《理论力学》动力学典型习题+答案

1、动力学I第一章 运动学部分习题参考解答1 3解：运动方程：y = l tan 6 ,其中a = kt。将运动方程对时间求导并将0 =300代入得If lk 41kv = y =2 =2- =cos cos 138.31k2921k sin1a 二 y 二一 3 cos u由此解得：x=小(a)x(a)式可写成：xx = -vs ,将该式对时间求导得：xx x2 - - sv0 = v2(b)丫2 2丫21 2将(a)式代入(b)式可得：ax = x = V0 x=一二 (负号说明滑块 a的加速度向上) x x1 6证明：质点做曲线运动，所以a =at an , 设质点的速度为 v曲图可知：Vy

2、an一anvcos 6=,所以：a =vaVy2V将 Vy =c, an 二一3代入上式可得a =c：证毕1 7、v2a v证明：因为P = v-, an=asin日 anV3所以：；=V a v证毕解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以 vb=0R,由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上 A B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：vB = vA C(a)因为 22x - R cosH = (b)x将上式彳t入(a)式得到A点速度的大小为：由于vA = x , (c)式可写成:将上式两边对时间求导可得：将上式消去2x后，可求得:xVa = RA22x - R(c

3、)- xv x2 - R2 =8Rx,将该式两边平方可得:2/22、222x (x - R ) - R x22322-2xx(x - R) - 2xx =2 R xx1-10解：设初始时，绳索AB的长度为L,时刻t时的长度 为s,则有关系式：s = L -v0t ,并且 s2 = l2 + x2将上面两式对时间求导得：s = -Vo , 2ss = 2xx2 _4- R xx 二-22(x2- R2)2由上式可知滑块 A的加速度方向向左，其大小为1-13解：动点：套筒A;动系：OA杆； 定系：机座；aA 二2R4x/ 2,2、2(x - R )Ve运动分析：绝对运动:相对运动: 牵连运动:直线

4、运动;直线运动;定轴转动。牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有根据速度合成定理va 二ve v r有：vacos中=ve,因为AB杆平动，所以va = v ,va = ve a e将(a)式在垂直于va cos300 = aVr(a)OiA杆的轴上投影以及在 OiC轴上投影得:ve cos300, va sin 300 = vesin 300由此可得vcosuv OC杆的角速度为 =OA当中=450时，OC杆上C点速度的大小为Vc,OA = ,所以cos ;20av cos 45vcos2 :Ve = Va = R6 , Va=vr = RVeR01A - 2R0.5coav2l根据加速度合

5、成定理有t naa = a ea ea ra c将(b)式在垂直于 O1A杆的轴上投影得一 aa sin 300 = a； cos300 an sin 300 - ac aeec(b)1 15解：动点:动系动系销子M1:圆盘2: OA 杆定系：机座;运动分析：绝对运动:相对运动: 牵连运动:曲线运动直线运动定轴转动根据速度合成定理有A30vr2*- xva2 =va1,由上两式可得：由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即ve1 vr1 = ve2vr2(a)其中：aa = R由上式解得：1n Iete2R32012119解：由于ABM弯杆平移，所以有取：动点：动系:定系: 运动分析：套筒M；

6、 OC摇杆; 机座；将（a）式在向在x轴投影，可得：-ve1sin3000Fsin 30v2 cos30由此解得:vr2 = tan300(ve2 -ve1) = OM tan300( 2 - 1) = bsin300 (3 -9) - -0.4m/scos 30ve2 =OM 2 =0.2 3二 Va2,v22 v22 = 0.529m/ s绝对运动:相对运动:牵连运动:圆周运动;直线运动;定轴转动。根据速度合成定理v a 二 vevr可求得:vm = va = v； = . 2ve = 2bva1 )一O1A根据加速度合成定理a ；a n = a t -a a e1 17解：动点：动系:定

7、系:圆盘上的 C点;OA杆；机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；vARacve标B=2-7 2m/s , vr = ve = bva= 2m/s ,1.5将上式沿ac方向投影可得：a； cos450 - a； sin 450taa7 4。2xC0cos45taet a=-aeac,2；=ab = 1m/s ,2、2(7 4、2)Maa。a r； , 2 ac = 2，vr = 8m/st据上式可得: aa:12rad/s21-20解：取小环为动点， OAB干为动系运动分析绝对运动：直线运动;相对运动：直线运动;牵连运动：定轴转动。A由运动分析可知点的绝对速

8、度、相对速度和牵连速度的方向如图所示,r - 一其中：ve = OM =2 2 2r ecos600根据速度合成定理：Va = VeVr可以得到:va = tan 叫or sin 602.0cos 60=2.3r Vevr =TTocos60加速度如图所示，其中:其中：va = vB , ve =RB , 缶=，Ra由此可得：vr =九旦vA vB =竺0 m/s RA9求相对加速度，由于相对运动为圆周运动， 相对速度的大小为常值，因此有：2ar = an =上=1.78m/s2 RB2-1解：当摩擦系数f足够大时，平台 AB 相对地面无滑动，此时摩擦力F fFN取整体为研究对象，受力如图，

9、系统的动量： p= m2 Vr将其在x轴上投影可得：px = m2 vr = m2 bt根据动量定理有：型 =m2b = F工fFNdt2ae = OM 2r2o = 2r0，cos602aC =2 vr = 8r 根据加速度合成定理:eaA_a r Bae Ma a =ae a raC将上式在x轴上投影，可得：aacos3 =-ae cos一时，平台AB的加速度为零。（m m2）g当摩擦系数f g时圆环已脱离地面，因此2 =02不是2其中相对加速度为已知量，an =工。将方程(b)在水平方向和铅垂方向投影，可得Rm。在 = F cos0 = Fn mbg -F sin领邛=300,联立求解三

10、个投影可求出2- 19取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为 vr ,牵连速度为aeFn =3.6267mgv e系统对z轴的动量矩守恒，有：2Lz = -m0r .f -mver mvr cosi r = 0其中：ve = r(o ,则上式可表不成：(m0 m)r2 : mvr cosi r由此解得：0mvrcosivrcos(m m)r2-18 取小球为研究对象，两个小球对称下滑, 设圆环的半径为Ro每个小球应用动能定理有：1.2m(Ri) =mgR(1-cosi) 2将上式时间

11、t求导并简化可得：g - gsin fR每个小球的加速度为t n a =a m a m其中：=m0 m,tan1 = h(b )二(Ri cos】 -R12sini)i (Rising -R12cosi) j取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理 maC 二 F Fi将上式在y轴上投影可得二m0 0 -2m(Risin 二Ri2 cos 二)=Fn -2mg - m0g将(a),(b)两式代入上式化简后得2 ,Fn =m0g 2mg(3cos ?-2sinu)Fn =0时对应的10值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成3 cos2 - - 2 cos - m0 = 0 2mVer根据动

12、能定理积分式，有：T； - T1 = W1/；一 c 一 12 八 2,12 T-.,.T1 = 0, T2 = - m0r 仍 十 mva W W1q = mgnh .(2277其中：V2 =(Ve -VrcosQ)2 + (Vr sin9 )2 ,将其代入动能定理的积分式，可得: m0r 2 2 + m( rs - vr cos8 )2 + (vr sin6)2 = 2mghn将。=国迎代入上式，可求得：=耳工r： 1 - cos1由 v2 = (Ve - Vr cos9 )2 + (vsin )2 可求得：va = Vr1 N (2 - N)cos2e 22-20取链条为研究对象，设链条

13、单位长度的质量为P应用动量矩定理，链条号 。轴的动量矩为：LO = P二 r3?外力对O轴的矩为：Mo2-I-Pigr - i gr cos dsVb =。ab BC ,设OB杆的角速度为co ,则有LoPigr=M IPgr cos : rd :gr2 sin 1出 二竺 rad/sOB 4设P点是AB构件上与齿轮I的接触点, 该点的速度：-T.r3u - mgr2Pgr2 sin VP = ABCP因为：r二生二业吧:业 dt d dt d二r 1 - ：gg sin 二v dv,所以上式可表示成:齿轮I的角速度为：O I也=6rad/s r1v dv二=ug g sin ?r d 二二v

14、dv = rg C sin -)d -1c 1c积分上式可得：;_Lv2=rg(2236 AB杆作平面运动，取 A为基点 根据基点法公式有：Vb = V a VBA将上式在AB连线上投影，可得Vb = 0, O1B- cosi) c由初始条件确定积分常数 c = gr ,1最后得：v=gr(2-2cos?二2)/二2一，vA 1因止匕， AB 二 -Z =二0AB 4因为B点作圆周运动，此时速度为零,VbVBA动力学第三章部分习题解答3-3取套筒B为动点，OA杆为动系 根据点的复合运动速度合成定理Va 二 Ve V r因此只有切向加速度（方向如图） 根据加速度基点法公式tnaB = a a a

15、 ba a ba将上式在AB连线上投影，可得可得：vacos300=VeVb = Vbc研究AD杆，应用速度投影定理有:vA =vD cos300, vDVVvDVDrhXXWJT60.- aB cos60O1 BaBO1B37= aA*aBA, aB = 2.5W 0 r0 （瞬时针）齿轮II作平面运动，取 A为基点有再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理Vd 二Vbc , VDra = a1 a将上式在x投影有：at BABana banBA将上式在x轴上投影有：vD =-vBC +vDr, vDr-a cos ： = a1r aBA由此求得：a cos :34 AB

16、构件（灰色物体）作平面运动， 已知A点的速度vA = 001A = 450cm/sAB的速度瞬心位于 C,应用速度瞬心法有:2r2再将基点法公式在y轴上投影有:a sin P = aBA =ct ii 2r2 ,由此求得 aIIVaAC= 3rad/s2Va5再研究齿轮II上的圆心，取 A为基点ntnao2 = a a a02A a02At a BAn a BAa Byt a匚t a02BnaBAxIInaA将上式在y轴上投影有vB = vA = OA = 2m/sttaO2= a0 2A - r2工 II由此解得：ataO2O1O212a sin :2(r2)再将基点法公式在x轴上投影有：a

17、O2 =a1 aO2A由此解得:naO2一,又因为nO2=(rir2 ) , O1O2由此可得：OiO2acos - ai2(ri r2)39卷筒作平面运动，C为速度瞬心， 其上D点的速度为v ,卷筒的角速度为v v0 =DC R -r角加速度为v aot = co =R -r R-r卷筒O点的速度为：vRvO = R =R-rO点作直线运动，其加速度为aO =vOAB杆的角速度：co AB = 0圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的的角速度为：.B =迤=4m/s r圆盘上C点的速度为：vC = 0 BPC = 2 J2m/sAB杆上的A、B两点均作圆周运动，取 A为基点 根据基点法公式有

18、 t nta B 二 a B a B = a A - a BA将上式在x轴上投影可得：-aB = 02因此：aB = aB =*=8m/s2 r由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：. B =也rt将其对时间求导有：B =,由于aB = 0 , r r圆盘作平面运动，取 B为基点，根据基点法公式有：a C = a B aCB aCB = a B aCBaC/(aB)2 (hCb)2 =8. 2m/s2R-r R-r研究卷筒，取 O为基点，求B点的加速度。tna B =aO a BO a B0将其分别在x,y轴上投影aBx = aO aBOaB = . a Bx aByaByRn一 aBO_2(R-r

19、)2 _24,4a (R-r) v同理，取O为基点，求C点的加速度。tna C =a O a COa C0将其分别在x,y轴上投影tnaCx = aO -aCO =0 aCy = aCORv2BBOat a BOnaCOaC = aCy2(R-r)23-10 图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有:3- 13滑块C的速度及其加速度就是DC杆的速度和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P,Va.AB杆的角速度为：6 AB = = 1rad/sAP杆上C点的速度为：vC = c0 ABpc = 0.2 m/s C AB取AB杆为动系，套筒 C为动点，根据点的复合运动速度合成定理有：Va =Ve Vr其

20、中：ve =vC,根据几何关系可求得：3 va = ve = m/s 15AB杆作平面运动，其 A点加速度为零，B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知 tn t . na B - a A a BA a BA - a BA a BAn ac由该式可求得 aB =0 = 0.8m/ssin300t - a BA由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：aC = 0.5aB =0.4m/s2CB再去AB杆为动系，套筒 C为动点，根据复合运动加速度合成定理有：a a =ae a r ac其中牵连加速度就是 AB杆上C点的加速度即：ae =0.4m/s

21、2将上述公式在垂直于 AB杆的轴上投影有：aa cos300 = ae cos300 ac科氏加速度ac =2-ABvr,由上式可求得：a3-14:取圆盘中心Oi为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动; 牵连运动为直线平移。由速度合成定理有：Va =Ve Vr 速度图如图A所示。由于动系平移，所以 ve =u, 根据速度合成定理可求出：Ve 八Ve“vOi = va = - = 3u, vr =二- = 2u tansin 1由于圆盘A在半圆盘上纯滚动，圆盘 A相对半圆盘的角速度为：Ovr 2u图 Aco =r r由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的

22、角速度。再研究圆盘，取 Oi为基点根据基点法公式有:Vb = VO1 VBO1Vbx00-VBOi sin30 - - rsin300 二 a； sin ? - an cosu一aa = -at cos an sinu2由此求出：at = - , aa = aO,r2u2,圆盘的角加速度为：u r卜面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象,tna b - a oi a boi aBOi将(b)式分别在x, y轴上投影:aBxaBy其中:(b)n0 t0-aBoi cos30aBoi sin 30n0 t0-aoi - aBoi sin 30 - aBoi cos30naBOitaBOi由此可得

23、:3 15 (b)22 4u0 r =,r一 23u=：r =r2aB = .37 r取BC杆为动系（瞬时平移）套筒A为动点（匀速圆周运动）根据速度合成定理有：Va = Ve Vr由上式可解得：Ve=Vatan30因为BC杆瞬时平移，所以有：_ _3.VCD = Ve = - r3tar3u22-rOi为基点，应用基点法公式有:xeO图DVBy = VO1 Vb01cos300 = 2 3uVb = vBx +VBy =/3u为求B点的加速度，先求Oi点的加速度和圆盘的角貉臻蜜如5根据加速度合成定理有Be图BBO1缗O冷繇，半圆盘为动系,n taa =aeara r(a)其加速度图如图c所示，

24、narnVr将公式（a）在x和y轴上投影可得:a roi tO3- 15 （d）取BC杆为动系（平面运动）套筒A为动点（匀速圆周运动）BC杆作平面运动，其速度瞬心为P,设其角速度为根据速度合成定理有：Va = Ve Vr根据几何关系可求出：O2P =-r,CP =i6r33将速度合成定理公式在 x,y轴上投影：Vax VexVay =Vey由此解得： BCVrx = Vex = -O2 P BCV ry=Vex = VrO2A BCi33、一 ，Vr = (- ) r422nB a BOita BOiBvcrn V a30VrABPVa, BCVr4DC 杆的速度 vC =CPebc = sr

25、3其中ae = aCo2 + aCc2 ,上式可表示为ac - aCO2 aCO2 ar ak3-16(b) BD杆作平面运动，根据基点法有： tnt n tnaC- aB a CB a CB- aBa B a CB a CB由于BC杆瞬时平移,obC =0,上式可表示成 t ntaC =a Ba BaCB将上式在铅垂轴上投影有：n t00 = -aB aCB sin30m12由此解得：二 BC = 6再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动）， a A =aa =a e a r a K将上式在y轴投影有：aC cos300 = aCO a CfCO2该式可表不成：一 ac cos300 - B

26、c CO2 一 2，Bc vc sin300联立求解(a),(b)可得4,3 2. 3 2ac = r , 二)bc =98其中：a k为科氏加速度，因为0 AB =0，所以aK =0动点的牵连加速度为：ae = a Ca nCa :ce c ec ec由于动系瞬时平移，所以anc =0,a；c =ubCAC ec , ec bc牵连加速度为ae =a ca ec ,(a)式可以表示成a A =a a =aca eca r将上式在y轴上投影：-aAcos300 - -ac cos300 atC ACeC由此求得：ac c2.32二(1 ) 2r93- 16（d）取BC杆为动系，套筒 A为动点，

27、 动点A的牵连加速度为tna e 二 a C a AC a AC动点的绝对加速度为a a = aC a AC a AC a r a K其中a k为动点A的科氏加速度。将上式在y轴上投影有aa cos300 - -ac cos300 -aAC aK上式可写成2rcos300 - -ac cos300 - - Bc AC 2 Bc13、3其中：o Bc =一8,vr =（一十 ）r （见422tAC再取bc杆上的c点为动点，套筒 。2为动系，由加速度合成定理有a ac =a C =a e a r aK317 AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P,可以证明：任意瞬时，速度瞬心P均在以O为圆心，R为半径

28、的圆周上，并且 A、O、P在同 一直径上。由此可得 AB杆任何时刻的角速度均 为VaVa AB 一 一AP 2R2杆上B点的速度为：vB =(0 ABpB = v A2V AAB杆的角加速度为： AB = 6 AB = 0AP取A为基点，根据基点法有n ta B = a A a BA a BA = a A a将上式分别在x,y轴上投影有a Bxa BynBA2n0vA- -aBA cos45 =一4 n 0=aA。aBA sin 452.2aB = aBx aBy =3VA42 A4R3- 18取DC杆上的C点为动点，构件 AB为动系Vca = vCe vCr根据几何关系可求得：vce = v

29、cr = 3 , r再取DC杆上的D点为动点，构件 AB为动系el2P点Key23,3x2R321Aa/，；”.，/.，(b)(c)F (P2 cos-m2 g(e)Ff2mi g2 rBD绳剪断后，其受力如图所示t a AO设板和圆盘中心 O的加速度分别为 圆盘的角加速度为久,圆盘上与物f (mi m2)ga Ca Cra Can a AOa Oa CaDaya De由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知AB杆质心C的加速度铅垂。由质心运动定理有：a Dra AvDaxa Daxa DK应用质心运动定理有(d )fminFsF sF2F2NF sF2F NF AN322 研究ABa

30、1, a orro2刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为年 A点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于 有运动关系式a D rmg - F sin的接触点为A,则A点的加速度为mg F sinVDay = -VDr COS 30 0maC = mg - Fan根据相对质心的动量矩定理有3-r2再取板为研究对象，受力如图mi ai = F - Fs - F2作用在板上的滑动摩擦力为：aDr sin 30 0 aDK cos 30000De - aDr cos 30 aDK sin 30一 r2ml 2： ab123f(m13m1 m2Fs = fFN = 由上式可解得 3F - ai 二l a

31、C = - ab - co2求解以上三式可求得：2Fan 二 一 mg5a D =a Da = a De a D r a D K由于BD杆相对动系平移，因此 a Cr 将上式分别在x,y轴上投影有Fs W fFN ,由此可得F(；2cos【rr0) (mg -F sini)(r2De VDr sin 30 0根据质心运动定理有：maC = F cos 二-Fs0 = Fn F sin - mg 根据相对质心的动量矩定理有m P2: - FSr - Fr0 求解上式可得：Fr(r cos 二-r0) aC =/ 2 + .2、，Fnm(r :)tna A =a O a AO - a AO 将上式

32、在水平方向投影有 axA = aO , aAo = aO ： R 取圆盘为研究对象，受力如图, mb a。- F2 应用相对质心动量矩定理有i 2m2R 1=F2R29 .2rV Da = V De - V Dr由于BD杆相对动系平移，因此 vCr = v Dr 将上式分别在x,y轴上投影可得求加速度：研究C点有a C =a Ca =a Ce a CraCK将上式在y轴投影有0 =aCesin300 -aCrcos300 aCK sin 300由此求得aCr =3，2r C I再研究D点Fn329解：由于系统在运动过程中，只有 AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置时，其动能为AB杆的动能与圆盘 A的动能之和：12121212T2- - m1VC - JCAB- m2vA _ J AA2222其中：1一1, Vc -，,2vA - ABl sin - -1 sin ?，