全国高中数学竞赛专题不等式

1、全国高中数学竞赛专题-不等式而变形的依据是不等式的性质，不等证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归, 式的性质分类罗列如下：不等式的性质：ab ab0,ab a b0.这是不等式的定义，也是比较法的依据对一个不等式进行变形的性质：(1) abba(对称性)(2) abacb c (加法保序性)(3) ab, c 0ac bc; ab,c 0ac bc.(4) ab 0anbn,n'1 aVb(nN*).对两个以上不等式进行运算的性质（1） a b, b c a c （传递性）.这是放缩法的依据 a b, c da c b d.(3)ab, cd a c b d.

2、a b(4) a b 0, d c 0, ad bc.c d含绝对值不等式的性质：22(1) |x| a(a 0) x a a x a.22 | x | a(a 0) x ax a或 xa.(3) |a| |b| |a b| |a|b| （三角不等式）(4) | aa?an | | ai | | a2 | an |.证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并

3、非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此,要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法 开始。1 .比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。）（1）差值比较法（原理：A B>0QA> B.）例 1 设 a, b, c R+,2十壬一刈七 、abca bb cc a试证： 对任忌头数 x, y, z, 有 x2+y2+z2 2 Jxy . yz . ixz(a b)(b c)(c a) . c , a 1b证明：左边-右边=x2+y2+z2 2 I ab xy 2 / bc yz 2 cax

4、z.(b c)(c a) (a b)(c a) (a b)(b c)所以左边冲边，不等式成立。A(2)商值比较法(原理：若B >1,且B>0,则A>B )|lOga(1 x)|lOga(1 x)l例 2 若 a<x<1 ,比较大小：|loga(1-x)|与 |loga(1+x)|. 解：因为 1-x 1 ,所以 loga(1-x)0,二 |lOg(1-x)(1+x)|=-lOg (1-x)(1+x)=lOg (1-x) >log (1-x)(1-x)=11 x(因为 0<1-x2<1,所以>1-x>0, 0<1-x<1 )

5、1 x所以 |loga(1+x)|>|log a(1-x)|.2 .分析法(即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止,叙述方式为：要证，只需证。)例3证明:例4证明:已知 a, b, c R+,求证：a+b+c-33/abc 冷+b 2vab.要证 a+b+c 33/c a b 冷+b 2Vab.只需证 c 2 Jab 3V abc ,因为 c 2Vabc Vab Jab33c a b 33/abc,所以原不等式成立。1-21已知头数 a, b, c满足 0<a<b W , 求证： 2c(1 c) a(1 b)1b(1 a)1因为0<a4褫w,由二次

6、函数性质可证2a(1-a) <b(1-b) q(1-c),所以a(1 a)1所以一1一a(1 a)11b(1 b)c(1 c)122b(1 b)b(1b)c(1 c)所以只需证明a(1 a)也就是证ab a(1 a)(1 b)11b(1 b) a(1 b)a b，b(1 a)(1 b)1b(1 a)只需证b(a-b) q(a-b),即(a-b)2力,显然成立。所以命题成立。3.综合法例 5 若 a,b,c>0 ,求证：abc>(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)>0, (c+a-b)+(a+b-c)=2a >0,证明：. (a+b -c)+(b+c-a)=

7、2b > 0, (b+c-a)+(c+a-b)=2ca+b-c,b+c-a,c+a-b 中至多有一个数非正.(1)当a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.,a b c b c a(2) a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时，贝U J a b c b c a bv2同理，a b c a c b a,/ b c a a c b c,三式相乘得 abc > (a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)2例6已知 ABC的外接圆半径 R=1, Saab<=4 ? a,b.c是AABC的三边长，1 1 1令S=解：由三角形面积公式所以 2t

8、=2bc+2ac求证：t>S- + - + -t= a b c1一 bcsin A .正弦定理：a/sinA=2R,可得 abc=1. 2所以 2t>=2a Vbc +2bs/ac +2c x/ab =2 Jabc +2 Jb Vabc +2>/c <abc =2( Va +x/b + Vc )=2s.所以t>S o4 .反证法例 7 设实数 电 ai,an 满足 ao=an=O,且 ao-2ai+32X), ai-2a2+asX), -, an-2-2an-i+an0,求证 ak<0(k=1,2, , n-1).证明：假设ak(k=1,2,n-1)中至少有

9、一个正数，不妨设ar是a1，a2,，ae中第一个出现的正数，则aiO,ar-iO, ar>0.于是 aiar-1 >0,依题设 ak+i-akak-ak-i(k=1,2,，n-1)。所以从 k=r 起有 an-ak-1 刃n-1-an-2,全r-ar-1 >0.因为3nak-1 >- Mlr+1=>0与3n=0矛盾。故命题获证。5 .数学归纳法例8 对任意正整数 n(W),求证：nn+1>(n+1)n.证明：1)当n=3时，因为34=81>64=43,所以命题成立。(k 22)设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k,当 n=k+1 时，只需证(

10、k+1) k+2>(k+2)k+1,即>1.kk 1(k 1)k 2kk 1因为 r 1,所以只需证(k1) 一-(k 1)k(k 2)k 1(k 1)k即证(k+1)2k+2>k(k+2) k+1,只需证(k+1)2>k(k+2),即证 k2+2k+1>k 2+2k.显然成立。 所以由数学归纳法，命题成立。22z0.6 .分类讨论法已知x, y, z C R+,求证:证明:不妨设 x词,x妄.i ) x刊为则一x2yz则一x2yz x7.放缩法(即要证A>B ,可证例10证明:x2为2妄2,由排序原理可得y2yz1，y2yy z,原不等式成立。yx2身2列

11、2,由排序原理可得2X .,原不等式成立。yA>C1, C10，Cn-1 式n, Cn>B(n e N+).)已知a, b, c是ABC的三条边长， m>0,求证：aa ba b(因为a+b>c),得证。8.引入参变量法例11已知x, yCR+, l, a, b为待定正数,3 a f(x, y)=-x解:lx n?ykl例12证明:f(x,y尸(1 k)l2b3-2y2的最小值。b31l-2b3k a3kb3b3b3a3k2-42 (a3+b3+3a2b+3ab2)=(a b)3等号当且仅当 时成立。所以 f(x, y) min=-(a yb)3l2设 Xi次 次3a4

12、 或,x2+x3+x4 次，求证：(x1+x 2+X3+X4)2<4x1X2X3X4.设 X1=k(X2+X3+X4),依题设有 1 米局，X3X44 ,3原不等式等价于(1+k) 2(x2+x3+x4)2qkx2x3x4(x2+x3+x4),门口 (1 k)2即(X2+X3+X4)双2X3X4 ,4k一1A因为f(k)=k+ 一在k1 ，一 一,1上递减,3所以4k, 、1”. (X2+X 3+X4)= (k 432) (X2+X3+X4)<2一 3x2=4x2 a2x3x4.所以原不等式成立。9.局部不等式例13已知 x, y, zCR+,且 x2+y2+z2=l,求证:x1

13、x2_y_1 y23.32证明:先证x1 x2因为x(1-x2)二 4 2x2(1；2所以2xx(1 x2)2xr3,31:23.323,3,同理z1 z2所以x1 x2y _1 y2 1例14已知0Q, b, c<1,求证:abc 1证明:先证abc 12aa b c即 a+b+c<2bc+2.即证(b-1)(c-1)+1+bc 应因为04, b, c司,所以式成立。3.3 2z23.3 / 2T(xbca 1z2)33同理b 2b,ca 1 a b c' ab 12ca b c三个不等式相加即得原不等式成立。10.利用函数的思想cab 1例15 已知非负实数 a, b,

14、 c满足ab+bc+ca=1,求f(a, b, c)=5解：当a, b, c中有一个为0,另两个为1时，f(a, b, c尸一，3不妨设a加五，则0«w3因为 1=(a+b)c+ab <(-ab)-42c,f(a, b, c)=-c 1+(a+b)c,2a bc2 1以下证明f(a, b, c) >-的最小值。a5.2解关于a+b的不等式得考虑函数g(t)= tc2 1、3 -又因为0«w,所以3a+b或(，c2；,g(t)在<c3c2<1.1 -c).2 1,)上单调递增。所以 c2+a>4c2.所以 2(Vc21 c) c2 1.2c所以

15、f(a, b, c)=-c2 1a bc2 12cc2 12( c2 1 c)c2112( c2 1 c). 2 ，2c. c 1c22C 1 C 1 Q下证 3(14c1) c 0 3 c3jc21c2+6c+9 冷c2+9c - c 涮43355因为c -,所以式成立。所以 f(a, b, c)一,所以f(a, b, c) min=.342211 .构造法例 16 证明：& + 2+4 -&V昌提示：构造出（x, 0）到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点 共线时取最大值，从而结论得证。12 .运用着名不等式（1）平均值不等式n仅 a1, a2,

16、anC R+, i己 Hn=，11n：a1a2 L an, Gn= a1 a2 an , An =1na1 a2an222Qn J-一曳a则HnRnn9n.即调和平均 矶何平均W算术平均 W方平均。其中等号成立的条件均为a1=a2=" =an.当n=2时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式，所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得 AnQn,再由GnAn可彳导HnGn,以下仅证 Gnn.1）当n=2时，显然成立；2）设 n=k 时有 GkAk,当 n=k+1 时）记 14-1-2akak 1 =Gk+1.因为 a1+a2+ +ak+ak+1+(k-1)G k

17、+1 kk：a1 a2akkk' ak 1 Gk 1>2k2ka1a2 ak 1G：；2k2kG12kl2kGk+1,所以 a+a2+ak+1 孑k+1)G k+1,即 Ak+1 Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。例17利用基本不等式证明 a2 b2 c2 ab bc ca.【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换 .的方法.2. 22322【略解】a b 2ab,同理b c 2bc,c a 2ca ；三式相加再除以 2即得证.【评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧22如土生X2X32XnXiX2Xn

18、,可在不等式两边同时加上X2X3XnX1.Xi再如证(a 1)(b 1)(ac)3(bc)32 2 3256a b c (a,b,c 0)时，可连续使用基本不等式(2)基本不等式有各种变式b)22 卜2a等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等 2的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为1.1 例 18 已知 a b 1, a,b 0,求证：a4 b4 -.8【思路分析】不等式左边是a、b的4次式，右边为常数 -,如何也转化为 a、b的4次式呢.84. 414. 414【略解】要证a b ,即证a b (a b).88(2)柯西(Cavchy )不等式：设a1、a2、a3,，an是任意实数

19、，则等号当且仅当bikai(k为常数，i 1,2,n)时成立.证明：不妨设ai(i 1,2, ,n)不全为0, bi也不全为0 (因为ai或bi全为0时，不等式显然成立)记 A= . a2 a2a2 ， B=。廿 b；bn .且令 Xi, yi (i 1,2, n),A B则 X12 x1X2 1,y； y2yn1.原不等式化为X1 y132Xn yn1.即 2(x1y1X2 y222222Xnyn)X1X2 Xn y12 yn它等价于(X1 y1)2 (X2y2)2(Xnyn)20.其中等号成立的充要条件是Xiyi(i 1,2,n).从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是n a：、变式 1

20、:右 2CR, biCR, i=1,2,，n,则()i 1 biAb ka(k B).n(ai )2T.等号成立条件为(bi )2i 12=2i,(i=1,2,，n)。n变式2:设ai, bi同号且不为0(i=1,2,，n),则ain(ai )2T.等号成立当且仅当i 1 bib1 = b2= 二bn.ai bi12222例 19 设 Xi,X2, ,Xn R ,求证：土 臣 迎包 X1 x2xn.X2 X3XnX1【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之【详解】' Xi, X2, ,Xn 0 ,故由柯西不等

21、式，得(：./ X2X2X3X32222XiX2Xn 1XnX2X3XnXiXiX2X(Xi X22 Xn 1 Xn),Xn .11【评述】这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之（3）排序不等式：（又称排序原理） 设有两个有序数组 ai a2an&b b2bn.则 a1bl a2b2anbn （同序和）aibji a262anbjn （乱序和）abn a?bn 1anbi （逆序和）其中ji, j2, , jn是1, 2,，n的任一排列.当且仅当ai a22门或“ b2bn时等号（对任一排列 ji, j2, ,jn）成立.证明：不妨设在

22、乱序和 S中jn n时（若jn n ,则考虑jn i）,且在和S中含有项akbn（k n）,则 akbn anbjn anbjn anbn.事实上，左一右二（an ak）（bn bjn） 0，由此可知，当jn n时，调换S aibjiakbjkanbjn（ jn n）中bn与jn位置（其余不动），所得新和S S.调整好an及bn后，接着再仿上调整an 1与bn 1 ,又得S2 &.如此至多经n 1次调整得顺序和aibi a2b2anbn aibji a2bj2anbjn这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当ai a2 an或bi b2bn时中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在j

23、n及k,使bn bjn ,an ak.这时中不等号成立.因而对这个排列中不等号成立.类似地可证“乱序和不小于逆序和”3 cab2,2,22223,3a b b c c a a b 例20 a,b, c R，求证a b c 2c 2a 2b bc ca【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明999 111【略解】不妨设a b c,则ab c ,-,c b a则a2b2（乱序和）2 1,2ab同理b21 一一（乱序和）b两式相加再除以2,b21b _ b1 、（逆序和），c1 、一-（逆序和）即得原式中第一个不等式.再考虑数组b311ac ab仿上可证第二个不等式

24、*例21设a1，a2, ,an N ，且各不相同,求证:a222a33an .n【思路分析】不等式右边各项 aiai可理解为两数之积,尝试用排序不等式【略解】设bi ,b2,bn 是 a1，a2,的重新排列，满足b1 b2bn，又 1所以a1 Ia2an b1n故 b1,b22,n.从而b2b3222232b2b3b1222232bn是互不相同的正整数,【评述】排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式,例22 在 ABC中，试证：一3aA bB cC _ a b c 2【思路分析】【详解】bn2 nb2可构造 ABC的边和角的序列，应用排序不等式来证明之不妨设a bB C.由排序不等式，得相加，得3（aAbB cC)(a bc)(AC) (a又由0 b ca,0 ac,0b,a b b a,aA bB cC有 0 A(b c a)a( 2A) b(aA bB cC得ra b cC(a b2B)c)