清华大学自主招生试题含答案

1、冲1，则仁3211 z2221 .设复数Z=co长+isin q3J(A)0(B)1(C)(D)2 .设数列aj为等差数列，P,q,k, I为正整数,则(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)p+q>k+l ” 是 “ aP aq ak a ” 的()条件 既不充分也不必要3 .设A、B是抛物线y=x2上两点，0是坐标原点，若OAL 0B,则()(A)|OA| |OB|> 2(B)|OA|+QB| (C)直线AB过抛物线y=X2的焦点(D)0至烦线AB的距离小于等于Xy4 .设函数f(x)的定义域为,1)，且满足：f (x) >0,x (-1,0)；f (X) + f

2、 (y) = f ( ) , X、y 1 xy(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5 .如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)= f (x) - kx有(A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点6.4ABC的三边分别为a、b、c.若c=2,L贰0福君,C+sm(B.A)3(A)b=2 a (B) ABC的周长为2+2-. 3 (C) ABC的面积为一空 ABC的外接圆半径为37.设函数 f(X)(X23)ex，则()(A)f(X)有极小值，但无最小值(B) f(X)有极大值，但无最大值(C)若方程f (X) =b恰有一个实

3、根，则bap)若方程f (x) =b恰有三个不同实根，则0vbv£ee8.已知 A=(x,y)1 x222yr,则(A)o< a2 b2 <2r2(B)222B=(x,y)1 (x a) (y b) r ,已知 An B=(xi,yJ,( X272),aX X2) b(y 1 丫，0(c)Xi X2=a, yi y2=b (D)2 a b2 = 2axi 2byi9.已知非负实数x,y,z满足4x224y2 z +2z=3,则5x+4y+3z的最小值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.数列 an的前n项和为Sn，若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am

4、1则(A) an可能为等差数列(B) an)可能为等比数列(C) an)的任意一项均可写成an的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m使得an=Sm11. 运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或, 5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：126道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名-比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1人猜对比赛结果，此人是()12.长方体ABCDAEGD中,(A)甲(B)乙(C)丙(D) 丁AB=2, AD=AAi=1，贝U A到平面ABD的距离为(D)(A)- (B)31

5、3.设不等式组冈M 2 V 2 k(x所表示的区域为D,其面积为s,U(1)1(A)若S=4,则k的值唯一(B)若SJ，贝U k的值有2个22(C)若D为三角形，则0<k<(D)若D为五边形，则 k>43uuu uuu uuu uuu uuur uuu14. ABC勺三边长是2,3,4，其外心为0,则OA AB OB BC 0C CA=(A)0 (B)-15(C)-21(D)229216.过A ABC的重心作直线将A3(A)最小值为一 (B)最小值为4,P(A- B)=0.2 , 则(15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5(A)P(A)=0.4 (B)P(B -A

6、)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的(445(C)最大值为一(D最大值为一534&小物陟轴隹二隹取，则不同的选法有(A) 105 种(B)225 种(C)315 种(D)420 种18.已知存在实数r，使得圆周x2 y2遇上恰好有n个整点，则n可以等于（(A)4 (B)6 (C)8 (D)1219.设复数z满足2|z|w|z-1|，则(1(A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为一(C)z2121的虚部的最大值为(D)z的实部的最大值为20.设m,n是大于零的实数，a =(mcosa ,msin a ),b =(

7、ncos 3 ,nsin 3 )，其中 a , B 0,2 n ) a , Br 10,2 n ) 定义向量a1 2 =(、cos一，、齐 sin 一)，记 9 = a - 3,贝 2Ur 1 r riri(A) a2 a2 = a(B) a2r r |a2 b2|b2 二、mn cos4、一 mn sin2 (D) |a2 廿 |2 4, mncos2 421 .设数列 an满足:ai=6,(A) ? n N?, an<(n 1)3(B)? n N?, an 羊2015(C) ? n N?, a为完全平方数(D)?n N?, an为完全立方数22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆

8、的有(A)p=cos sin23.设函数f(x)X X 14(B)p=1(C) p 12 sin2 cos(A) f(X)w (B)| f (X) | w 5|x| (C)曲线 y=f(X)存在对称轴 3(D)(D)1 2si n曲线y= f (x)存在对称中心(A)si nA>cosB (B)ta nA>cotB (C)a2 b2 c2 (D) a3 b3c325.设函数f(X)的定义域是(11),若f(O)=f (0)=1,则存在实数 (0,1)，使得(A) f(X)>0, x (- S , S) (B)f(X)在(-S , S )上单调递增(C) f (X) >1

9、,x(0, S) (D)f(X)>1 , x (- S ,0)26.在直角坐标系中，已知B(1,0) 若对于y轴上的任意n个不同的点Pk(k=1,2,n)，总存在两个不同的点R,Pj,1使得 |sin / APjB-sin / APjB| w,贝 V n 的最小值为(3(A)3 (B)4(C)5 (D)627.设非负实数x,y满足2x+y=1，则 x+ x(A)最小值为一(B)最小值为一(C)最大值为1 (D)最大值为 y2 的(28.对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行)，则()(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(

10、C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个(D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数,其中有两个数字各用两次,例如 12231,则能得到的不同的五位数有()(A)300 个(B)450个(C)900个(D)1800 个30.设曲线L的方程为y4 (2x22)y & 2xf=0,贝(A)L是触对称图形(C)L ? (x,y) I(B)L 是中心对称图形(D)L ? (x,y)1#A nswer#1 .【解析】±1-z2OSN-Cn SI i3.2i sin322i sin32sin2 i 2sin cos一 333cosO

11、 isicO2sin cos( 一) i sin(cos( -)i sm(3、3(cos-+sin )22-洽 2os( 7) 0访(67)±(cos isi n 一.3 6 6 )=1,选 B22.【简解】aP(ak Q)=(p+q).(k+l)d，与公差d的符号有关，选2 UUU UUU3【解析】设人(Xi,Xi),B( X2,X2), OA OB =XiX2(1 X1X2) =0 X2 ''XCR答案(A), |0A|I AxA(1 好)4(1 1a)= j1 X2 12Xi1 >/2 2|Xi | _L=2,正确; |Xi|答案1X )x-y+ 仁10X

12、i22(B),|OA|+|OB| > 2.|OA r|OB| > 2 .2,正确；答案(C),直线 AB 的斜率为2A=X2X2 X1的距离d= 程为y-xj =( Xi 1 )(x. Xi),焦点(0, 1)满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB:(X1 Jr1w 1，正确。选ABD4【解析】x=y=O f (0) =O,y=-x f ( X)f(x), f(x)为奇函数，(A)正确；f(x). 0, (B)错误;Xi X2 , f (xj - f(X2) = f(Xi) + f( X2) = f ® 空 >0f (Xi) > f(X2) f (x) J

13、 ,(C)正确；1 Xi®f(X)=-tan X满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C 25 .【简解】将直线平移知：斜率为k的直线，与曲线y=f (x)至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故F(x)有三个极大值点，两个极小值点。选 BC6 .【解析】2R=R=，、3,D正确；2_3又 sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0 或 sinB=2sinAA=或208 =b=2 a ; A=一时 b= J3 , a = J3，周长为 2+ J3，面积为一

14、J3 ； b=2 a 时,222c =a b 2ab cosC32 1 c R3，向样有周长为2+.3，面积为2 & 037.【简解】f (X)=(x+3)(x1)e极大(X)6 f(3)_f 极小(x)f(1) -2e,3选BCD作出其大致图象，如图8.【解析】已知即半径相等的两圆O口(X y、P ( X y ) 0 0 1OCI 2lrlH X i , i)>2、2> 72Z°<|UG|<2|r|选BD222222O： x y r与O C： (x a) (y b) r交于相异的两点0<a2 b2V4r2,(A)错；四边形ORCP2是菱形 对角

15、线OC与RP22222222byi (a Xi) (b y» Xi y.|CR|OR|, (D)垂直且平分，(B)(C)正确；a b =2axi正确。总之，选BCD9【解析】关于z的方程z2 2z 4x2 4y2 3 0有非负实数解，z=-1+2 1x2x2d=5x+4y+3z=5x+4y+6 . 1 X2 y2-3,设 x=rcos 0 ,y=rsin 0 ,0,， 0,d=r(5cos 0 +4sin 0 )+6 ,1 r2 -3=r . 29 sin( 0 +arctan-)+6 . 1 r2 -34>4r+6 ,1 r2 -3=2(2r+3 J r2 )3,设 a=(2

16、,3 ),b =(r,1 r 2d> 2 a b -3=2 | a |b | cos( a, b )-3=2 . 13 cos( a, b)-3, 作图知2ruuu(a.b)最大值是b与。丫夹角，此时d>2l 3 L-3=3。选C10【解析】答案(A)，常数列0,0,0,. 满足要求；答案(B),公比q=i时因nai z结论假，qz 1时,4(1 qn) mi 1 qn1 q agmi 1 q常数，也不可能；答案(C), an SnSm = am期满足要求；答案qa Sn= m =&，并非对所有数列成立。选AC11 .【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选 D12 .

17、等体积法，选B13 .【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形12*2=423B(2,0)1(0-2)PC,-2)p4 65 '5/ 2k>0时，S单调增，梯形P2ABe向积为 为一、1,都比一大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为522是二角形（C）错误；围成五边形，斜率大于直线1的直线,（B）正确；k<0时，围成的仍然PC的斜率4,（D）正确。选ABD14.【简解敦AB的中点UUU UUUD,则 OA AB =OAX ABX cos( n - / OAB)=-ABX (OAX cos / OAB)=-_ AB2 同理UUU

18、UUUBC =ulILrurn 1215.BC2 , OC 2CA CA2，原式=(AB2 BC2 CA2) 2 2 2229选Dx=0.2;P(A)=0.4（A）正确：到目4）为56里03一正确；P(AB)=0.2 , (C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。>4,故S=4只有一解，（A）正确； RABA P3P4D的面积分别 53选ABC16.解析】设乙 ABC的重心为G,面积为1,过点G的直线与三角形边ABAC分别相交于D E, AD=xAB,AE=yAC,1则有一 ABX ACsinA=1,如图9特别的x,y 051时，DE为三角形的中线，此

19、时分成两部分面积比值为1当 x,y (0,1)时UULT得DGuuur DE ADE 面 S= ADX AEsinA= - xABX yACsinA=xy,D、 22UUL UU uuur UULT uuur UULTAG AD =A( AE AD) =(1 .入)AD + 人AGG E三点共线存在实数入，使UUUUUU UULTAE =(1- A)x AB +入y AC ,又UULT 1 uuu 1 uuur 一AG =- AB + AC33(1 )x 131消去人得到1X111=3，因_y xy> 2. r 1 xy2 ,S2s> s4245>-，等号成立当且仅当x=y=

20、DE/ BC,故S最小值为一，16的最大值为一；故两面积比值有最小值93994 5一最大值一选BD5 417 .【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A,从A逆时针方向的点依次记为Ak(k=1,2,3，,7),顺时针方向的顶点依次记为Ak(k=1,2,3,7) , A.AAm要构成以A为钝角的钝角三角形，则n+mc7,有1+2+3+6=21个。于是共可构成15X 21 =315个钝角三角形。选C18 .【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的倍数。选ACD1 22 412/419 .【简解】设x=x+yi(x,y R),代人化简得到(X,产y2 ，表示以(-为圆心，以.为

21、半径的 3933圆及其内部，根据图形，选 ACDr 1 r 120 .【解析】a1 - a?是一个数值，不是向量，(A)错；r 1 r 1a2 b2 =ncos cosnsin sin =、.mn cos= .mn cos,(B)正确；222222r 1 r 1| a2 b212 =( ' 、mcos 、 、n cos)2 +(、 、msin ,n sin)2 =m+n-2 . mn cos2222m+n-2m ncos > 2 mli(1 -cos )= 4 , m nsiM,(C)正确； 224同理(D)正确选BCD，迭乘得到 an=(n+2)(n+1)n ; a (n 1)

22、3n(n+2)< (n21 .【简解】1产,(A)正确；2015=5 annX 13X31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB22【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为p =-一-表示椭圆;1 2 cos( 2(C)1为p=A2表示椭圆;1 COS2423.【解析】f (X) C3(D)为 p =1 2cos(-)表示双曲线。选BCg(x)= 4x2 4x 4 3sin x> 0, g 极小值(x)二 g() =0(A)正确；|f (x) |。2 2 1x X |.作图象知成立,(B)正确；x=是其一条对称轴,(C)正确；25|x| |sin n x| c | X3f (a x) f (a x)不可能为常数，故(D)错误。选ABC24 .【简解】A+B>A>B sinA>sin(B)=cosB,tanA>tan(222B)=c。旧,(A)(B)正确；锐角三角形, 2定有a2(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但330.50.90.854 <1,(D)错误。总之，选ABC25 .【解析】根据导数定义,对任意£ >0存在3 >0,当|x|