x+ a 0将右边展开，与左边比较系数，得a +书 2, a邙a2.故()2 412 4a .又(斤2)(女2)<

40、;0,即a伊2( a +0)+4.由此可得a< -6.于是3 a>6.例7 ( I )当k 1时，f x x 1 ex x2, f xexx 1 ex 2x xex 2x x ex 2令 f x 0,得 X10, x2 In 2当X变化时，f x ,f X的变化如下表x,000,ln 2In 2ln2,f x00f xZ极大极小值值右表可知，函数f x的递减区间为 0,ln2，递增区间为,0 , ln2,(n) f xxxxxe x 1 e 2kx xe 2kx x e 2k令 f x 0,得 xi 0, x2 In 2k , 11 k -.,1 令g k In 2k k,则g k

41、- 1 0,所以g k在一，1上递增,k k2所以 g k ln2 1 ln2 Ine 0,从而 In 2k k,所以 In 2k 0,k时，f x 0;所以当 x 0,ln 2k 时，f x 0;当 x In 2k ,所以 M max f 0 , f kmax 1, k 1 ek k3令 h kk1 ek k31,贝1J hk k ek 3k令 kek3k,则k ek3e 3 0所以 k在：1上递减，而 1 222,% 时,k 0, 1所以存在x0-,1使得 刈 0,且当k2当 k %,1 时，k 0,所以 k在 1,% 上单调递增，在x0,1上单调递减.21 1 - 7.一因为 h 11、

42、e 7 0, h 10,2 28，1, , ,，一，一,所以h k 0在,1上恒成立，当且仅当k 1时取得“2综上，函数f x在0,k上的最大值M k 1 ekk3.1312例 8 斛:(I ) ,'f(x) -x ax x b(a 0),32一2:f '(x) x ax 1 f(x)在(1,0)处切线方程为y 3x 3,.f'(1) 3 ,f(1) 011_, , a 1, b .(各 1 分) 6f '(x)x2 ax 1 ,c、(n)g(x) x ax-(x R).eeax / 2ax、(2x a)ea(xax 1)e r ,2g'(x)- xax

43、 (a 2)e(e )当 a 0时，g'(x) 2x,当a 0时，令g'(x)_ ，r,、20,得 x 0或 x aax(,0)0(0,)g'(x)-0+g(x)极小值g(x)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(，0)(0 2 a2)a(2 a2x(,0)0(0, a(,a)a 衣时,2一(i )当一a 0,即 0 ag'(x:)-0+0-g(x)极小值极大值22g(x)的单调递增区间为(0,2_旦)，单调递减区间为(,0) , G2a-,); aa(ii)当 2 a 0,即 a 五时，g'(x)2x2e2x 0,a故g(x)在()单调递减;(ii

44、i)当2 a0,即a72时,综上所述，当a 0时，g(x)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0);J2时，g(x)的单调递增区间为2 a2 、八 % ,、，(0,2a-),单调递减区间为( a,0)当a J2, g(x)的单调递减区间为(，)当a 及时，g(x)的单调递增区间为2(一aa,0),单调递减区间为(0,)、a)3,、32x 例 9 解：(1)a1时，g(x) x x，由 g(x) 3x 1 0,解得 3g (x)的变化情况如下表：x06 (0,) 3V33石 (3,1)1g (x)-0+g(x)0极小值0所以当(2)证明:33xg()3时，g(x)有最小值32:曲线 y

45、f(x)在点 P(x1，2x12 3 ""9"a)处的切线斜率k f(x1) 2x1曲线f(x)在点P处的切线方程为 y(2x12a)2x1 (x x1)x2,得2x1a2x1x2， X12x1 a2x1X12a x12x1一x1-a2a x12x1所以x1a2x1 ? x2. ax20,即2x1 a2x1X2x1x12a1 2x1 | ,2 2x1例10当a引寸,f(x)x2ex, f'(x)(x2 2x)ex,故f'(1) 3e.所以曲线yf (x)在点(1, f (1)处的切线的斜率为3e f'(x)x2 (a 2)x 2a2 4 a

46、 ex./一,r,、2，令f'(x)0,解得x 2a,或 xa 2.由a鼻知，2a a 2.以下分两种情况讨论:2 一.一 .若a> ,则 2a < a 2.当x变化时，f'(x), f (x)的变化情况如下表: 3x,2a2a2a, a 2a 2a 2,+0一0+极大 值极小 值所以£(刈在(，2a),(a 2,)内是增函数，在(2a, a 2)内是减函数.函数f(x)在x2a处取得极大值f( 2a),且£( 2a) 3ae2a.函数f(x)在x a 2处取得极小值f(a 2),且f(a 2) (4 3a)ea 2_2_右av1,则 2a &g

47、t; a 2,当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表: 3x,a 2a 2a 2, 2a2a2a,+o一o+极大 值极小 值所以f仁)在(,a 2),( 2a,)内是增函数，在(a 2, 2a)内是减函数。函数f (x)在xa 2处取得极大值f(a 2),且f(a 2) (4 3a)ea函数f (x)在x2a处取得极小值f( 2a),且“2a)3ae 2a例11解：(I(x)x1In xx 1x2 1x x 1 2(x)的单调递增区间为o,1和1,.切线设直线g (x);直线1也为，:f(Xo)的方程为与曲线y，:ex1xoxoxO,1 ,y In xo (x xox0),即 y

48、g(x)相切于点(X1,ex1),1一, x1Xo1n xo1n xo , .g(x1)1x xo由得1n xoln xoxoIn %xoxoxo11一 x xo1n xoXoln x()1,xo工，Xo下证：在区间(1,+)上xo存在且唯由(I )可知,(x)1nx 1 ,，在区间(1,+x 1de 1又(e) In e - e 1(e2)In e2e2 1e2 1e2 3 c? °，结合零点存在性定理，说明方程 是所求的唯一 Xo故结论成立.(X) 0必在区间|(e,e2)|上有唯一的根,这个根就,，、，1a，例 12 f(x) ln x ax 1(x 0),xf(x);2.ax

49、 x a 1 一2(x 0)X2令 h(x) ax x 1 a(x 0)当a 0时，h(x)x 1(x 0),当 x (0,1),h(x)0, f (x) 0,函数f(x)单调递减；当x (1,),h(x) 0, f (x) 0 ,函数f (x)单调递增. ,、 c21当a 0时，由f (x) 0,即ax x 1 a 0,解得X 1%-1.a1，、八一、八 一、当a 3时x 理、h(x) 0恒成立，止匕时f (x) 0,函数f (x)单调递减；,1 .1当0 a 时，一1 1 0,x (0,1)时 h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递减; 2 a1x (1,- 1)时，h(x)

50、 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递增； a1x ( 1,)时，h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递减. a,八 1当 a 0时一1 0,当 x (0,1),h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递减； a当 x (1,),h(x) 0, f (x) 0 ,函数 f(x)单调递增.综上所述：当a 0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；,1 ,当a 时x- x2 , h(x) 0恒成立，此时f(x) 0,函数f(x)在(0,)单调递减； 2,111当0 a 时，函数f(x)在(0,1)递减，(1, 1)递增，(1,)递减.2aa1当a 一时

51、，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意X (0,2),4,1有 f(x1)> f(1)-, 、，、1，、又已知存在 鹏 1,2 ,使 f(x1)g(x2),所以 -g(xz), x?1,2 , g又 g(x) (x b)2 4 b2,x 1,2当 b 1 时，g(X)ming(1) 5 2b 0与叱)矛盾;1,2 时，g(X)min g(1)4 b20也与()矛盾；,117当 b 2 时，g(x)min g(2) 8 4b -,b .28，一 17综上，实数b的取值范围是一,).8l /、 f (x) a ln x a、例13解： F(x) 一 定义域为x (0,)XxF (x)(1 a) ln x2x令 F (x) 0 得x