光学信息技术原理及应用课后重点习题答案

1、第一章习题解答1.1已知不变线性系统的输入为g(x )=comb(x ),系统的传递函数 A if。若b取(l)b=o.5 (2)b=i.5,b求系统的输出g (x 并画出输出函数及其频谱的图形。答：(1) g(x尸F心(x)=l图形从略，(2) g(x 尸 F 卜(fx -5(fx-i -5 (fx+i)ri+-cos( 2 / x)图形从略。33 J 31.2若限带函数f (x, y )的傅里叶变换在长度 L为宽度W的矩形之外恒为零，(1)如果a b ,还能得出以上结论吗？ L W答：不能。因为这时 F f (x,y *ecf /，/ “(x，yect(afx，bfy)。1.3对一个空间不

2、变线性系统，脉冲响应为h x, y = sinc x 二 y试用频域方法对下面每一个输入fi (x, y ),求其输出gi(x,y)。(必要时，可取合理近似)(1)f x, y = cos 二xg (x,y f(x,y & h(x,y =fcos4 九 xF sin(7x )5(y 答:二F ;F cos 4 冗 x )rect =f -0 1cos 4 Ttx=cos4 Ttx(2)f、x,y =cos ux rect 看 rect 七答:g #,y 片斗f (x,y 乐h(x,y 此f T 二 1F : cos 4冗x yect1 -x rect1 7y “f 7sin(7x 以 y j=

3、F /(Fcos4/x冲 75 75sinc(75fx inc(75 fyectfx一“os / x rect上 rect 工175 J 175 Jf. x,y - L cosx rect g x,y f 飞 f Jl+cosS冗x Ject1 气 / 7sin(7x 户 y 耳答:二F-4“F G4cos 8冗x ,75sinc(75fx )S(f y )“。二 j二F-43 75sinc(75fx 双fy2讥fx+4)”5sinc(75fx E(fy direct.1 8)J174rect 邑 三f -t、sinc75fx 6 fy =rect -x(4)f 4(x,y )=comb(x

4、j*(rect(2x )rect(2y )答:g n(x,y 斤 T* &mb( x 1(rect(2x rect(2y )用?sin(7x 凡y /=F -! j comb fxllS fy 二sine件;sinc 二2rectfx-I7 )1.4=Ff fy 0 6376(fx-l fy Ao 637a(fx+1 fy m 212贸 fx-3 fy 尸)ectJ=F 北.25 况f x,fy 0. 159 s(fx -l,f y 0.159 S(fx +l,fy053 S(fx-3, fy 053 5( fx +3,fy =0. 25+0. 318cos(2 Ttx )-0. 106cos

5、(6 ：tx )给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波1gi x = -comb对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。(1) H f = rect i - I”一 、(2) H (f )=rect I - rectI4 J答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形f | 1 x G(f)=F tgi(x)J= f -comb(-) f 3 3=Comb(3 f) 50sin c(50 f) bin c2 fx.rect(一)1a(x”50sin c2 f图形为:0.6850.170.04图 1.4 (2)方括号内函数频谱图形为:因为sin c2 f的分辨力

6、太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时sin c2图 1.4 (3)传递函数（1）形为:因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为:6(f) +0.685户(1f 3) 、 (f2- 250sinc(50f) 0.171 (f -)(f -)其反变换，即输出函数为:._x_ 2 x、501.37cos2 -： 0.342 cos2 ：-x rect() 3350该函数为限制在 L25,25辰间内，平均值为 1,周期为3,振巾昌为1.37的一个余弦函数与周期为1.5,振幅为 0.342的另一个余弦函数的叠加。

7、传递函数（2）形为:图 1.4 (5)此时，输出函数仅剩下在1-2,-11及1,21两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在-1,1的零值也是不能忽略的，由于2 4sinc2( ) =0.0433sinc2(5) =0.0273可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为:0.043 cos2 二4 八5x 0.027 cos2二一x(50)该函数依然PM制在 匚25,25区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043,周期为0.75,的一个余弦函数与振幅为0.027,周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。1.5 若对二维函数h x, y =asinc-ax底 M

8、fy)a J抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。答： F h x,y 干,asinc - ax 二AYE二二 Bx 一 1a也就是说，在 X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ,在y方向抽样间隔无限制。gsx, y = g x, y combcomb r rectX JY JJ1.6 若只能用a Mb表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即答:g (x,y)。第二章习题解答2.1 一列波长为 九的单位振幅平面光波，波矢量k与x轴的夹角为450,与y轴夹角为600,试写出其空间频率及z = z1平面上的复振幅表达式。答:-=2. 3、.2fxF , fy , U x,yz =

9、expjkzexpj2五x 区yU0Q02.2 尺寸为ax b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角谱。答:U x,y =rect - aA cos a coscoscos BA , 二absinc a sinc b l入， I l入2.3 波长为人的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为t x求紧靠孔径透射场的角谱。试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复因为a Mb表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g (x,y)也有贡献，不可省略。答：:fcosa cosB)r fcos

10、a cosB 1 kJ c COSoc c cosaCoSB)A1 二0 56 1卜0 25 3 入 4 3人-1 +3入区 3人+ 1 N-I入，入1.1入，入J. I入) I入力I入12.4 参看图2.13,边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出亡=*! = 0时，孔径频谱在 X方向上的截面图。答：tx,y二rect图2.4题X02 reT -rect上 rect仅丫。14a inc(2afx Sinc(2afy )-a%inc(afX SinCafy fexp-j

11、2 Tta(fx + fy )U (x,yexp(jkz fexp j -(x2+y 2)jabab:absinc(afx)sin c(bfy) exp(-j二 fyd) exp(j二 fyd)ax by 二 dy=2absin c()sin c(-) cos() z z z把它带入(3)式，则有强度分布I(x ,y )2f2ab )f IKz )一 / ax一 _2sine sine,z,zax by 二 dy 2absin c( )sin c( ) cos( )exp(jkz)exp j；k-(x2y2)U(x ,y ) 2z不难看出,这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的

12、结果。双缝的振幅透射率也可以写成下述形式:t(xo,y) urect re ax i - x0,y0- -_. 002一；i%,yo它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。代入所给条件 b=4a,d=1.5aI(x ,y )二量(sin c2 包 Isin c2包 icos2 11 l 儿z ) lz J I *、z J I Kz J沿x轴，此时fy =022I (fx，fy) =8a Sine afx中心光强：I（0,0）=8a2极小值位置为：fx =- (n = _1,_2,|) ax方向上强度分布的截面图示意如下:图题2.5 (

13、2)沿y轴: 此时fx = 0一一一 一一2_22一I(fx,fy)=8a sinc(4afy) cos 1.5 afy中心光强：I(0,0)=8a2(n = _1,_2J“)极小值位置：fy及fy =122y 4a y 3ay方向上强度分布的截面图示意如下：图题2.5 (3)t(xo,yo) =rectYxo,y0 -12 expl-j - x0,yo三 rect卜刈，丫0exp I - j 二.1 、xo,yo=rect i x reactexp -jn +rect x1 Irect由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场U o(xi, yi) -1 ，透射光场，b=4a,d=1.

14、5a 时U(xi, yi) =Uo(Xi, v)bt(xi,yi)=rect i x rectad% 一万bexp一j 兀】+rect1 3 Irectla J, dyi ab)(2)3t li rect Ya exp-j7：1 rect a rect T5a由夫琅和费衍射方程， 在夫琅和费区中离孔径距离 z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样U(x , y ),它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标fx=, fy =),即z zU(x ,y )=exp(jkz)exp j ；k-(x2 y2) 2zFiU(x0,yo)(3)利用傅立叶变换的相移定理，得到F U (Xo , y) ? = F

15、 rect ? rect 次-0.75a4aexp I-j 7： F rect 艺 rect - a .y0 0.75a4a=8a2sinc(afx)sin c(4afy)exp(1.5jn fy)exp(jn )1+8a2 sinc(afx)sin c(4afy)exp(1.5jn fy)2=8a sinc(afx)sin c(4afy) exp(-1.5j： fy - j二)exp(1.5j 二 fy)把它带入(3)式，则有U(x ,y )=28a sinc(afx)sin c(4afy)exp(jkz)exp j 上(x2 y2)一 2zexp( -1.5 j 二 fy - j 二)ex

16、p(1.5j 二 fy)exp(jkz)exp j ；k-(x2 y2)一 2z- 8a2 sin c(ax-)sin c(ay-)j 二 exp I -1.5 j 二 y exp()exp(1.5j 二 y j 二exp(jkz)exp j ；k-(x2 y2)一 2zo 2 . zax 4ay 、8a sin c()sin c()I(x ,y )=c 2、28ac 2、28a一2 ax sinc I .2in c Ij 二 1.5 二 y 二 exp cos I - ,2z 2强度分布一 _2 ax _ _2 4ay _ 2sin c sin c cos2.6 试证明如下列阵定理：假设在衍

17、射屏上有N个形状和方位都相同的全等形开孔，在每一个开孔内取一个;(2) N个处于代表孔位相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积:(1)置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射(该衍射屏的原点处不一定有开孔)置的点上的点光源在观察面上的干涉。证明：假设置于原点的一个孔径表示为tdx0,yo), N个处于代表孔位置的点上的点光源表示为工S(x-Xj,y-% ),则衍射屏的透过率可表示为N，仅0丫0畀0仅。丫。泛 Mx-xi,y-yJ N其傅里叶变换可表示为F(xo，y。好4。线不忏, 淞-x-yi该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二

18、项对应于N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。2.7一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数为t(n+Jcosarirc 仁】(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜?(2)给出此屏的焦距表达式。(3)什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置(特别是对于彩色物体)？答：(1)解衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式:1122xt(x,y)cos(x y ) circ 2 22 + y21j11_.22_ 1_.22 一:2 4欲9y) zexpj(x y) circx2 y2l(1)式大括号中第一项仅仅是使直接透射

19、光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子k C C _exp |-j (x2 +y2)比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发 L f-散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似与透镜，因子circ 表明该屏l具有半径为l的圆形孔径。(2)解把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较,1o o得到相应的焦距，对于一exp-ja(x +y )4皿人k 项，令口 =，则有2f11 -k焦距fi为正，其作用相当于会聚透镜，对于 一expjot(x +y )项，令口 =，则有42f2k二fi 2 二，二：1 .焦距f2为负，其作用

20、相当于发散透镜，对于“ 一 这一项来说，平行光波直接透过，仅振幅技减，可看作是2f3 2(3)由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远(直接透射光)(参看图4.12 )。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长九成反o0比。例如取 ed =6900 A ,九blue =4000 A ,则有f 一丝叩 f 0 57 fh1red cc

21、c blue0.5 f blue6900这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。2.8 用波长为九=6328A的平面光波垂直照明半径为2mm的衍射孔，若观察范围是与衍射孔共轴，半径为30mm的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。答：由式(2.55) z3L$L；) 2及式(2-57) z； k(x； + y2)有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求z3( Lt+Lf) 2SP z3?(12+152)?=398 7mm4入 0 1 V 4xo 632sxi0一弓z kxjy：二Tt0 6328X1

22、02=4964. 6mm2.9 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。答：圆形孔径的透过率可表示为t x-,y-：circUx-,y- -circ根据式(2.53)有aexp4xJy。：)exptj!Z(xxo+yy0 跖 0dy0exp jkz . k 、 一 .U x,yexp j x - yj!circj XZ I zq轴上的振幅分布为u(QQZ 尸ex：?Zz)circ 广 expljxJ+y/1dx0dy0pjkz 1-expj与：exp jkz Fa 一. k 儿，n= fexp.ijr rdrd 0=ex j 入z 00 2Z

23、-轴上的强度分布为U o,1.,z Uexp jkz exp jzsin 2 .-z2.10 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为t x 一 =a bcos：Jud 二d ;式中，d为光栅周期，a b0 , a b a 0。观察平面与光栅相距 z。当z分别取下列各数值：（l）z=zT= 一 z d 一 一 z d 一 （2） z =；（3） z =（式中zt称作泰伯距离）时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。答：根据式（2.31）单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为U x, ,y. =a bcos：冗强度分布为I x”。bcos ? u d亍 exp -j :冗 x

24、 小 yjy dx，y。d角谱为Aj(fx,fy 村 Ha+bcos2冗=aS(fx,fy 当传播距离z后，根据式（2.40）得到角谱A(fx,fy,z /Ajfx,fy expjkzq1-(Xfx)2_(Xfy)2= a%fx,fyfxdfy Mfx+djy j 假pjkz”r入fx y-(xfy y】W 决fx,fy expljkzfx-d，fyMfx*y利用二项式近似有- f一 exp jkzI 1=exp jkzf nz 入、exp 一不A fx,fy,z)bf4，fy.MfxTfy j,iexprj 奈(1) z = zT时A fx，fy,z) =exp |jL 制 fx，fyfxd

25、，fy fx+j，fy)与A/fxfy双相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余 弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。z d 二z = =d-时2 九f f : f + f fx d,TyJ Cx d,TyJj；4Ttd 2 1f , ibA( fx,fy,z) =exp.|j-a5(fx,fy 1人工l2、1-对应复振幅分布为xx -d .U x,y =abcos:冗=a bcos2冗dd因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度 分布。z=亘4A fx,fy,z)对应复振幅分布为U x ,y =

26、exp jkz a-jbcos :冗x强度分布为第三章习题解答3.1参看图3.5,在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子x：y2)l2cn|k/22l J. kexp j-(xo +yo)定exp j7T-2d。一. 2d。试问（1）物平面上半径多大时，相位因子I k 22exp j （xo +y。）. 2d。.相对于它在原点之值正好改变兀弧度？（2）设光瞳函数是一个半径为 a的圆，那么在物平面上相应 h的第一个零点的半径是多少？（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,入和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子c C . k /22exp j （xo

27、 yo）一 2d2 解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为n的条件是 上（谥+ y2）=冗，r0 = 6d；2d。_2do（2）根据（3.1.5 ）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点（xo,y0）112二，12I 2h（x0,yo；x, yi）=斐 P（x,y）exp -j =（为-弘）（y -y0） dxdy dodi 二di1 L 介）1 aJ1（2naP）B circ _ 15 = d dodiIla 力九 dodiP式中 r = . x2 , y2 ,而(1)d =22=(x-x0)2.(yT0)2 didi在点扩散函数的第一个

28、零点处，J1(2jiaP)=0,此时应有2naP=3.83,即：0 =0.61将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点(xi = yi =0),于是得ro 二0.61 doa(3)(3)根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献h(X0, y0；0,0)。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r0 M0.61Ad0/a范围内的小区域。当这个小区域内各点2的相位因子expjkr0 /2d0变化不大，就可认为(3.1.3 )式的近似成立，而将它弃去，假设小区域内相位变

29、化不大于几分之一弧度(例如n /16 )就满足以上要求，则 kr02 /2d0 , r02 1r sin-exp j2二Xo(fo ) 21r sin-exp -j2二 Xo(fo - )2.工 J.lA 二仆 sine ） 1 sine ）1 1 _ Ssine ）=g I + -5代一f0+ #十一6f0+ lb211 儿J 2 110九42 110人与j由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了 sine/人距离。（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率Pc = D/4?uf , 于是要求sin 二 D4 f- f0sin 二由此得 f0 - , s

30、in 4f4f(1)日角的最大值为Hmax=arcsin （2）f此时像面上的复振幅分布和强度分布为“/、 A D ；1Ui（x，yi） =-exP j2nxi 77T 1 +-exp（-j2nx f0）2、4Kf ）2A2 5T_4cos2 二 f0x（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得D4f34f即 fE 旦或f0max -2, f2 f(3)日=0时，系统的截止频率为 Pc =D/4f ,因此光栅的最大频率0max=：c =4 f(4)比较（3）和（4）式可知，当采用 m =8max倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽

31、度不变。1吗？如果光学系统3.3 光学传递函数在fx= f y =0处都等于1,这是为什么？光学传递函数的值可能大于真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样?（1）在（3.4.5 ）式中，令h(x,y”(x,yi)Ad, y )dx dy-O0为归一化强度点扩散函数，因此（3.4.5 ）式可写成Q0H （之）=J h（x，yi）expj2n 仁 用 + 力 yjdxdyi-Q（3cd而 H （0,0） =1 = J Jh（Xi，yi）dxdy即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩 散函数的意义（2）不能大于1。（3）对于理想成像，归一化

32、点扩散函数是 6函数，其频谱为常数1,即系统对任何频率的传递都是无损的。3.4 当非相干成像系统的点扩散函数hi （Xi, yi）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。*,解：由于h|（Xi，yi）是实函数并且是中心对称的，即有hi（Xi,y） = h| （为，yj , hi （x, yj = hi （xhy）,应用光学传递函数的定义式（3.4.5 ）易于证明H （J）=H*（1）,即H 3 J）为实函数。3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a,出瞳到像面的距离为di,光波长为入，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？解：用公式（3

33、.4.15 ）来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳 计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小 孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠，这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截止频率约为 2a/di,由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。第五章 习题解答5. 1两束夹角为=450的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为 632.8nm,求对称情况下（两平面波的入射角相等）该平面上记录的全息光栅的空间频率。答：已知：=45,入=632.8nm,根据平面波相

34、干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式2 d sin （ /2）=入，其中d是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录在干板上的全息光栅空间 频率为fx = （1/d） = （1/入） 2 sin （ =1209.5 l/mm故全息光栅的空间频率为1209.5 l/mm。5. 2如图5.33所示，点光源 A （0,-40,-150）和B （0, 30,-100）发出的球面波在记录平面上产生干涉:x图5. 33(5.2题图)(1)写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式;答：设：点源 A、B发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为Ua和Ub,则有Ua=Oa ex(jkzA

35、)exp jk / 2za )(x-Xa) 2+( Vf) 2 Ub =当exp(jkzB)exp jk /2zb)(x- Xb)2+(y- Vb)2 其中：Xa = xb = 0, yA = -40, za = -150, yB = 30, zb = -100;aA、aB分别是球面波的振幅；k为波数。(2)写出干涉条纹强度分布的表达式;I =|Ua+Ub|2= Ua -Ua* + Ub -Ub* +Ua* -Ub+ Ua -Ub*五4aB xp(-jkzA+ jkzB)exp-(jk/2za)(x-Xa)2+ (y- yA)2 + (jk/2zb)(x-Xb)2 + (y- Vb)2 a a

36、 ?a4exp(jkzA- jkzB)exp(jk/2za)(x- Xa) + (y- Va) (3)设全息干-(jk /2zb )(x-Xb)2 + (y- Vb)2 板的尺寸为100 X100 mm2,= 632.8nm ,求全息图上最高和最低空间频率；说明这对记录介质的分辨率有何要求？解答：设全息干板对于坐标轴是对称的，设点源 A与点源B到达干板的光线的最大和最小夹角分别为0 max和。min, A、B发出的到达干板两个边缘的光线与干板的夹角分别为。A、。B、。A和。B，如0 a = tg-1zA/ (-yA - 50) , 0 b = tg-1zB/(-yB - 50)9 a = tg

37、-1ZA/ (yA - 50) , Ob = tg-1ZB/ ( yB - 50)0 max= 0 A -B,0 min= 0 B- 9 A根据全息光栅记录原理，全息图上所记录的最Wj 空间频率fmax=(2/)sin ( 0 max/2)COS a 1最低空间频率fmin=(2/)Sin ( 0 min/2)COS a 2其中a角表示全息干板相对于对称记录情况的偏离角，由几何关系可知cos a 1 = sin ( 0 A + 0 B)/2 , cos a 2 = sin ( 0 A + 0 B) /2将数据代入公式得 fmax= 882 l/mm , fmin= 503 l/mm故全息图的空

38、间频率最高为 882 l/mm,最低为503 l/mm,要求记录介质的分辨率不得低于900 l/mm。5.3请依据全息照相原理说明一个漫反射物体的菲涅耳全息图。(1)为什么不能用白光再现？试证明如图5.7所记录和再现的菲涅耳全息图的线模糊和色模糊的表达式(5.26)和(5.28);(2)为什么全息图的碎片仍能再现出物体完整的像？碎片尺寸的大小对再现像质量有哪些影响？(3)由全息图再现的三维立体像与普通立体电影看到的立体像有何本质区别？答：(1)首先证明(5.26)式，当R = =1。即记录光与再现光波长相同时，(5.21)式变为：10xiXcXoxr=十- li1cl 01ryiycy。yIl

39、ilcl 01r当再现光源没有展宽，即 AC=0, 一个点光源的像的展宽，川(AxiiAyi)与参考光源的展宽 R(Axi,Ayi),成正比,即：i R _jRli一 lr同样，当参考光源没有展宽，再现光源的展宽AC(AxC ,MyC)也与像的展宽成正比Ii Cli一 lc参考光源与再现光源同时存在微小展宽其最后结果展宽是两者之和为：li =i R Ni cliR JC!l r 1r 此即式（5.26）。对于色模糊，由图 5.8可以看出：九=1日色散角与波长成一定函数关系，由于波长范围尢产生的色散角为：A日=- -：因而有洋二1, Ajf A该式即为书上（5.27）式，根据书上 P132以后分

40、析即可证明（5.28）式。（2）由于全息图上每一点都记录了物体上所有点发出的波的全部信息，故每一点都可以在再现光照射下再现出像的整体，因而全息图的碎片仍能再现出物体完整的像。不过对再现像有贡献的点越多，像的亮度越高。每个 点都在不同角度再现像，因而点越多，再现像的孔径角也越大，像的分辨率越高，这就是碎片大小对再现像质 量的两个方面影响。5. 5如图5.34所示，用一束平面波 R和会聚球面波 A相干，记录的全息图称为同轴全息透镜（ HL ）,通 常将其焦距f定义为会聚球面波点源 A的距离Zao（1）试依据菲涅耳全息图的物像关系公式（5.21） （ 5.22）,证明该全息透镜的成像公式为11-=土

41、 di dof式中di为像距，do为物距，f为焦距，=/ o（ 0为记录波长，为再现波长），等号右边的正号表示正透镜，负号表示它同时又具有负透镜的功能。证明：根据菲涅耳全息图的物像关系公式（5.21c）和（5.22c）有11, 11= N （-） li 1clo 1r根据题意，已知di = li , d0 = lc , lr = oo ；焦距f是指当 =0时平行光入射得到的会聚点的距离，即当lc=oo,=1时的像距li ,此时li = f （= Za）。11,1根据公式可得一=一=土= 土一f li lo L于是有f = + lo (=ZA)1=切(1-1 )=li lclo lr11故：左边

42、=di do证明完毕。=488.0nm,(2)若已知Za= 20cm,0 = 632.8nm ,物距为d0= -10cm,物高为ho= 2mm,物波长为问：能得到几个像？求出它们的位置和大小，并说明其虚、实和正、倒。解：由已经证明了的全息透镜成像公式可得11 = did0 f根据题意有 f = Za= 20cm ,=/0 = 488.0nm / 632.8nm , d0 = -10cm ,代入上式-16. 3 cm 原始像-7. 2 cm 共轲像根据放大率公式(5. 25)-1M =1-囱士寻由本题关系可知，上式中ZrNZcZ0 = lo = f = 20cm , Zr = lr = 0, Z

43、c = lc = d0 = -10cm ,代入上式得0. 6原始像高h = M 如=1 . 20cm-1I 0. 28共轲像高 h= M h0 = 0. 56cm故能得到两个像，原始像位于-16. 3cm处，正立虚像，像高 1. 20cm；共轲像位于-7. 2cm处，正立虚像，像高0. 56cm。第八章 习题解答8. 1利用4f系统做阿贝一波特实验，设物函数t (X1, y1)为一无限大正交光栅t(X1, yj =工 rect() com1/口 rect(丛)* combfy1)一片a?b2 一其中an a2分别为x、y方向上缝的宽度，b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面上得到如图8-53 (a

44、)所示的频谱。分别用图8-53 (b) (c) (d)所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布(图中阴影区表示不透明屏)(a)(b)(c)(d)图8.53 (题8.1图)答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为T ( fx , fy ) = ? t ( xi , yi )i ”、一 , %、1 一 yi、一 .，y1、= ? rect(一) ? comb(一)叫 一? rect(-)？ comb()1blaibib2a?b?将函数展开得aia11ali1a2b；) +sinc( b? )Mfy+T ( fx , fy ) = Sinc(ai f x) + sinc(一) S (fx -

45、-) + sinc(一) S (fx + ) + ? bibibibibi* a2-Sinc(a2 fy) + sinc(a2) S (f y - b?b?(1)用滤波器(b)时，其透过率函数可写为1F(fx，fy)= 0fx =-1/bfx =1/bfy =0fy =任何值滤波后的光振幅函数为a1al11,T F =sinc(bi) Mfx-b?)5fx+ bi)输出平面光振幅函数为t，(x3, y3)= ? -1 T F a1a12-：x32-：x3= sinc( )expj(-) + exp-j(-) bibibibi输出强度分布为2a1b1a12 二 x3sinc( )?cos ()b

46、1b1I(X3,v3 =4a12bl22 a12 2 二 X3sinc ()? cos (一)b/b12a12b12.2. a14 二 x3、sinc ( )? cos() - Cb1b1其中C是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。(2)用滤波器(c)时，其透过率函数可写为1F(fx，fy)=。fx, fy = 0fx = fy u。滤波后的光振幅函数为T F = - sinc()6( fb1b11a11)+ sinc( ) (f x +) + ? b/b1b/a2a2. sinc() ( fy -b2b21b2a?_)+ sinc()(fb11y+T+?输出平面光振幅函数为t(X3,y3)= ? -1 T F = - rect(x) comb(&)b1a1