134课题学习：最短路径问题

1、13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题课件说明课件说明引言：引言： 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于 1、“两点的所有连线中，线段最短两点的所有连线中，线段最短” （两点之间，线段最短两点之间，线段最短 ） 2、“连接直线外一点与直线上各点的所连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短有线段中，垂线段最短”等的问题等的问题 我们称它们为最短路径问题，现实生活中我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的利用数学知识探究数学史中著名的“将军将军饮马问题饮马问题” 如图所

2、示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条地有三条路可供选择，你会选走哪条路路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？最近？你的理由是什么？FEDCBA 两点之间两点之间,线段最短线段最短()()两点在一条直线异侧两点在一条直线异侧已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的异侧，的异侧，在在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 A .A . .B .BP思考思考:为什么这样为什么这样就就能得到最短距离呢？能得到最短距离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别上修建一个泵站，分别向向A A、B

3、 B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短应用ABl BP 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. .M 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B.B. 连接连接AB,AB,交直线交直线l l于点于点P.P.已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上上求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 为什么这样做就能得为什么这样做就能得到最短距离呢？到最短距离呢？MA

4、 + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边比一比，谁想的最快：比一比，谁想的最快：问题问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？程最短？BAl精通数

5、学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ BAl将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 BAl已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条

6、边三条边的长度恰好能够体现在一条的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最直线上时，三角形的周长最小小 运用新知运用新知练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥思考：运动路径中，哪一思考：运动路径中，哪一段路径是恒定不变的？段路径是恒定不变的？运用新知运用新知基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段

7、段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到一点上找到一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥问题问题2（造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在一条河的两岸，两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从，桥造在何处才能使从A到到B的的路径路径AMNB最短？最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）（假设河的两岸是平行的直线，桥要与

8、河垂直）1.1.某班举行晚会，桌子摆成两直条某班举行晚会，桌子摆成两直条( (如图中如图中的的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了桔子，OBOB桌桌面上摆满了糖果，坐在面上摆满了糖果，坐在C C处的学生小明先处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？总路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的对称点点的对称点点D,2. 作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,3.连接连接DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 2. 如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。天的最短路线。作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F, 2. 作点作点D关于直线关于直线 OB 的对