中考二次函数压轴题解题通法研究lpg)

1、 解题通法研究四川省高县胜天中学校李培高（LPG编制QQ:电话：中考二次函数压轴题 解题通法研究四川高县胜天中学校李培高 （ LPG）二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在成都，绵阳，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关命题老师和专家、 学者的必选内容。我通过近6年的研究,思考和演算了上100

2、0 道二次函数压轴题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。几个自定义概念:(1)三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于 X 轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。(2)动点(或不确定点)坐标“一母示”：借助于动点或不确定 点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示由来，简 称“设横表纵”。如：动点P在y=2x+1上， 就可设P(t, 2t+1 ).2若动点P在y = 3x -2x+1,则可设为P ( t , 3t2 - 2t+1)当 然若动点M在X轴上，则设为(t, 0 ).若动点M在Y轴上，设 为(0 , t ).(3)动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变

3、化的。 或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。(4)动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。(5)定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称 为定三角形。(6)定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定 直线。如：y = 3 x 6。(7) X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐 标称为x标，纵坐标称为 y标。(8)直接动点：相关平面图形(如三角形，四边形，梯形等) 上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动 点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。（9）交点三角形：抛物线与X、Y的交点构成的三角形。（ 10 ） 顶点三角形

4、：抛物线与X 轴的两个交点和顶点构成的三角形。1、 求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离” ，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（ y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t ） ，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线

5、段长度计算公式y上-y下，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。3、 求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式（或称K 点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。4、 “抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的1） 先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y 消掉，得到一个关于x 的

6、的一元二次方程，由题有 =b2-4ac=0 （因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以b2-4ac=0）从而就可求由该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、 y 的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。（方法2） 该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。（方法3） 先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。5、 常数

7、问题：（ 1 ）点到直线的距离中的常数问题：“ 抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示由 来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可 求生动点的横坐标，进而利用抛物线解析式， 求生动点的纵坐标， 从而抛物线上的动点坐标就求由来了。（2）三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积 等一个定常数”的问题：先求由定线段的长度，再表示生动点（其坐标需用一个字母 表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解 此方程，即可求生动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求

8、生动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求由来了。（3）几条线段的和、差、积、商为常数的问题：用K点法设由直线方程，求由该直线与其它直线的交点坐标； 若涉及直线与抛物线 （或双曲线）截得的弦长，就运用弦长公式： AB=v1 +k2 *x1 x2 = Jl + k2 .4（为 +x2）2 4x1x2最后运用两点间的距离公式或弦长公式，把问题中的所有线段表 示由来，代入并化解即可。6 .“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的 问题：先求生两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段

9、的长 度应用两点间的距离公式计算 即为符合题中要求的最小距离, 而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很 易求生（利用求交点坐标的方法）。7 .三角形周长的“最值（最大值或最小值）”问题：（1） “在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三 角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度利用两点 间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。（2） “在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂线，与y轴的平行线和定直线，这三线构成的动直角三角形的周长最大”的 问题（简称“三边均动的问题）：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角

10、三角形，在动点坐标一母示后，运用C<_ 斜山gL=斜%，把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。8 .三角形面积的最大值问题：（1） “抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”（方法1）先利用两点间的距离公式求由定线段的长度；然后再利用上面4的方法，求由抛物线上的动点到该定直线的最大距离。 最后利用三角形的面积公式1底高。即可求由该三角形面积2的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。（方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段 （或所在 直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐1标一母本后，

11、进一步可得到 &三角我（yy± （动m （动）（x右（定-x& （定） 2 , 转化为一个开口向下的二次函数问题来求生最大值。（2） “三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设生动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得由 分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的 那一个三角形）。利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应 高的比）可表示由分割后的一个三角形的高

12、。从而可以表示生动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就 轻松解决了。9. “一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与 8 相同。10. “定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案（一）： 连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；方案 （二）： 过不在 x 轴或 y 轴上的四边形的一个顶点，向 x轴（或 y 轴

13、）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）11. “两个三角形相似”的问题：一两个定三角形是否相似：（ 1 ） 已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似; 否则不相似。（2） 不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似 ; 否则不相似。二一个定三角形和动三角形相似：（ 1 ） 已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示） ，然后把两个目标三角形（题中

14、要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况）列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。（ 2） 不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个

15、角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证” 。或称为“一找角，二求标，三验证”。2. 、 “某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所

16、在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。1 3、“奥图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标） ，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3 条） ，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。进一步有：1）若是否存

17、在这样的动点构成矩形呢？ 先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。（ 2）若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。（ 3）若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。1 4、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题： （此为“单动问题”即定解析式和动图形相结合的问题，后面的20 实为本类型的特殊情

18、形。）先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。2 5、“莫图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：（ 1 ） 若夹直角的两边与y 轴都不平行：先设出动点坐标（一母示） ，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y 轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1 ） ，得到

19、一个方程，解之即可。（ 2）若夹直角的两边中有一边与y 轴平行 ，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于y 轴的那条直线上的点）直接向平行于y 的直线作垂线或过直角点作平行于 y 轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。16、“奥图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。（ 1 ）若定点为直角顶点：先用 k 点法求出另一直角边所在直线的解析式（如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？若等，该交点合题

20、，反之不合题，舍去。（ 2）若动点为直角顶点：先利用 k 点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1 ？若为 -1 ，则就说明所求交点合题；反之，舍去。1 7、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“ A” 或 “ X” 是关键和突破口。18 . “ 在相关函数的解析式已知或易求出的情况下，题中又含有某动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标

21、或线段长”的问题：（此为“单动问题”即定解析式和动图形相结合的问题，本类型实际上是前面14 的特殊情形。）先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上，或者有一边平行于x轴或y轴）面积的和或差，设出相关点的坐标（一母示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。一句话，该问题简称“单动问题”，解题方法是“设点（动点）标，图形转化（分割） ，列出面积方程”。19 、 “一个已知点关于一条已知的斜直线的对称点坐标的求法”问题：由于已知点和对称点所在的直线与已知直线垂直，运用点斜式（或称K 点法） ，求出已知点和对称点所在的直线的解析式，再求两直线的交点坐标，最后用中点

22、坐标公式即可求出对称点的坐标。简称“一直解二交点三对标”。20 、 “在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母） 的情况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程（或方程 组）。解此方程，求生相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示由该点的纵坐标（注意，此时，一定不能把该 点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把

23、所有字母消掉），再注意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常 由已知或利用（2）问的结论，从几何知识的角度进行判断，表 示由另一个点的坐标，最后把刚表示由来的这个点的坐标再代入 相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。如果动图形 是基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设生动点坐标 （一 母式），然后列由面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的 情况完全相同。一句话，该问题简称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，得结论”。常用公式或结论：（1）横线段的长 =横标之差的绝对值 =x大-x小=4-x左 纵线段的长=纵标之差的绝对值=y大-y小=y上-

24、y下（2）点轴距离：点P（X。，y。）到X轴的距离为|y0|,到Y轴的距离为|xo|o （3）两点间的距离公式：若 A（xi,yi） ,B（ x2, y2 ）,贝U AB=J（x-x2）2+ （y-y2）2（4）点到直线的距离：点P （ xo,y。）到直线Ax+By+C=0 （其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算)的距离为:|kXo - y° 十 b1 k2(5)中点坐标公式：若A( Xi, yi) , B ( X2, y2 ),则线段AB的中点坐标为Xi X2yiy2(2,2)(6)直线的斜率公式：若A ( Xi,yi), B ( X2，y2)k1 #X2 ),则直线AB的

25、斜率为:8手X )，(注：当Xi=X2时，直线AB与y轴平行，斜率不存在)(7)两直线平行的结论：已知直线li: y = Kx 匕12 ： y = k2X b2；若 li U = K = k2；若1=匕,且b1fm lfl I2(8)两直线垂直的结论：已知直线 li: y = kiX 012: y = k2X b2;若li 一f2 = 7;若 ki.k2 = i= li - M(9)直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长公式:直线y = kx + n与抛物线y = ax2 + bx+c (或双曲线y = m)截得 x的弦长公式是：AB=，1 + k2 x1 - x2 =m'1 + k2 J

26、(xi + X2)2 - 4x1X2证明如下：设直线y=kx + n与抛物线y = ax2 + bx + c (或双曲线y = m) x交于A (xi, y 1) ,B (x2, y 2)两点，由两点间的距离公式可得： AB=J(xi -x2)2 +(yi -y2)2 ,因为 A (xi, y 1) ,B (x2, y 2)两点是直 线丫 =卜乂 +门与抛物线y=ax2 + bx+c (或双曲线y = m)的交点，x所以A (xi, y 1),B (x2, y 2)两点也在直线 y = kx + n上，所以 yi=kxi+n, y 2=kx2+n,所以 yi-y 2= (kxi+n) ( kx

27、2+n) =kxi-kx 2=k (xi-x 2),所以 AB=&xi x2)2 +k2(xi x2)2 =y(1 + k2)(xi x2)2 =Ji+ k2 xi - x2=.1 k2 . (x1 x2)2 -4x1x2而xi,x 2显然是直线y = kx + n与抛物线y = ax2 + bx + c (或双曲线y=m)组成方程组后，消去 y (用代入法)所得到的那个一元二 x次方程的两根，从而运用韦达定理xi+x2, x 1x2可轻松求生，进而直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长就很容易计算或表示由来。(10)由特殊数据得到或猜想的结论：已知点的坐标或线段的长度中若含有五、J3等敏

28、感数字信息、, 那很可能有特殊角由现在抛物线的解析式求生后，要高度关注交点三角形和顶点三角 形的形状，若有特殊角由现，那很多问题就好解决。还要高度关注已知或求生的直线解析式中的斜率K的值，若3' 3K= 土二，则直线与 X轴的夹角为30 0 ;若K= ± 1 ;则直线与 X 3轴的夹角为45 0 ；若K= ± J3 ,则直线与X轴的夹角为60 0【这些结论在高中数学的圆锥曲线中还有进一步的运用例如：【201322福建高考】椭圆r： xr+ = 1（aAbA0）的左、右焦点分别为 口 a bF2,焦距为2co若直线y= J3（x+ C）与椭圆r的一个焦点M满足/ MF

29、F2=2/MFFi,则该椭圆的离心率 e=.,这道题如果不能发现直线y=J3 （ X* C）与X轴的夹角是600 （,K=J3）,那么就不能 做由来卜 这就为计算线段的长度或点的坐标或三角形相似等问 题创造条件。二次函数基本公式训练： 破解函数难题的基石（一）横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度(1)若 A (2,0), B (10,0 ),则 AB=（2）若A（-2,0 ） ，B（-4,0 ） ，则AB=。（3）若M（-3,0 ） ，N（10,0 ） ，则MN=。（ 4）若O（ 0,0 ） ， A（ 6,0 ） ，则OA=。（ 5）若O（ 0,0 ） ， A（ -4,0 ） ，则

30、OA=。（6）若 O （0,0）, A（t,0）,且A在。的右端，则OA=-o（7）若 O （0,0）, A（t,0）,且A在。的右端，则OA=-o（8）若 A（-2t,6）,B（3t,6）, 且 A在 B 的右端，则 AB=。（9）若 A （4t,m） ,B（1-2t,m）, 且 B 在 A 的左端，则 AB=-。（10）若 P （2m+3,a） ,M（1-m,a）,且 P在 B 的右端，贝U PM= 。注意：横线段上任意两点的y 标是相等的，反之y 标相等的任意两个点都在横线段上。（二） 纵线段的长度计算： 【特点：两端点的x 标相等，长度=y大-y小】。（ 1） （若 A（0,5） ，

31、B（ 0,7） ，则AB=。（ 2）若A（ 0， -4 ） ， B（ 0， -8）, 则 AB=。（ 3）若A（ 0,2 ） ， B（ 0， -6） ，则 AB=。（ 4）若A（ 0,0 ） ， B（ 0， -9）, 则 AB=。（ 5）若 A（0,0） ， B（0,-6） ，则AB=。（6）若 0（0,0） , A（0,t）, 且 A在。的上端，则 OA=-o（7）若 0 （0,0）, A （0, t）,且 A在。的下端，则 0A=-(8)若 A (6, -4t),B(6,3t), 且 A在 B 的上端，则 AB=(9)若 M (m,1-2t),N(m,3-4t),O(10)若 P (t,3

32、n+2),M(t,1-2n),O注意：纵线段上任意两点的 任意两个点都在纵线段上。(三)点轴距离：且M在N的下端，贝U MN-M P在M的上端，则PM=x标是相等的，反之x标相等的一个点(x标,y标)到x轴的的距离等于该点的 y标的绝对值(即 y标)，到y轴的距离等于该点的x标的绝对值(即x标)。(1)点(-4,-3)到x轴的距离为，到y轴的距离为 O(2)若点A(1-2t, t2十2t-3)在第一象限，则点A到x轴的距离为 ,至U y轴的距离为。(3)若点M (t, t2+4t+3)在第二象限，则点M到x轴的距离为一,到y轴的距离为。(4)若点A (-t,2t-1)在第三象限，则点 A到x轴

33、的距离为,到y轴的距离为。(5)若点N (t, .t2+2t-3)点在第四象限，则点 N到x轴的距离 为，到y轴的距离为。(6)若点P (t , t2+2t.3)在X轴上方，则点P到X轴的距离为(7)若点Q ( t ,t2-2t-6)在X轴下方,则点Q到X轴的距离为。(8)若点D (t,t2+4t5)在y轴左侧，则点Q到y轴的距离为。(9)若点E (n, 2 n+ 6)在y轴的右侧，则点E到y轴的 距离为。(10)若动点P (t, t2-2t+3)在x轴上方，且在y轴的左侧,则点P到x轴的距离为,到y轴的距离为(11)若动点p (t,t2-2t+3)在x轴上方，且在y轴的右侧,则点P到X轴的距

34、离为,到y轴的距离为(12)若动点P ( t ,t2-2t+3)在X轴下方，且在y轴的左侧,则点P到x轴的距离为,到y轴的距离为O(13)若动点P ( t ,t2 -2t+3)在x轴下方，且在y轴的右侧,则点P到x轴的距离为,到y轴的距离为O注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在 动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域(例2如：动点P在抛物线y = X - 2x- 3上位于X轴下方，y轴右侧的图象上运动)，以便准确写生动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应力(或y标)的相反数，还是其本身。(四)中点坐标的计算：若【A( X1,yi),B( X2,y2)

35、,则线段AB的中点坐标为(红产,人产)】(1)若人(4,3) ,B(6,7),则AB 中点为O(2)若M (0, -6), N (6, -4),则MN的中点坐标为O(3)若P (L-3), Q (1)，则PQ的中点坐标为。23 2(4)若A(1,2),B(-3,4), 且B为AM的中点,则 M点的坐标为O(5)若A(-1,3),B(0,2), 且A为BP中点，则P点坐标为 O(6)点P ( 5 , 0)关于直线x = 2的对称点的坐标为 O(7)点P (6 , 0)关于直线x = 1的对称点的坐标为 O(8)点P (6,2)关于直线x3的对称点的坐标为(9)点Q ( 4 ,3)关于直线x =3

36、的对称点的坐标为O(10)点M (4, 2)关于直线x = 2的对称点的坐标为O(11)点P (4 , 3 )关于直线x =- 1的对称点的坐标为一O(12)点M ( 4 ,2)关于直线y = 1的对称点的坐标为O(13)点T (4, 3)关于直线y = 1的对称点的坐标为O(14)点Q (0, 3)关于x轴的对称点的坐标为 O(15)点N (4 , 0)关于y轴的对称点的坐标为 。(五)由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k值相等；两直线垂直，则两个 k值之积为-1.】(1)某直线与直线 y=2x+3平行，且过点(1, -1 ),求此直线的解析式。(2)某直线与直线 y=-

37、；x+1平行，且过点(2, 3),求此直 线的解析式。(3)某直线与直线 y=4x-5平行，且过点(-3,0),求此直 3线解析式。(4)某直线与y轴交于点P (0,3),且与直线丫二，一1平行, 2求此直线的解析式。(5)某直线与x轴交于点P(-2,0),且与直线y=_1x + 4平行, 2求此直线的解析式。(6)某直线与直线 y=2x-1垂直，且过点(2,1 ),求此直线的解析式。(7)某直线与直线 y=-3x+2垂直，且过点(3,2),求此直线的解析式。(8)某直线与直线 y=2x+i垂直，且过点(2,-1),求此直 3线的解析式。(9)某直线与直线 y=-1x-4垂直，且过点(1,-2

38、),求此直线的解析式。(10)某直线与x轴交于点P (-4,0),且与直线y=g+5垂直，求此直线的解析式。(六)两点间的距离公式：若A(X,yD, B (&»2),则 AB=J(X- X2)2+ 停-丫2)1(1)若 A (-2,0 ), B (0, 3),贝U AB=-。(2)若 P (-2,3 ), Q (1, -1 ),则 PQ=。(3)若 M (0,2 ), N (-2,5 ),则 MN二。11 一.(4)若 P (2,0), Q (0,一3),贝U PQ二。11(5)若 A (2(10)若A ( 一3,1), B ( 1,一2),则AB=。),B(-1, -2),

39、贝U AB=o3 11.(6)若 P(73),B( 一了一1),则 P B=。3 11d(7)若 P(4,2),B( 一丁一1),则P B =。1 21 .(8)若 P( -4,3) , MC2,1),则 PM=。2 112(9)右A ( 5,3)，B ( 5, 3)，则 AB=。(12)若 P(0, -4) , Q(0, -2),则 PQ=-(13)若 P(3,0) , Q(4,0),则 PQ=-(14)若 P(1 , -4) , Q(2,0),则 PQ二。(七)直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值；可由两个点的坐标直接求得：若A( X1, y1) , B( &#

40、39;2, 丫2)xy"Y2九人x1 X2 , (y标之差除以对应的X标之差)】例题：若 A(2, -3) , B(-1,4),则 kAB 解：A(2, -3) , B(-1,4),(一 3) - 4 二 乙AB = 2 - ( - 1 )3若A(0,2) , B(3,0),则 kAB =若A(1,-2), B(-3, 1),则 kAB=27 o 若 M(-3,1) , N(-2 ,-4),则 kMN = 若R1,-4), Q-1, 2),则kpQ = "T fC若q-1, 1), Q-2, -3)，则kcQ-2_ 11若R 口 -1),F(-士-小贝媪33221.1一右M

41、-二,工，Q-1，-;，则kMQ = 532231PQ344若R-2, 3), Q-1,),则k（八）点到直线的距离公式：点P x Xo，y 0）到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C|Ax°+ Byo+Cd 二；最好化为整系数）的距离公式为：J A 2+B 2田、方, A +B ；运用该公式时，要先把一次函数y=kx+b化为一般式 Ax+By+C=0的形式（即：先写x项，再写y项，最后写常数项，等号右边必须是 0）。y = 1 x -例题：求点P（2,-3）到直线 23的距离yx2解：先把直线23化为一般式3x-6y-4=0d =所以3 2 6 (- 3)-4v,32(

42、-6)2注：Ax0 By0C的值就是把点(Xo , yo )对应代入代数式 Ax+By+C中。或者把y .kxb通过移项化为kx - y b = 0(同样要先写x项，再写y项,最后写常数项，等号右边必须是0) Od从而kx 0 - y ° b1 k 2另解：因为12y = -x 2 3, P(2,-3)d =所以12;2-(-3)()231 (2)2=4 53、 一 一(汪：由于系数中有分数，计算比较繁杂)。(1)求点 P (-2,1 )到直线y=x+2的距离(2)求点 Q (1,-4 )到直线y=2x-1的距离(3)求点A ( 1,2 )到直线 y= 1x-1的距离2(4)(5)(

43、6)(8)(9)(10)(11)(12 )(13)求点M ( 0,-3 )到直线 y= -x-1的距离3求点P (-2,0 )到直线y=-x- 1的距离24求点K (-3,-2 )到直线y=1-3x的距离。求点P ( -3,-1 )到直线y= x- 1的距离23.1.11 , 一、求点P ( ,-1 )到直线y=x+的距离232。求点Q (- 1,- 1)到直线y=3x- 1的距离2 342。求点P ( - 2,- 3)到宜线 y= 3x- 1的距离3 424求点N ( - 3,- 1)到直线y=- 1x+2的距离 2323。求点D ( - 2,3)到直线y= 1x- 1的距离 5 423,-

44、32 一. 3 1 , 一、求点E (- 3,-)到直线y= 3- 1x的距离532 4(九)一个点关于一条斜直线的对称点：(1)求点A (-2,3 )关于直线y=x-2的对称点坐标。(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)求点B (3,-1,)关于直线y=2x-5的对称点坐标.求点Q (3, 2,)关于直线y=-3x+5的对称点坐标。.必 ./t y =-x-3 ,.求点N (1,-2,)关于直线2的对称点坐标。1 2求点D(2,-9关于直线y=-2x+1的对称点坐标。E 231求点(一3,一2)关于直线，一4、一2的对称点坐标。(十)直线与抛物线(或双曲线)截得的

45、弦长：2y = x -2x - 3求直线y=x+2与抛物线 ,截得的长。、一,y = 2x2-3x-1 求直线y=-x+3与抛物线截得的弦长。2 ,. y = 3x 2x 4求直线y=2x-1与抛物线y截得的弦长。2 y 二求直线y=x+1与双曲线x截得的弦长。_ 3求直线y=-2x-3与双曲线 尸一；截得的弦长。1f_ _ y =求直线y=-x+3与双曲线x截得的弦长。1-y = 一一 e/口山、I求直线y=3x-5与双曲线x截得的弦长在一个题中设计若干常见问题：如图示，已知抛物线y= x2-2x-3,与y轴交于点B,与x轴交于C,D (C在D点的左侧)，点A为顶点。(1)判定三角形ABD的

46、形状？并说明理由.【 通法 ：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】(2)三角形ABD与三角形BO渥否相似？说明理由。【 通法 ：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法】(3)在x轴上是否存在点 P,使PB+PA1短？若存在求生点 P的坐标，并求出最小值。若不存在，请说明理由。【 通法： 在两定点中任选一个点(为了简单起见，常常取轴上的点) ，求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连】(4)在y轴上是否存在点P,使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，并求出周长的最小值; 若不存在，请说明理由。【通法：注意到

47、AD是定线段，其长度是个定值，因此只需PA+PD最小】(5)在对称轴x = 1上是否存在点P ,使三角形P B C是等腰三角形？若存在，求由点P的坐标；若不存在，请说明理由。【通法：对动点P的坐标一母示(1 , t )后，分三种情况， 若P为顶点，则P B = P C;若 B为顶点，则 BP=BC;若C为 顶点，则C P = C B。分别用两点间的距离公式求生或表示各线 段的长度】。(6)若平行于x轴的动直线1与直线B D交于点F,与抛物线交于点P,若三角形ODF为等腰三角形，求由点 P的坐标.【通法：分类讨论，用两点间的距离公式】。(7)在直线BD下方的抛物线上是否存在点P,使Slpbd的面

48、积最大？若存在， 求由点P的坐标，若不存在，请说明理由。c 1 .一【通法：SPBD 2 ”上(动)+下(动)卜仪右(定)-X左(定)(8)在直线BD下方的抛物线上是否存在点 P,使四边形DOBP 的面积最大？若存在，求由点 P的坐标，并求生四边形面积的最大 值；若不存在，请说明理由。【通法：S四边形DOBP =S LDOB +SDBP或 S 四边形 DOBP =S BOP +S L DPO 】(9)在直线BD下方的抛物线上，是否存在点 P,使四边形DCBP 的面积最大？若存在，求由点P的坐标，并求生四边形面积的最 大值；若不存在，请说明理由.【通法：S四边形DCBP =S DCB +S_ D

49、BP (10)在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P,使点P到直 线BD的距离最大？若存在，求由点P的坐标，并求生最大距离；若不存在，请说明理由。【通法：因为BD是定线段，点P到直线BD的距离最大， 意味着三角形BDP的面积最大】(11)在抛物线上，是否存在点P,使点P到直线BD的距离等于2 ,若存在，求由点 P的坐标；若不存在，请说明理由。【通法：在动点坐标一母示后，用点到直线的距离公式，列 由方程，求解即可】。(12)在抛物线上是否存在点 P,使S PBC 二2SABD ,若存 在，求由点P的坐标；若不存在，请说明理由。【通法；在动点P的坐标一母示后，把到图形三角形 ABD的 面积算由，借

50、助于动点坐标把动三角形 PBC的面积表示由来，再 代入已知中的面积等式lo(13)若点P在抛物线上，且，PDB=90°,求点P的坐标。【通法：禾I用KBD * KPB = " 1及点b的坐标，求生直线PB 的解析式，再把此解析式与抛物线方程组成方程组，即可求由P点的坐标】。(14)若Q是线段CD上的一个动点(不与 C,D重合)，Q日BD 交BC于点E,当三角形QBE的面积最大时,求动点 Q的坐标。【通法：三角形QBE是三边均动的动三角形，把该三角形分 割成两个三角形基本模型的差，即SQBE = SQCB - SCE,题中平行线的作用是有两个三 角形相似，从而有对应边的比等于

51、对应高的比，最后该动三角形 的面积方可表示为，以动点Q(t,0)的坐标有关的开口向下的二次 函数。】(15)若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，使 B,D,E,F构成平行四边形时，求由 E点的坐标。【通法：以其中一个已知点(如：点B)作为起点，列由所有对角线的情况(如：BD, BE, BF),分别设由两个动点(点 E, 点F),运用中点坐标公式，求由每一种情况下，两条对角线的中点坐标，注意到两个中点重合，其坐标对应相等，列由方程组， 求解即可】。中考二次函数压轴题分析(一)【2012宜宾中考】如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A 在直线l:y=x-5 上。(1)求抛物线顶点 A的

52、坐标。(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C, D (C 点在D点的左侧)，试判断三角形ABD的形状；(3)在直线1上是否存在一点P ,使以点P, A, B,顶点的四边形是平行四边形，若存在，求由点P的坐标；若不存 在，请说明理由。(二)【2012凉山州中考】 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A,B,两点，抛物线y = - x2 + bx+ C经过A,B,两点，并与x轴交于另一点C (点C在点A的右侧)，点P是抛物线上一动点。(1)求抛物线的解析式及点 C的坐标.(2)若点P在第二象限内，过点 P作PDx轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最

53、长？此时P E等于多少？(3)如果平行于x轴的动直线1与抛物线交于点Q ,与直线AB交于点N,点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线1 ,使得三角形MON是等腰三角形？若存在，请求由点Q的坐标；若不存在，请说明理.(三)【2012广安市中考】在平面直角坐标系xOy中，AEJ± x轴于点B, AB=3 tan /AOB=3/4将zOA谈着原点。逆时针旋转90°,得至iJ/XOAB;再将OAB绕着 线段OB的中点旋转180°,得到OABi,抛物线y=ax2+bx+c (a*0)经过点B、B、 A2o(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限内，抛物线上的点 P在什么位置时， PBB的面积最大？求出这 时点P的坐标； "(3)在第三象限内，抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB的距离为也?若2存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。（四）【2012乐山中考】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（mn, mrj）,点B的坐标为（n, - n）,抛物线经过 A、 。B三点，连接 OA OB AB,线段AB交y轴于点C.已