1第1课时平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示

1、6. 3.2平面向量的正交分解及坐标表示6 . 3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6. 3.4平面向量数乘运算的坐标表示考点学习目标核心素养平向向里的坐标表小理解向量正交分解以及坐标表示的意义数学抽象、直观想象平向向量加、减运算的坐标表示掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法那么数学运算平面向量数乘运算的坐标表示理解坐标表示的平面向量共线 的条件,并会解决向量共线问 题数学运算、逻辑推理第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示问题导学预习教材P27P33的内容,思考以下问题:1 .怎样分解一个向量才为正交分解2 .如何求两个向量和、差的向量的坐标3 . 一个向量的坐标与有向线

2、段的起点和终点坐标之间有什么关系?4 .假设a=(x, y),那么总的坐标是什么新知初探1.平面向量坐标的相关概念但四竺更卜乖时圾分解为网力互相垂宜的同比I("X'与*轴二T轴方相一的两个一位向盘分别I毋少L为L 取",力作为幕底I;1_、t"向最一坐局向*j+yj.有.数对(工小)为向盘,的坐标点 4:.问表示14 /=(),XI=曲1*-第期名师点拨(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量根本定理的一种应用形式,只是两个基向量ei和e2互相垂直.由向量坐标的定义知,两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即a =b? X1 = X2且 y1 =

3、 y2, 其中 a=(x1,y1), b= (x2, y2).2.平面向量的坐标运算假设 a = (xi, yi), b=(x2, y2),入 6 R,那么 a+ b =(X1+ x2, y1+ y)； a b = (X1 x2, yj_ ya)；入a =(入K, 入yi).(2) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐足名师点拨向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.向量 AB 的起点 A(xi, yi),终点 B(x2, y2),那么 AB=(x2 xi, y2 - yi).、自我检测.An判断(正确的打“,错误的打"x)(i)点的坐标

4、与向量的坐标相同.()(2)零向量的坐标是(0, 0).()(3)两个向量的终点不同,那么这两个向量的坐标一定不同.()(4)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()答案：(i)x (2) V (3)X (4)V辍 A(3, i), B(2, i),那么bA的坐标是()A. ( 2, - i)B. (2, i)C. (i , 2)D. (-i, - 2)答案：C 如果用i, j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且 A(2, 3), B(4, 2),那么aB可以 表不为()A. 2i+3jB. 4i +2jC. 2i-jD . - 2i + j答案：C设 i=(i , 0

5、), j=(0, i), a=3i + 4j, b = i + j,那么 a+b 与 a- b 的坐标分别为答案：(2, 5), (4, 3)平面向量的坐标表示例T O是坐标原点,点 A在第一象限,|oA|=4J3, /xOA = 60° ,假设B(m, 一1),求BA的坐标.【解】(1)设点A(x, y),那么x =|oA|cos 60° x73cos 60° 妥串y=|OA|sin 60° X,3sin 60=6,即 A(2V3, 6),所以 oA=(2/3, 6).(2)bA=(2*, 6)-0j3, 1) =他,7).求点和向量坐标的常用方法(1

6、)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.漏踪加嫌1 .在平面直角坐标系xOy中,向量a, b的方向如下图,且|a| =2, |b|=3,那么a的坐标为 , b的坐标为.解析：设点 A(x, y), B(xo, y0),由于 |a| = 2,且/AOx = 45° ,所以 x=2cos 45° 域,y=2sin 45 °.又|b|=3, /xOB=90° 由0° M20° ,、,3S., 二.L L.2所

7、以 xo=3cos 120 ;工,y0=3sin 120故 a=OA=(<2, 42), b = OB3 空2,2答案.而用 -|,乎2.长方形 ABCD的长为4,宽为3,建立如下图的平面直角坐标系,i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,试求aC和bD的坐标.解：由题图知,CBLx 轴,CDLy 轴,由于 AB = 4, AD= 3,所以 AC = 4i + 3j,所以 AC=(4, 3).由于 BD= BA +AD = AB +AD,所以 BD = - 4i + 3j,所以 BD = (-4, 3).探究点包平面向量的坐标运算(1)向量 a=(5, 2), b=(-4, 3),假

8、设 c 满足 3a 2b+c=0,那么 c=(B. (23, 12)D . (7, 0)A. ( 23, 12)C. (7, 0)(2) A(2, 4), B(3, 1), C(-3, 4),且 CM = 3 CA, CN= 2 CB,求点 M, N 的坐 标.【解】(1)选 A.由于 a=(5, 2), b=(-4, 3),且 c 满足 3a-2b+c=0,所以 c=2b- 3a = 2( 4, 3) 3(5, 2) = (815, 6 6) = (23, 12).(2)法一：由于 A( -2, 4), B(3, 1), C(-3, 4),所以 CA=( 2, 4)-(-3, 4) = (1

9、, 8),CB=(3, 1) (3, 4) = (6, 3).一, 由于 CM = 3 CA, CN= 2 CB,、,rr所以 CM = 3(1, 8) = (3, 24), CN = 2(6, 3) = (12, 6).设 M(xi, y1),N(x2, y2),所以 CM = (xi + 3, y +4)=(3, 24),CN=(x2+3, y2+4) = (12, 6),x1+3=3,X2 + 3= 12,xi=0,X2= 9,所以解得y1 + 4=24, y2 + 4= 6.y1 = 20, y2= 2.所以 M(0, 20), N(9, 2).一 、一 一.,.,一一,一., f法一：设O为坐标原点,那么由 CM = 3 CA, CN = 2 CB,可彳# OM - OC = 3(