如何依托向量提升学生的数形结合的能力

1、如何依托向量提升学生的数形结合的能力依托向量、三角恒等变换的教学提高学生的运算能力三角恒等变换 章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作 用，学会它们在数学中的一些应用，并依托向量的方法提高学生的运算能力。、课标与大纲教学要求对比内容课程标准教学大纲区别两角 和与 差的 正 弦、 余 弦、 正切 公式1 .经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程， 进 一步体会向量方法的作

2、用。2 .能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦及两角和与差 的正弦、正切公式，了解它们的内在 联系。1 . 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍 角的正弦、余弦、正切公式。2 .通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑 推理能力。1 .关于公式的推导， 课标降低了要求。2 .关于公式的推导， 课标强调了用向 量的方法。简单 的三 角恒 等变 换能运用上述三角公式，进行简单三角 函数式的化简、求值和恒等式证明。（包括弓1出积化和差、和差化积、半 角公式，但不要求记忆。）能正确运用三角公式，进行简单三 角函数式的化简、求值和恒等式证 明。（包括弓1出积化和差、和差化 积、半角公式

3、，但不要求记忆。）公式的应用要求大致 一样，课标对应用的含 义更加广泛，三角恒等 变换的目的不止限于 化简、求值和恒等式证 明，其应用的含义更在 于实际生活中。二、知识框图三、教材编写意图及特点1 .三角恒等变换的学习以代数变换与同角三角函数式的变换的学习为基础，和其他数学变换一样， 它包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素。本章变换的对象要由只含一个角的三角 函数式拓展为包含两个角的三角函数式，因此建立起一套包含两个角的三角函数式变换的公式就是本章的 首要任务，也是3.1节的中心内容。2 .由于和、差、倍之间存在的关系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，

4、因此我们可以不必孤立地去一一推导这些公式，而只要推导出一个公式作为基础，再利用这种联系性，用 逻辑推理的方法就可以得到其他公式。选择哪个公式作为基础呢？过去的教材曾经进行过许多探索，其基本出发点都是努力使公式的证明过程尽量简明易懂，易于被学生所接受，这里由于向量工具已被引入，因此选择了两角差的余弦公式作为基 础。应当说，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度（尽管同时也 失去了一些对学生进行数学思维训练的机会）。另外，对于众多公式的推导顺序，也可以有多种不同的安排。本章中先探索出了两角差的余弦公式 然后以它为基础，推导出其他公式，具体过程如下：实际教学中，老师可以

5、根据学生情况，对式的推导顺序作出自己的选择。3 .本章内容安排的一条明线是建立公式，学习变换，还有一条暗线就是发展推理能力和运算能力， 并且发展能力的要求不仅体现在学习变换的对程之中，也体现在建立公式的过程之中。因此在本章全部内 容的安排中，特别注意恰时恰点地提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，使 他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中的角 的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学 思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了这种引导的渐进性和层次性，4 .本章内容安排

6、贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的理念， 严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式，积化和差公式以及和差化积 公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习。教材特点1 .削枝强干，精简内容 。2 .突出数学思想方法，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导。3 .以问题为引导，加强过程与联系，切实改进学生的学习方式，提高学生的数学能力。四、教学建议3.1.1两角差的余弦公约1课时3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式约1课时3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式约1课时小结复习约1课时3.2简单的三角恒等变换约

7、3课时小结复习约1课时总计约8课时2 .重点难点2.1 节重点是通过探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联 系。难点是两角差的余弦公式的探索和证明。2.2 节重点是掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点。难点是公式的灵活应用。3 .分析说明本章内容的重点之一是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时它也是难点。为 了突出重点、突破难点，教学中可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆 中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含，的正弦、余弦值的等量关系。前一章中已经明确指出，向量的数量积是解决距离与夹角问题的

8、工具，在两角差的余弦公式的推导中能够体现它的作用。由 于学生刚接触向量，他们还不太习惯用向量工具解决问题，因此这里需要教师作引导。教学时应当注意下面四个要点：在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系，为向量方法的运用做好准 备；探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充完善细节的过程中，需要运用分类 讨论思想，突破两角差的余弦公式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得 出。本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法。 在两角差的余

9、弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和 与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想； 在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了 “观察” “思考” “探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。 例如，在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的，是 的二倍 是 的二倍，这里蕴含着换元的思想” “这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等，这些都可以成为我们 加强对思想方法渗透的一个重要的内容，也是我们开

10、展研究性学习的好素材。本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角 公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公 式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）。三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中 地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想。从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一

11、定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不 变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换。由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还 表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系 为依据来选择适当的三角公式进行变换，这是三角恒等变换的主要特点。教学中应当引导学生以一般的数 学(代数)变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，在类比、特殊化、化归等思想方法上多作引 导，同时要注意体会三角恒等变换的特殊性。为了激发学生的自主探究、动手实践等的积极性，充分利用本章设置的思考性问题和旁注，用以启发 学生思考，提示关键所在，这样做，既能为学生深刻理解

12、所学内容创造条件，又能鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯，从而使得学生学习方式的改进得到具体落实，并切实提高学生的思维能 力。例如，在两角差的余弦公式的推导过程中，以“如何用任意角，的正弦、余弦值来表示 ？ ” “你认为要获得相应的表达式需要哪些已经学过的知识？” “以上推导是否有不严谨之处？若有，请做出补充” 等问题，引导学生开展独立思考。自主探究能力。五.注意问题(1)精心设计，突出重点。(2)准确把握、控制难度。(3)加强联系，强调思想。(4)问题引导，提高能力。集数形于一身，小向量大工具著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镶，它们的进展就缓慢.它们的应用就狭

13、窄.但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收新鲜的活力，从而以快捷的步 伐走向完美.”我国著名数学家华罗庚先生也有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精 辟论述.学好向量这一块内容，能进一步促进学生对代数几何的理解，运用代数几何化、几 何代数化的方法，从多角度思维，充分体现了在应用向量工具来解题中，数形结合的思想方法给我们带来的快捷与便利.(一) 代数几何化便能平面向量沟通了代数与几何的联系，因此对某些代数问题，如能巧妙地构造向量, 将其转化为向量问题，从而使问题简化 .例1、证明：对于任意两个向量a,b,都有|M-b ia + b a, +|b证明：若a, b中有一个为0 ,则不等式显见成

14、立.A若a ,b都不是0时，作ota,AB=b 贝uOB 二(1)当a, b不共线时，如图1所示,OA -aB11 OB :二 OA)-)AB , la-bl 率+b Wa+|b|（2）当a,b共线时，若a,b同向，如图2所示,OB =OAi +iaBb.,即 a + b若a, b反向，如图3所示,综上可知:a. - b a + bb.该命题的证明方法有多种，但应用向量工具从三角形三边关系上更能看出问题的实质 因此，在教学时应有意识的引导学生从数形结合的角度进行思考，避免单一的思维渠道.（二）几何代数化通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对大量的几何问题， 不但可以用向量的语言

15、加以叙述， 而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算.例2、 （2003年全国高考题）如图6,在直三棱柱 ABC - A1B1G中，底面 是等腰直角三角形，/ACB=90,侧棱AA=2,D,E分别是CC1与AB的 中点，点E在平面ABD上的射影是AABD的重心G .（1）求AiB与平面ABD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A到平面AED的距离.分析： 以C为原点，CA,CB,CC1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设CA = a，则A(a,0,2 ), B(0,a,0),D(0,0,1),A(a,0,2), 从 而Efri 1Gga1bA =3*)0GHl33),由 GE。得GEAD =0,即-a- 2 =0,. a=2.63一T设AB与平面ABD所成的角，即BE与BG所成的角为日,BE2=1, -1,1，BG = 34 1,cos 二二3 37= arccos 3(2)设点A1在平面AED上的射影为H(p,s,t),则AH _LAH,AH_LEH,=0,代入运算得A1H_lDh,即AH TH=o,71H eH =o,AH dh-22p -2 st t -2)=0,p -2 p-1 s s-1 t-2 t-1 =0,-2p p -2 s t -1 t -2 =0.4p =2,s =0,(舍去)t = 2.p