2020年山东省青岛市高考数学一模试卷(文科)

1、高考数学一模试卷（文科）题号一一二总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合 A=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,集合 B=xCN|2 内 6,则 AAB=（）A. 1 , 2, 3, 5, 6, 7B. 2, 3, 4, 5C.2, 3, 5D. 2, 32 .已知i为虚数单位，复数z满足（2-i） z=3+2i,则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 .“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根

2、据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）第17页，共16页A. 493B. 383C. 183D. 1234 .调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：该高科技行业从业人员 中学历为博士的占一半以上；该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%;该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生.其中正确的个数为 （）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5 .执行如图所示的程序框图，则输出 k的值为（开始k =9J = 1结束A. 7B. 6C. 56.在 4ABC 中，乂口 旧，CE 必，则（）D. 4r _

3、 2 -1 +D. "，七7 . 已知数列an为等比数列，满足a3aii=6a7；数列bn为等差数列，其前n项和为Sn,且 b7=a7,则 Si3=()A. 13B. 48C. 78D. 1568 . 已知双曲线 C: -=1(a>0, b>0),。为坐标原点，过 C的右顶点且垂直于 x轴的直线交C的渐近线于A, B,过C的右焦点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M , N ,若 4AB与 4MN的面积之比为1: 9,则双曲线A. y= =t2xB. y=及v AC. y=厚机x9 .某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为A.

4、'1B. 一"FC. 111 -'D. '11,C的渐近线方程为（）D. y= =t8x10 .已知函数 f (x) =Asin ( cox+协（A>0, co> 0, |xCR）在一个周期内的图象如图所示，则y=f （x）的解析式是（）C. - i ,：B.】：1：".4 贰D. 一 I11.若函数 f (x) =, a=f (2) , b=f (3),c=f (5),则(A. b< cvaB.b< a v cC. a< c< bD. c< a< bf2x-xlnx, x>012.已知函数汽幻=

5、JhWO ,若方程f （x） =a （a为常数）有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A. （。，0）B.岛口99C. （-8, 04泰，e|D. （-8, 0） L（而 e）二、填空题（本大题共 4小题，共20.0分）13 .部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三 边中点连线，将它分成 4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3个 小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 .A图图图/ x-2y <

6、 014 .已知x, y满足约束条件十£产",则z=x+y的最小值为 .X2 y2115 .已知椭圆C： 了 +m= 19>H>S的离心率为百，A, B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点 P, Q,当直线l垂直 于x轴时，四边形 APBQ的面积为6,则椭圆C的方程为 .16 .在四B隹P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD ABCD ,且PD =1,若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为 .三、解答题（本大题共 7小题，共82.0分）17 .在AABC中，再廿=«, BC=3,= D为

7、线段AC上的一点，E为BC的中点.(n )若ABCD的面积为3,求DE的长度.18.如图，在四棱锥PTHCD中，底面小?门?为正方形，为等边三角形，平面PAQ1平面 .(1)证明：平面 巴4口1平面(2)若AB = 2, Q为线段产B的中点，求三棱锥Q-POD的体积.19.某食品厂为了检查甲、 乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225的产品为合格品，否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图.产品质量/毫克频数(165, 1753(175, 1859(185, 1

8、9519(195, 20535(205, 21522(215, 2257(225, 2355(I)由以上统计数据完成下面2X2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计附表:2.P (K >k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：心就比）.+b+"（n）按照以往经验，在每小时次品数超过 180件时，产品的次品率会大幅度增加， 为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量

9、，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在x（单位：百件）产品中，得到次品数量y （单位：件）的情况汇总如表所示：x （百件）0.523.545y （件）214243540根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过180件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程六6小的系数公式220 .已知抛物线 W： x =2py（p>0）的焦点为F,点A在 W上，AF的中点坐标为（2, 2）.（1）求抛物线 W的方程；（2）若直线l与抛物线 W相切于点P（异于原点），与抛物线 W的准线相交于点

10、 Q,证 明：FP1FQ.21 .已知函数+1, aw, e=2.718为自然对数的底数.(I )当awo时，证明：函数f (x)只有一个零点；(n)若函数f (x)存在两个不同的极值点x1, x2,求实数a的取值范围.22 .直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为t意;其中“为参数)；以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为& y(pER)，曲线 C2： p=4sin.e(I )求曲线Ci的普通方程和极坐标方程；(n)已知直线l与曲线Ci和曲线C2分别交于M和N两点(均异于点 O),求线 段MN的长.23.已知函数 f (x) =|x 2|x+ a|,

11、 aCR.(I )若 a=1,解不等式 f (x) +x>0；(n)对任意xCR, f (x) W3恒成立，求实数 a的取值范围.答案和解析1 .【答案】B【解析】解：.集合A=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,集合 B=xCN|2 炙V6=2 , 3, 4, 5,. AnB=2 , 3, 4, 5.故选：B.利用交集定义直接求解.本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题.2 .【答案】A【解析】解：由（2-i） z=3+2i,徂一 一.二3 /一 士 T q-+ G 5 +47则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1于），位于第一象限

12、.故选：A.把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标得答案.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3 .【答案】C【解析】【分析】本题考查进位制及进行简单的合情推理，结合进位制进行简单的合情推理得：农民采摘的果实的个数是 3>40 + 1 X41+3 X42+2 >43=183得解.【解答】解：由题意有：农民采摘的果实的个数是3X40+1 X41+3 >42+2 >43=183.故选C.4 .【答案】C【解析】【分析】利用该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图的性质直接

13、求解.本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，是基础题.【解答】解：在中，由该行业从业者学历分布饼状图得到：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故正确；在中，由从事该行业岗位分布条形图得到：该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%,故正确；在中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，故错误.故选：C .5 .【答案】C【解析】【分析】本题考查循环结构，考查推理能力，属于简单题.模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S, k的值，由流程线循环 4次，输出k.【解答】解：初始值k=9,

14、 s=1,是，第一次循环：s总,k=8,是，4第二次循环：s=, k=7,是，第三次循环：s=, k=6,是，第四次循环：s=1, k=5,否，输出k=5.故选C.6 .【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，属基础题.由平面向量的加减法得：=E=DA + AE=BACA=3(C4 CB)-3CA=lCAcS，得解.【解答】' _2 - 1 " _2 T_T T_T-T解：=DA 越=砺金一耙4=7 (E CB- -我八="3匕宙,故选A.7 .【答案】C【解析】解：.数列an为等比数列，满足 a3aii=6a7,.曷=6a7,解得a7=6.数列bn

15、为等差数列，其前 n项和为Sn,且b7=a7, . b7= a7=6,13Si3=y(*7 + %)=13b7=13 X6=78.故选：C.利用等比数列通项公式求出a7=6,从而b7=a7=6,再由Si3=y97 +与)=13b7,能求出结果.本题考查等比数列的前 13项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题.8 .【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题.由三角形的面积比等于相似比的平方，可得!二短,即可求出渐近线方程.【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方,二9,.沁也C的渐近线方程为V二显&x.故选：B.9 .

16、【答案】B【解析】 解：根据三视图知，该几何体是棱长为 4的正方体，截去两个半径为2的:圆柱体，如图所示;结合图中数据，计算该几何体的体积为V=43,兀X 22 X 4=64-8 兀 故选：B.根据三视图知该几何体是一正方体，截去两个相同的:圆柱体，结合图中数据求出几何 体的体积.本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题.10 .【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数图象的求解，利用图象确定 A, 3和。的值是解决本题的关键，属于 基础题.根据图象确定A,同时确定函数的周期和 以利用五点法求出。的值即可得到结论. 【解答】解：由图象知函数的最大值为A=4 ,T Ji ff3r

17、r Zjt=-.- (n)二二即 t二泉二1，4即 w=5 ,即 f (x) =4sin "x+ 4),4 IT由五点对应法得jX (-)+4=0,得 2,得 f (x) =4sin (;x+g),故选B.11.【答案】D【解析】 解：a = /(2) = =n2 =n32 , c = f(5)=子加5 =元加25 , 0 = f(2)=三加2 = g加a, b = f(3) = ：In9 ；. c< a,且 a< b；. c< a< b.故选：D.可以得出a = ln32, 1c =9n25 ,从而得出cva,同样的方法得出 a<b,从而得出a,b,

18、c的大小关系.考查对数的运算性质，对数函数的单调性.12 .【答案】D【解析】 解：当x>0时，函数f' (x) =2- (lnx+1) =1-lnx, 由 f' (x) >0 得 1-lnx> 0 得 Inxvl,得 0<x< e, 由 f' (x) v 0 得 1-lnxv 0 得 lnx> 1,得 x>e, 即当x=e时，函数f (x)取得极大值， 极大值为 f (e) =2e-elne=2e-e=e, 当 xwo时，f (x) =-x2-；x=- (x+1) 2+-作出函数f (x)的图象如图： 要使f(x) =a (a

19、为常数)有两个不相等 的实根，9 则a< 0或正vav e,即实数a的取值范围是(-8, 0)u(W.故选：D.求出当x>0时，函数的导数，研究函数的极值和图象，作出函数f (x)的图象，由数形结合进行求解即可.本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的表达式作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键.13 .【答案】言【解析】 解：设图(3)中1个小阴影三角形的面积为 S,则图(3)中阴影部分的面积为：9S,又图(3)中大三角形的面积为 16S, 由几何概型中的面积型可得：此点取自阴影部分的概率为 篇, 1D3 1D故答案为：工 1D由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形

20、的面积为 S,则图（3）中阴影部分的面积为：9S,又图（3）中大三角形的面积为 16S,由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为嬴得解本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题.14 .【答案】I【解析】解：作出x, y满足约束条件j x2y<01 -1对应的平面区域如图： x>l由z=-x+y,得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=x+z,当直线y=x+z经过点A时, 直线y=x+z的截距最小，此时 z最小，由矛一2尸=0 ,解得A （1, 3）,13此时 zmin=7 + 1 = 2 .故答案为：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何

21、意义，即可求解.本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决.15 .【答案】t + T= 1.X* *产|r 1【解析】解：椭圆C： 了 +靠二的离心率为,可得q，.A, B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于 不同的两点P, Q, 当直线l垂直于x轴时，四边形 APBQ的面积为6,E x 2a薄；=6,解得 b=v'3 , =2. a2=b2+c2,解得a=2,则椭圆C的方程为：t + T=1故答案为：1十号=1.利用已知条件列出方程，求解a, b即可得到椭圆方程.本题考查椭圆的简单性质的应用，是

22、基本知识的考查.16 .【答案】。4G而加I1rli 4【解析】解：四棱锥P-ABCD的体积为正方形,日钉口=鼻>< 1乂2士二如下图所示，P易证 PD±AD, PDXCD, PAAB, PC IBC,所以，四棱锥P-ABCD的表面积为5=2xx2xl + 2xx2x/+/ = 6 + 2值,所以，四棱锥 P-ABCD的内切球的半径为/?二?二罚% 二 等，因此，此球的最大表面积为 4冗及*二保义仁黄产=（14一6伺）空.分别计算出四棱锥 P-ABCD的体积V和表面积S,利用公式R二！计算出该四棱锥的内切球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案.本题考查球体表面积的计算

23、，考查计算能力，属于中等题.AB BC17 .【答案】解：（1）在AABC中，由正弦定理可得， 砺还二说，."口 L 淌X sin±ACS =力,3. 0V 小CBv & 且 ABvBC,.MCBvA,.MCB=：；（2） ABCD 中，由 s:cd=3 可得，如。 DOs配乙1C日=3,1g.5 X 3DC X Y = ,. DC=2 亚CDE 中，由余弦定理可得，DE2=CE2+CD2-2CE?CD>Cos/ACB,9 八n 3 入与志工了=+ ><-：- / . J ：.; x .=4-4 p Z 4 ?. DE =【解析】（1）在ABC中，

24、由正弦定理， 焉国二者r 可求sin，ACB ,然后结合大 ri匚门Ci £f S ER匚声，边对大角可求/ACB;（2）由sAbcd=3,结合三角形的面积公式可求DC,然后在4CDE中，由余弦定理可得,DE2=CE2+CD2-2CE?CD XcosZACB,即可解得答案.本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题.18.【答案】（I ）证明：取PD的中点O,连接AO, . ZPAD为等边三角形，. AO1PD,.AO?平面PAD,平面 PADA平面PCD=PD,平面 PAD"面 PCD,. AO1?F面 PCD,. CD?平面 PCD ,

25、. AO1CD,底面ABCD为正方形，CD必D, .AOnAD=A, .CD4面 PAD,又,CD?平面ABCD，.平面PAD,平面ABCD ；（n ）解：由（I ）知，AO4面 PCD, A到平面PCD的距离d=AO一斤.底面ABCD为正方形，AB /CD,又.AB?平面PCD, CD?平面PCD,AB/狂面 PCD, . A, B两点到平面PCD的距离相等，均为 d, 又Q为线段PB的中点，. Q到平面PCD的距离h卷".由（I ）知，CD"面 PAD,. PD?平面 PAD, . CD1PD,.1， 1 1 . 小 后Q-PCD = 3 A PCD =2X2Xy =

26、了.【解析】（I ）取PD的中点O,连接AO,由已知可得 AO1RD,再由面面垂直的判定 可得AO平面PCD,得到AO±CD,由底面ABCD为正方形，得 CDLAD,由线面垂直 的判定可得 CD 1平面PAD,则平面 PAD 1平面 ABCD ;（n ）由（I ）知，AON面PCD ,求出A到平面PCD的距离d=AO=4i,进一步求得Q到平面PCD的距离h=i = y,再由（I ）知，CD"面PAD,得CD 1RD,然后利用棱锥体积公式求解.本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题.19 .【答案】解：（I ）由乙流水线样本

27、的频率分布直方图可知：合格品的个数为：100X （1-0.04） =96,故2X2列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计1001002001.418 2.072,故 k2TU192-吗MH)：1(KJ X 100 X 1 白8 X 12故在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关；(n)由已知可得：二=(0.5+2+3.5+4+5 ) =3,X 5户(2+14+24+35+40) =23,Z；=Xiyi=0.5 a+2M4+3.5 24+4 >35+5 >40=453 ,11=0.52+22+3.52+4

28、2+52=57.5,由回归直线的系数公式得：E J 一, J产必7宣453-5 X3x 23 108=8 64占 5 之 ,57.S-5 = =12.5 8.6-,故:弓-；=23-8.64 >3=292,故：=；x+a=8.64x-2.92,当 x=20 时，y=169.88 <180,符合题意，2000件的任务.故按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产【解析】（I ）根据直方图求出 2X2列联表即可；（n ）求出相关系数，从而求出回归方程，代入x的值判断即可.本题考查了 2X2列联表，考查求回归方程问题以及函数代入求值，是一道常规题.20 .【答案】（1）解：抛物线

29、 W: x2=2py （p>0）的焦点为F （0, I）,点A在W上，AF的中点坐标为（2, 2）,可得 A （4, 4-：）,可得：16=2p （4-2）,解得：p=4.2则W的方程为：x =8y;（2）证明：由y$x2,可得V' =1x,设点P （x0,a02），则直线l的方程为y-1x02=x0 （x-小），即 y=|x0x- x02,令y=-2,得Q （手之-2），.q=（X0,合02-2） , FQ= （7，-4） FP?F<?=x0?_"-4 （flx02-2） =0,. FP1FQ.【解析】本题考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，同时考查导数的

30、几何意义及平面向量的几何运用.(1)求出抛物线的焦点坐标，得到 A的坐标，然后求解 p即可得到抛物线方程.(2)先求导，可得直线l的方程，求点 Q的坐标，根据向量的运算和向量的数量积即 可证明.21 .【答案】 解：(I)由题知：f' (x) =1-ex+ax.令 g (x) =1-ex+ax, g' (x) =a-ex. 当aWQ g' (x) V0,所以f' (x)在(-8, +oo)上单调递减.因为f' (0) =0,所以f (x)在(-8, 0)上单调递增，在(0, +OO)上单调递减，所以f (x) 4 (0) =0,故f (x)只有一个零点.

31、(n )由(I )知：awo不合题意.当 0vav1时，因为 xC (-8,ina), gz(x)>0； xC (lna,+0°),g'(x) <0.又因为 f (0) =0,所以 f' (lna) >0;又因为，(_3 = 一&4<0 .因为函数中(。)=+ ；9 9)=1 一二= W<。，1).L< a a所以()(a) >()(1) =1 > 0,即一:<lna .所以存在#i E出(!),满足f' ( x1)二0.所以# 8,灼)，(0OX fx)>0 ;x(0, +8),此时f (x

32、)存在两个极值点xb 0,符合题意.当 a=1 时，因为 x= (-8, 0), g' (x) >0； x= (0, +8) , g' (x) V0; 所以g (x)为(0) =0；所以f' (x) WQ即f (x)在(-8, +8)上单调递减, 所以f (x)无极值点，不合题意.综上可得：0vav1.【解析】(I )首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的单调性即可证得题中的结论；(n )结合(I )中的结论分类讨论研究函数的极值点确定实数a的取值范围即可.本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性与零点，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.22 .【答案】解：(I )因为曲线C1的参数方程为b=1+45