正定矩阵的性质和判定方法及应用

1、内蒙古财经大学本科毕业论文内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用正定矩阵的性质及应用作 者 郝芸芸 系 别 统计与数学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 10级 学 号 102093113 指导教师 高菲菲 导师职称 讲师 答辩日期 成 绩 内 容 提 要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件在第二部分

2、列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用关键词：二次型正定矩阵判定方法应用应用 AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory i

3、s a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive defin

4、ite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of pr

5、operties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fou

6、rth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive de

7、finite matrices.Key words: Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目 录引言 .1一、正定矩阵的定义 .1二、正定矩阵的性质 .2三、正定矩阵的有关定理 .6四、正定矩阵的判定方法 .9（一）定义法 .9（二）主子式法 .10（三）特征值法 .11（四）与单位矩阵合同法 .12E五、正定矩阵的应用 .13（一）正定矩阵在不等式中的应用 .13（二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 .14总结 .16参考文献 .16后记 .171正定矩阵的性质及应用引言矩阵理论是

8、数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字的正定二次型与阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用1,nXXn二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等

9、式的证明和多元函数极值的问题一、正定矩阵的定义定义定义1 13设均为实常数，则关于个实变量的二次齐次多项式,1,2, ;ijai jn ijn12,nx xx函数， 2221211 1222,nnnnfx xxa xa xa x121213 131,1222nnnna x xa x xaxx 1称为元实二次型n定义定义2 23 只含有平方项的二次型称为标准形，即 222121122,nnnfy yyd yd yd y 2定义定义3 33若二次型的标准形中的系数仅为，则此标准形称为二次型的规范1,2,id in1, 1,0形定义定义4 4 1 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数，

10、12,nfx xx12,nc cc都有； 12,0nf c cc2如果都有，那么称为负定的；如果都有12,0nf c cc12,nfx xx，那么称为半正定的；如果都有，12,0nf c cc12,nfx xx12,0nf c cc那么称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么12,nfx xx就称为不定的12,nfx xx定义定义5 5 1 若实数域上的元二次型是正定二次型n1211(,)()nnnijijijjiijf x xxaXaaTX AX（负定二次型），则称为正定矩阵（负定矩阵）；若二次型是半正定二次型（半负A定二次型），则称为半正定矩阵（半负定矩阵）其中A， 1112

11、12122212nnnnnnaaaaaaAaaa12nxxXx定义定义6 61子式 1112121222121,2,iiiiiiiaaaaaaPinaaa 3称为矩阵的 阶顺序主子式 ijnnAai下面是正定矩阵的一些等价条件定理定理1 18 设是阶实对称矩阵，则下列命题等价：An(1)是正定矩阵A(2)的正惯性指数等于An(3)的特征值全大于零A(4)合同于阶单位矩阵AnnE(5)合同于主对角元大于零的对角矩阵A(6)存在可逆矩阵，使得，其中表示的转置PTAP PTPP注：注：二次型的正定（负定），半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的二次型的有定

12、性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的判定3二、正定矩阵的性质性质性质1 11正定矩阵的行列式大于零证明证明设是正定矩阵因为与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使AACACECCC两边取行列式，有20AC CC推论推论1 11若是正定矩阵，则的顺序主子式全大于零AA证明证明设二次型是正定的对于每个，令1211,nnnijijijfx xxa x x,1kkn下面证明是一个元的正定二次型对于任意一组不1211,kkknijijijfx xxa x xkfk全为零的实数，有1,kcc1111,0,00kkkkijijkijfcca ccf c

13、c因此是正定的由性质可知，的矩阵的行列式1,kkfxxkf11110,1,kkkkaaknaa这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零A性质性质2 2 6若是正定矩阵，则的主对角元全大于零AA证明证明设，对于任意的，恒有，其中，()ijAa0X 11nnTijijijX AXa x xijjiaa令，将其代入，得,1,2,i jn(0,0,1,00)iTX 11()nnTijijijjiijX AXa x x aa，所以，从而结论得证TiiX AXa0iia 1,2,in 性质性质3 36正定矩阵中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到()ijAa证明证明设是正定矩阵，则它的一切主子式都大于零如果是的

14、中绝对值最()ijAa()ija ijA大的一个元素，那么，取的二阶主子式 ，由此可得A0iiijiijjijjijijjaaa aa aaa4，因此，的绝对值不可能都小于，所以，或2iijjijjiija aa aa,iijja aijaijiiaa，故中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到ijjjaaA性质性质4 48 若是正定矩阵，则，是正定矩阵，其中AkAAkE0k 证明证明由是正定矩阵，可知的特征值，则的特征值AA120,0,0nkA，因此是正定矩阵0(1,2,)ikinkA同理可得的特征值，因此也是正定AkE120,0,0nkkkAkE矩阵性质性质5 57 若是正定矩阵，则，是正

15、定矩阵，其中表示的逆矩阵，A1A*A1AA表示的伴随矩阵*AA证明证明 首先证是正定矩阵1A因为是正定矩阵，所以可逆且，则有AATAA， 111TTAAA即为实对称矩阵1A设的特征值为，因为是正定矩阵正定，所以A12,n A0(1,2,)iin故的特征值，因此也是正定矩阵1A111120,0,0n1A再证是正定矩阵*A由，可得，即是实*1AA A 1111TTTA AA AA AA A *TAA*A对称矩阵因为的特征值，所以是正定矩阵*A120,0,0nAAA*A性质性质6 6 1若是正定矩阵，则对于任意整数，都是正定矩阵AkkA证明证明当时，显然是正定矩阵0k kAE当时，由于，而，有性质可

16、知，也是正定矩阵，故0k kk 1kkAA1A下面只需假定为正整数即可k 当为偶数时，由于，且，由正定矩阵的等价条件(6)可知kTAA22TkkkAAA kA是正定矩阵 当为奇数时，由于是正定矩阵，故存在实可逆矩阵，使kACTAC C由此可得：，从而仍由正定矩阵的111111222222TkkkkkkkTAAAAAC CACACA 5等价条件(6)可知，是正定矩阵kA性质性质7 74 设为阶正定矩阵，则，其中为 的主对角元素.An1122nnAa aaiia1,2,inA证明证明 设，其中为 的阶顺序主子式，1TnnAAa=1AA1n121,Tnnnnaaa那么，111111111100010

17、1nnTTTnnnnAAEEAaaAA=两边取行列式得 ：，111TnnAAaA因为是正定矩阵，所以，都是正定矩阵，那么 A1A11A由上式可知1100TAA， 1nnAAa同理，其中为的级顺序主子式阵，这样继续下去可得 121,1nnAAa2AA2n .12-1, -11122nnnnnnnnAAaAaaa aa性质性质8 85任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵证明证明设,都是正定矩阵，又设由,是正定矩阵，可得AB,0a b AB则有,TTAABB，TTTaAbBaAbBaAbB所以是实对称矩阵因为对任意有aAbB0()nXXR，()TTTXa

18、AbB XaX AXbX BX由性质4可知是正定矩阵，则有，所以,aA bB0TaX AX 0TbX BX 因此是正定矩阵()0TXaAbB XaAbB6多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明：（1）当时已证明命题成立；2n （2）假设时命题成立，现证明时命题也成立1nk1nk设是同阶正定矩阵，对任意有12,1,kkA AA A121,0kka aa a0()nXXR，11111111()0TTTTkkkkkkkkXa Aa AaAXa X A Xa X A XaX AX其中每一项均为正所以当时，结论成立1nk综合（1）（2）可知，对于一切的自然数，多个正定矩阵的正线

19、性组合必为正n定矩阵性质性质9 98 如果是正定矩阵，是任意实数，则存在正定矩阵，使得AmBmAB证明由于是正定矩阵，所以存在正交矩阵，使，其中AQ100TnQ AQ，所以1,0n100TnAQQ令，则，结论得证 100mTmnBQQmAB三、正定矩阵的有关定理定理定理2 25若，都是正定矩阵，则是正定矩阵AB00AB由定理2的推广，可以得到如下推论：推论推论2 2若，都是正定矩阵，则ABCD是正定矩阵12340(0,1,2,3,4)0il Al Blil Cl D推论推论3 3若都是正定矩阵，则是正定矩阵12,sA AA12sAAA定理定理3 35正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵7证明证明设

20、为阶正定矩阵，为阶实对称矩阵且与合同BnAnB由正定矩阵的等价条件可知，与单位矩阵合同又因为与合同，那么BnEABA也与单位矩阵合同，即为正定矩阵nEA定理定理4 45若,是实对称矩阵，的特征值全大于，的特征值全大于若ABAaBb，则是正定矩阵0abAB证明证明性质5已证得是实对称矩阵，且由已知条件可知，都是正定矩阵，ABAaEBbE由性质5可得是正定矩阵()()AaEBbE设是的任一特征值，则AB，()()()()EABabEAaEBbE这表明是的特征值由于是正定矩阵()ab()()AaEBbE()()AaEBbE，故，所以，即的特征值全大于 ，从而为正()0ab()0abAB0AB定矩阵推

21、论推论4 4设都是实对称矩阵，的特征值均大于若12,sA AAiA(1,2, )ia is，则是正定矩阵10siia12sAAA定理定理5 59 若,是正定矩阵，则是正定矩阵的充要条件是ABABABBA证明证明 必要性：设是正定矩阵，则是实对称矩阵，从而ABABTTTABABB ABA充分性：由知，故是实对称矩阵ABBATTTABB ABAABAB由于正定，存在可逆矩阵使得，从而BPTBP P，11()TTTABAP PP PAP PPPAPP即与相似，因而与有相同的特征值因为正定，故也正定ABTPAPABTPAPATPAP，的特征值全大于零，故的特征值全大于零，所以是正定矩阵TPAPABAB

22、定理定理6 67若是实对称矩阵，且可逆，则是正定矩阵AA2A证明证明 由已知可知，则是实对称矩阵.又因为TAA 222TTAAA2A，故与合同，从而是正定矩阵正定.121TAA AE2AE2A对定理6推广，可以得到如下推论：推论推论5 5 若是实对称矩阵，且可逆，则是正定矩阵.AA2()kAkZ8注：当满足推论的条件时，不一定是正定矩阵例如A21()kAkZ，则是实对称矩阵，且可逆显然不123AAA 212121123kkkA是正定矩阵定理定理7 76 设都是阶正定矩阵，则也是正定矩阵，其中 ,ijijAaBbn ijCcijijijca b证明证明是实对称矩阵，显然也是实对称矩阵任取，则由矩

23、阵,A BC1(,)0TnXxx,A B是正定矩阵，可知：，11110,0nnnnTTjkjkjkjkjkjkX AXa x xX BXb x x且存在阶可逆矩阵，使得，即n ijQqTBQ Q，1( ,1, )njkljlklbq qj kn所以，11111111nnnnnnnnjkjkjkjkljlkjkjkjljklkjkjklljka b x xaq qx xax qx q对任意，因为可逆，所以总存在一个 ，使得1(,)0TnXxxQl，11(,)0nTlnlx qx q(不妨设，则由可逆知的第一列中总有一个元素不为零，设为，于是10 x QQ1lq)又由是正定矩阵有：对以上的 成立所

24、以110lx q A110nnjkjljklkjkax qx ql，即为正定矩阵110nnjkjkjkjka b x xijijCa b定理定理8 86设是正定矩阵，为实矩阵，其中为的转置矩阵，则ABmnTBB为正定矩阵的充要条件是的秩TB ABB r Bn证明证明 必要性 设为正定矩阵，则对任意的维非零列向量，有TB ABnX9，于是，因此元齐次线性方程组只有X 0TTTXB ABBXA BX=0BX n0BX 零解，故系数矩阵的秩B r Bn充分性 因为，故为实对称矩阵.TTTTTB ABB A BB AB=TB AB若，则齐次线性方程组只有零解，从而对任意实维非零列向量 r Bn0BX

25、n，有又因为正定，所以对于有，于是当X0BX A0BX 0TBXA BX0X 时，有，故为正定矩阵. 0TTTXB AB XBXA BX=TB AB四、正定矩阵的判定方法(一)定义法阶实对称矩阵称为正定矩阵，如果对于任意维实非零向量，都有nAnX则实对称矩阵简称为正定矩阵，记作：0TX AX A0A用定义证明矩阵是正定矩阵需证明两点：A(1)为实对称矩阵A(2)对任意的非零向量，X0TX AX 运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则可以确定该矩阵属于正定矩阵例例1 1设是实矩阵，且是列满秩

26、，即，证明是正定矩阵AnmA r AmTA A证明证明首先，因为，所以，是实对称矩阵 TTTTTTA AAAA ATA A其次，由可知，齐次线性方程组只有零解因此，对任意维列 r Am0AX m向量，必有，不妨设，则是一组不全为零0X 0AX 12,TnAXa aa12,na aa的实数从而，对任意维列向量，二次型m0X ， 210nTTTiiXA A XAXAXa即二次型正定，所以矩阵是正定矩阵TTXA A XTA A例例2设是矩阵，证明当时，是正定矩阵AmnTBEA A0B10证明证明因为，故是阶实对称矩阵，对于任意的维实向TTTTBEA AEA ABBnn量，有0 x 22TTTTTTx

27、 Bxx xx A Axx xAxAxxAx由于，则恒有，而，因此，由定义可0 x 020 x20Ax00Tx Bxx 得是正定矩阵B(二)主子式法若矩阵的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵为正定矩阵AA运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得然后根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵，但是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵例例3 3 设二次型，判定该二次型的矩阵是2221231231213,65744fx x xxxxx xx x否属于正定矩阵. 解解 二次型的矩阵为，622250207A 其各阶顺序主子式分别

28、为全大于零，所以矩阵123626,26,16225DDDA是正定矩阵A例例4 4 取何值时，二次型的矩阵是正定矩阵t222112132233222410fxx xx xxtx xx解解二次型对应的矩阵为f，1111221210Att要使矩阵正定，必须使的各阶顺序主子式全大于零，即满足AA 121110,10,12DD，22231110121944104484(2)00219DAtttttttt 11得到，所以，当时，二次型的矩阵是正定矩阵21t ( 2,1)t f(三)特征值法若矩阵的特征值全为正数，则矩阵为正定矩阵AA运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，若所有特征值都为正数则可

29、以判定该矩阵属于正定矩阵如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算出特征值的具体值直接判定此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或根据已知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵例例5 5已知是阶实对称正定矩阵，证明是正定矩阵,A AEn1EA证明证明由可知，是对称矩阵设 111TTTEAEAEA1EA是的特征值，则的特征值，即，12,n AAE1210,1 ,10n 1i那么，从而11i110i综上可得：的特征值全为正数，即是正定矩阵1EA1EA例例6 6判定元二次型的矩阵是否属于正定矩阵n12111nniiiiifxx x解解二次型的矩阵为f111221112211122n nA则，

30、记21111211111,1,1221121AE 111,1,11B 由可得，的特征值是与 （重）于是的特征值是(2BnBBn01n A111 ,22n 1n 重) 的特征值全为正数，故属于正定矩阵AA例例7 7设是阶实对称矩阵，且满足，证明是正定矩阵An43234640AAAAEA12证明证明设是矩阵的特征值，是矩阵的属于特征值的特征向量，则有AA，432432346434640AAAAE因为，所以，即043234640，22120由于是实对称矩阵，故由上式可知矩阵的特征值为或，即矩阵的特征AAA值全为正数，从而可得是正定矩阵A(四)与单位矩阵合同法E正定二次型的规范形为，而规范形的矩阵为单

31、位矩12,nfx xx22212nyyy阵，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵合同EE此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对应的二次型是否大于零，也不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单位矩阵合同即可此法适用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵例例8 8已知是阶可逆矩阵，证明是正定矩阵AnTA A证明证明由于，则是对称矩阵TTTA AA ATA A因为，且是可逆矩阵，所以与是合同矩阵，从而是正定TTA AA EAATA AETA A矩阵例例9 9 用此法证明分块矩阵是正定矩阵，其中分别为阶正定矩阵00AQB,A B,m n证明证明由于矩阵为正定矩阵，故存在

32、可逆矩阵和，使得,A Bm mCn nD，,TTmnC ACED BDE令，则，且为阶可逆矩阵00CPD00TTTCPDPmn，0000000000TTmTTTnEACCC ACP QPEBDDD BD所以，矩阵与单位矩阵合同，故分块矩阵是正定矩阵QE00AQB13五、正定矩阵的应用(一)正定矩阵在不等式中的应用实对称矩阵是正定矩阵是由于其对应的实二次型（其中ATXAX12,nXx xx）正定，而二次型正定是指对于任意恒有因此可以利用此性质来证明0X000TX AX不等式是否成立例例1010 证明不等式（其中是不全为零的实数）成立22212312134222xxxx xx x123,x x x

33、证明证明令，其系数矩阵为2221231231213,4222fx x xxxxx xx x，1-11-140102A的各阶顺序主子式为，则为正定矩阵因此A11221-1=10,=30,20-14AAAA对于任意一组不全为零的都有，故原不等式成立123,x x x123,0fx x x例例1111 证明不等式成立2211nniiiinXX（）证明证明令，则二次型为2211nnTiiiifnXXX AX（），1212111111,111nXnXfXXXnXnnA的各阶顺序主子式，所以是半A211221110,20,011nAnAnnAn A正定的，那么二次型是半正定的，即

34、故原不等式成立0f (二)正定矩阵在多元函数极值问题中的应用在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解决.定义定义7 72设元实函数在的某个邻域内存在一阶、n12()(,)nf Xf x xx12(,)TnnXx xxR二阶连续偏导数记,称为函数在点12()()()(),nf Xf Xf Xf Xxxx()f X()f X处的梯度12( ,)TnXx xx定义定义8 82，此矩阵称为函数222211212222212()()()()()()()()nijn nnnnf Xf Xf Xxx xx xf XH Xx xf Xf Xf Xxxxxx 在点处的(Hessi

35、an)黑塞矩阵则是由的个12()( ,)nf Xf x xxnXR()H X()f X2n二阶偏导数构成的阶实对称矩阵n定理定理9 92(极值必要条件)设函数在点处可微，且为该函数的极值点()f X000012(,)TnXxxx0X，则1)必为的稳定点，即.0X()f X0()0f X2) 若在的某领域存在连续二阶偏导数，则当为极小值时，()f X0X0U X0fX在的黑塞矩阵为正定或正半定；则当为极大值时，在的黑塞()f X0X0fX()f X0X15矩阵为负定或负半定定理定理10102(极值充分条件)设函数在点的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数时()f X0nXR，且则：000012()()()(),0nf Xf Xf Xf Xxxx(1)当是正定矩阵时，在处取得极小值；0()H X()f X0X(2)当是负定矩阵时，在处取得极大值； 0()H X()f X0X(3)当是不定矩阵时，在处不取极值0()H X()f X0X例例1212求多元函数的极值.222( , , )22244f x y zxyzxyz解解先求驻点，由， 解得220440440 xyzfxfyfz1,1,1xyz 可得驻点为0( 1, 1,1)P 再求(Hessian)黑塞矩阵，因为，所