高中数学学习提要Word版

1、“怎样解题”表美G.波利亚 弄清问题第一 你必须弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?画张图,引入适当的符号.把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来?. 拟定计划你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题.第二.找出已知数和未知数之间的了解.如果找不出直接了解,你可能不得不考虑辅助问题.你应该最终得出一个求解的计划.你能不能

2、利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了利用它,你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?回到定义去.如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分,这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其它数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已

3、知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划第三实行你的计划.实现你的求解计划,检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确?回顾第四 验算所得到的解你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其它的问题?高中数学学习提要数学是理论，经验和技能。正如在游泳中才能学会游泳一样，数学要在解题中才能学会解题，掌握数学。但常常听得同学说：“我也做了不少题，还是感觉水平提高不大，遇上新题还是觉得无从下手。”我们说，做题只重视量大运动量，重复训练，是远远不够的，在做题中更要有质的追求。美国

4、数学家波利亚在他的名著怎样解题一书中把数学解题分成四个步骤：弄清题意，制订计划，执行计划，回顾。这就好比一年四季中的春夏秋冬，春种，夏管，秋收，冬藏。同学们的问题主要出在第四步，好多同学做数学题的时候结果一做出来就万事大吉，不回顾，少反思。长此以往，只能是做题不少，收获不大。在第四步回顾中，波利亚对我们的建议是：“你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其它的问题?”这些建议意味深长，不仅是指我们现在常说的一题多解和多题一解，还提醒我们要不断反思自己的解题活动，改变看问题的角度，追求更本质，更深刻的解法。最后，能不能把这一结果或方法

5、用于其它的问题，不仅是指方法和结论能不能推广，更体现了数学家的追求，追求“更简单，更美，更一般，更有价值”（张孝达语）。英国 数学家梅森认为，特殊化与一般化正是数学思维的核心，同时也是怎样解题的关键所在。一般化是数学创造的基本形式，数学认识的根本目的就是要揭示更为普遍，更为深刻的事实或规律。有鉴于此，我们对高中数学常见习题进行了一般化处理和整理，以期对同学们的数学学习有所帮助和启迪。这些结论或见于课本例习题，或见于报刊资料，许多结论深刻，简洁，优美。我们想说的是，如果说这些结论象金子一样闪闪发光，那么发现这些结论的方法，证明这些结论的过程才是点金术。还需要说明的是，我们所做的工作只能是抛砖引玉

6、，同学们在学习数学过程中一定会有许多新的发现，一定会总结出更精彩的结论，去不断丰富自己的数学宝藏，不断提高自己的数学能力。1、集合与简易逻辑：一双基点击：1集合的有关概念（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。（2）集合与元素的关系用符号，表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如：；（5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。2集合间的关系及其运算（1）； （2）对于

7、任意集合，则：； ； ； ； ； ； ；（3）若为偶数，则 ；若为奇数，则 ；若被3除余0，则 ；若被3除余1，则 ；若被3除余2，则 ；3集合中元素的个数的计算： （1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是 。（2）中元素的个数的计算公式为： ；（3）韦恩图的运用：4 满足条件，满足条件，若 ；则是的充分非必要条件；若 ；则是的必要非充分条件；若 ；则是的充要条件；若 ；则是的既非充分又非必要条件；5原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；注意：“若，则”在解题中的运用，6当证明“若，则”感到困难时，可改证它的等价命题“若则”成

8、立， 反证法步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定二题海导航设A=则A的子集的个数为: 2、函数一双基点击：1映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。

9、函数的图象与直线交点的个数为 个。2函数的三要素： ， ， 。相同函数的判断方法： ； (两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：定义法：换元法：待定系数法：赋值法： （2）函数定义域的求法：，则 ； 则 ；，则 ； 如：，则 ；含参问题的定义域要分类讨论；对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。（3）函数值域的求法：配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型

10、如：；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角代换法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。3函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：注意单调性是相对与某个具体的区间而言。判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法.复合函数法和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。奇偶性：注意定义域是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f

11、(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(xa),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。4图像变换：函数图像变换：重点掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移了解起来思考）平移变换y=f(x)y=f(x+a),

12、y=f(x)+b注意：（）有系数，要先提取系数。如：把函数()经过得到函数(1)的图象。（）会结合向量的平移，理解按照向量（，）平移的意义。对称变换y=f(x)y=f(x),关于轴对称y=f(x)y=f(x) ,关于轴对称y=f(x)y=|f(x)|把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称y=f(x)y=f(|x|),把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具体参照三角函数的图象变换。一个重要结论：若f(ax)f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；xOyy=f(x)(2,0)

13、(0,-1)）0)如：的图象如图，作出下列函数图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。5反函数：（1）定义：（2）函数存在反函数的条件： （3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；（4）求反函数的步骤：将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域（即的值域）。（5）互为反函数的图象间的关系： ；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。如：求下列函数的反函数：；6常用的初等函数：（1）一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；（2）二次函数：一

14、般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；一元二次函数的单调性： 当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，、若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型

15、题型：(1)顶点固定，区间也固定。如：(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数（3）反比例函数：图像为等轴双曲线（4）指数函数：指数运算法则： ； ； 。指数函数：y= (a>o,a1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够一笔画出函数图象的简图。（5）对数函数：对数运算法则： ； ； ；对数函数：y= (a>o,a1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>

16、1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。注意：（1）与的图象关系是 ；（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。（3）已知函数的定义域为，求的取值范围。已知函数的值域为，求的取值范围。七、的图象： 定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。7抽象函数：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： 正比例函数；二题海导航1若p,则p是的q充分条件,q是p的必要条件. 2. 3.4一元二次方程根的分布设f(x)=a(1) f(m)f(n)f(x)=

17、0在(m,n)内有且只有一个实根.(2) f(x)=0(a>0)有一 根大于k,一根小于kf(k)<0.(3) f (x)=0(a>0)两根都在区间(m,n)内f(m)>0,f(n)>0,.解题思路:对称轴,判别式,区间端点函数值.5.a<b时,6.对函数y=f(x)定义域内任意x,存在常数a,b (a为非零常数)(1)如果f(a+x)=f(a-x) (或f(x)=f(2a-x) )则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)如果f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称.(3)如果f(x+a)=f(x-a) (或f(x+2a)=f(

18、x) ),那么y=f(x)的周期是2a.(4)如果f(x+a)=f(x-b),那么y=f(x)的周期是a+b.7函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称。8.研究下列函数的性质(定义域,值域,奇偶性,单调性,反函数)(1)y=ax+;(2)y=; (3)y=;(4)y=,(a>0,a;(5)y=;(6)y=;(a>0,a(7)y=(8)y=9.图象变换(1)平移变换 水平平移_y=f(x+a)的图象可将y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移个单位即可; 一般地, y=f(x+a)的图象可将y=f(x)的图象向左(>0)或向右(&l

19、t;0)平移个单位即可;竖直平移_y=f(x)+b的图象可将y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移个单位即可.(2) 对称变换 y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称; y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称; y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称;(3) 伸缩变换 y=f(x)的图象可将y=f(x)的图象横坐标伸长或缩短到原来的倍(纵坐标不变);y=af(x)的图象可将y=f(x)的图象纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的倍(横坐标不变).3、导 数一双基点击：1求导法则：(c)/=0 这里

20、c是常数。即常数的导数值为。 (xn)/=nxn1 特别地：(x)/=1 (x1)/= ()/=x-2 (f(x)±g(x)/= f/(x)±g/(x) (kf(x)/= kf/(x) 2导数的几何物理意义：kf/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0)的切线的斜率。Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。3导数的应用：求切线的斜率。导数与函数的单调性的关系与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件。（二）与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区

21、间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条

22、件都是函数在某个区间内可导。求极值、求最值。注意：极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)0判断极值，还需结合函数的单调性说明。4.导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线了解（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于常见类型。关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值

23、要比初等方法快捷简便。导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。二题海导航1.在处的导数.2.瞬时速度.3.瞬时加速度.4.在的导数.5.函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.4、不等式一双基点击：1均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。若，则（当且仅当时取等号）基本变形： ； ；若，则，基本应用：放缩，变形；求函数最值：注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。当（常数），当且仅当 时， ；当（常数），当且仅当 时， ；常用的方法为：拆、凑、平方；如：函数的最小值 。若正数满足，则的最小值 。2绝对值不

24、等式： 注意：上述 “”成立的条件； 3常用的基本不等式：（1）设，则（当且仅当 时取等号）（2）（当且仅当 时取等号）；（当且仅当 时取等号）（3）； ；4证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较：（2）综合法：由因导果。（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证（4）反证法：正难则反。（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；利用常用结论：、；、 ； 、 ； （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知，可设

25、；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或几何图形来证明不等式；5不等式的解法： （1）一元一次不等式：、：若，则 ；若，则 ；、：若，则 ；若，则 ；（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：（5）绝对值不等式： ； ；注意：(1).几何意义： ；： ；(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；若 则 ；若则 ；若则 ；(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。(4).含有多个绝对值符号的不等式可

26、用“零点分区讨论法”的方法来解。（6）分式不等式的解法：同解变形为整式不等式； ； ； ； ；（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。（8）解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时,一般需要讨论.二题海导航1.平方平均数算术平均数 几何平均数调和平均数.1. 柯西不等式(当且仅当时取号.3.4. 特别地: 5.加糖不等式a>b>0,m>06.n>17.恒成立5、数列一双基点击：1、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数

27、列。2、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列anbn、仍为等比数列。3、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。4、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。5、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d6、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)7、 在等差数列中：（1）若项数为，则 （2）若项数为则， ， 8. 在等比数列中：（1） 若项数为，则 （2）若数为则，9、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 （1）错

28、位相减法求和：如an=(2n-1)2n(2)裂项法求和：如an=1/n(n+1)(3)、倒序相加法求和：如an=10、求数列an的最大、最小项的方法： an+1-an 如an= -2n2+29n-3 (an>0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=27、在等差数列中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：  (1)当 >0,d<0时，满足   的项数m使得取最大值.(2)当 <0,d>0时，满足   的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转

29、化思想的应用。二题海导航1. . 2.等差数列(1) 等差. (2). (3)m+n=p+q.(4),仍成等差数列.(5)数列(c>0,c是等比数列.3等比数列(1)是等比.(2).(3)(4),仍成等比数列.(5)数列(c>0,c是等差数列.4.设为等差数列,为等比数列,公比为q, ，求方法为倍差法:. 5.数列:的通项公式为；其前n项和公式为.6. .7. 6三角函数一双基点击1、 以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，则sin=，cos=，tan=，cot=，sec=，csc=。2、同角三角函数的关系中，

30、平方关系是：，；倒数关系是：，；相除关系是：，。3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：，=，。4、 函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。5、 三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。6、 7、二倍角公式是：sin2=cos2=tan2=。8、三倍角公式是：sin3= cos3=9、半角公式是：sin= cos=tan=。10、升幂公式是： 。11、降幂公式是： 。12、万能公式：sin= cos= tan=13、sin()si

31、n()=，cos()cos()=。14、=； =； =。15、=。16、sin180=。17、特殊角的三角函数值： 0sin010cos100tg01不存在0不存在ctg不存在10不存在018、弧长公式,扇形面积公式=.19.(20.若0<21.化一公式 asinx+bcosx=,tan特别地: Sinx+cosx=22.三角公式识记规律: 和差倍半,积化和差,和差化积,万能化一.23.tan .24.记r为的内切圆半径,R为的外接圆半径,p=,则 25., (1)A+B+C=; (2)a+b>c,c+a>b,b+c>a; (3)正弦定理 (4) 余弦定理 (5) 射影

32、定理acosB+bcosA=cccosA+acosC=bbcosC+ccosB=a(6) 在斜中,tanA+tanB+tanC=tan AtanBtanC.（7）A26.三角变换规律: 消元降次,和差化积,积化和差,切割化弦,化角为边,化边为角,因果了解,差异分析.27、在ABC 中： 28，积化和差公式：，。29、和差化积公式：，。二、 反三角函数1、的定义域是-1，1，值域是，奇函数，增函数； 的定义域是-1，1，值域是，非奇非偶，减函数； 的定义域是R，值域是，奇函数，增函数； 的定义域是R，值域是，非奇非偶，减函数。2、当； 对任意的，有： 当。3、最简三角方程的解集：7、平面向量一双

33、基点击：1加法与减法的代数运算：(1)(2)若a=（）,b=（）则ab=（）向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=,=且有+向量加法有如下规律：=(交换律); +(+)=(+ )+ （结合律）; +0= ()=0.2实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。(1)=·(2) 当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当=0时，=0 (3)若=（），则·=（）3两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得=(2) 若=（）, =（）则 4平面向量基本定理

34、：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得=e1+ e25P分有向线段所成的比：设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时，0；当点P在线段或的延长线上时，0；分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则 （1）， 中点坐标公式：6 向量的数量积：（1）向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角。（2）两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则· =·cos其中cos称为向量在方向上

35、的投影（3）向量的数量积的性质：若=（）, =（）则·=·=cos (为单位向量); · =0（，为非零向量）;=;cos=(4) 向量的数量积的运算律： · =·()·=(·)=·();()· =·+·二题海导航1. +. 特别地.2.若向量是模相等的非零向量,且0,则是正三角形.3.b/a4.设a与b均是非零向量，a=则a5.点P(x,y)按向量a=(h,k)平移到,则其中a=(h,k)叫做平移向量. 实质上a=.6将曲线C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后,得到的曲线的

36、方程是f(x-h,y-k)0。7几何意义:平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和. 8点O是ABC所在平面上的一点。（1）若，则点O是ABC的外心。(2)若，则点O是ABC的外心。(3)若=，则点O是ABC的重心。(4)若，则点O是ABC的垂心。（5）若则点O是ABC的垂心。（6）若其中，则点O是ABC的内心。9 设O是ABC的重心，点P是ABC所在平面上的一点。则10 设点O是ABC所在平面上的一点，且，则O是ABC的内心。11，已知ABC的外心为o，垂心为H，求证：。8、立体几何43 / 43一双基点击：1计算问题：（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角 范围：0&#

37、176;90° 方法：平移法；补形法.直线与平面所成的角 范围：0°90° 方法：关键是作垂线，找射影.二面角 方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法. 射影面积公式S=Scos（2）空间距离(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切了解，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离

38、都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.2平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变3在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想： 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面

39、图形去解决.将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.补体法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.平行转化垂直转化二题海导航1.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.2.点P是所在平面外一点,PO面ABC于O,(1) 若PA=PB=PC,则O是的外心，(2) 若PA则O是的垂心.3.余弦公式PO,PA 分别是平面的斜线,垂线,O,A分别是斜足,垂足,OB平面则推广：a是平面的斜线，是a在平面的射影，b,a与所成角为，与b所成角为

40、，a与b所成角为，则4.正弦公式二面角大小为,A与平面所成角为,则sin=sinsin.5.二面角内两点距离公式 二面角大小为于A,DB于B,AC=m,BD=n,AB=d,则(1) CD=.(2) AB与CD所成角为,则tan;(3) AB与CD的距离是;(4)6.二面角大小为于A,PB于B,PA=m,PB=n,则的外接圆半径为R=.7.四棱柱有两个侧面互相平行,面积分别为,距离为d,则V=8.在四面体ABCD中,AB=m,CD=n,AB,CD之间的距离是d,所成角则V=9.三棱锥P-ABC中,PA=a,PB=b,PC=c,侧棱PA,PB,PC上分别有三点,且,则10.如果11正四面体的棱长为

41、a，外接球与内切球半径分别 为R,r,高为h,则R=12. 1正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积：S全=a2；(2)体积：V=a3；(3)对棱中点连线段的长：d=a；(4)内切球半径：r=a；(5)外接球半径 R=a；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；

42、体积 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHC·SABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半径 R=；内切球半径 r=研究正四面体，正八面体与正方体的关系以及它们的内切球、棱切球、外接球问题。13.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，则四点P、A、B、C是共面14. 空间两个向量的夹角公式 cosa，b=（a，b）.15.直线与平面所成角(为平面的法向量). 16.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.9平面解析几何一双基点击： 直线的倾斜角的范围是0，) 直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角的增大而增大。当是

43、钝角时，k与同增减。 截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 两直线的到角公式：L1到L2的角为，tan= 夹角为，tan=|注意夹角和到角的区别 点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。 有关对称的一些结论 点（，）关于轴、轴、原点、直线y=x的对称点分别是（，），（，），（，），（，） 如何求点（，）关于直线Ax+By+C=0的对称点？ 直线Ax+By+C=0关于轴、轴、原点、直线y= x，点（，）对称的直线方程分别是什么？ 如何处理与光的反射问题？曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：（）点(a.b)（）轴（）轴（）原点（）直线y=x（）直线y=x（）直线x

44、（8）直线y=b_点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。点P(x0,y0),圆的方程：(xa)2+(yb)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2>r2点P(x0,y0)在圆外；如果 (x0a)2+(y0b)2<r2点P(x0,y0)在圆内；如果 (x0a)2+(y0b)2=r2点P(x0,y0)在圆上。10圆上一点的切线方程：点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上，那么过点P的切线方程为：x0x+y0y=r2.11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与轴垂直的直线。12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或

45、者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。>r相离d=r相切d<r相交13圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r,Rd>r+R两圆相离dr+R两圆相外切|Rr|<d<r+R两圆相交d|Rr|两圆相内切d<|Rr|两圆内含d=0，两圆同心。14.两圆相交弦所在直线方程的求法：圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=015.圆上一定到某点或者某

46、条直线的距离的最大、最小值的求法。16.焦半径公式：在椭圆中，F、F分别左右焦点，P(x0,y0)是椭圆是一点，则： |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 17圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。18直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)则弦长P1P2=19解题思路与方法：高考试题中的解析几何题的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.而.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几

47、个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向。（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用韦达定理设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标了解起来，相互转化.同时还应充分

48、挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、合分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运