函数与方程-1981-2018年历年数学联赛48套真题WORD版分类汇编含详细答案

1、1981年2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编2、函数与方程部分2018A 5、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间0,1上严格递减，且满足f( ) 1,1 x 2 ，f(2 ) 2,则不等式组的解集为1 f (x) 2答案： 2,8 2解析：由f(x)为偶函数及在区间 0,1上严格递减知，f (x)在 1,0上递增，结合周期性知，f (x)在 1,2 上递增，又 f( 2) f( ) 1, f(8 2 ) f( 2 )f(2 ) 2,所以不等式等价于 f (2) f(x) f (8 2 ),又12 8 22所以 2x82,即不等式的解集为2,8 22018A , B 9、

2、(本题满分 16分)log 3 x 10x9已知定义在 R上的函数f(x)为f(x) 1 L ,，设a,b,c是三个互不相同的4 v x ,x 9实数，满足f(a) f(b) f(c),求abc的取值范围。解析：不妨设a b c,由于f(x)在0,3上递减，在3,9上递增，在9, 上递减，且f (3) 0,f (9) 1,结合图像知： a 0,3 , b 3,9 , c 9, ，且 f (a) f (b) f (c)0,1 。由 f(a)f (b)得 10g3a 10g3b2 ,即ab 9 ,此时 abc9c,又 f(c)4 7c,由 0 4 屁1得c9,16 ,所以 abc9c81,144

3、。2018B 7、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,2上严格递减，且满足f( ) 1,一 0x1f (2 ) 0,则不等式组的解集为0 f (x) 1答案：26,4解析：由f(x)为偶函数及在区间1,2上严格递减知，f(x)在 2, 1上递增，结合周期性知,f(x)在0,1上递增，又 f (4) f ( ) 1 , f(26) f (2 ) 0 ,所以不等式等价于f (26) f(x) f(4)，又0 26 41 ,即不等式的解集为26,42017A1、设f(x)是定义在R上函数，对任意的实数时，f(x) log 2(9 射，则£( 100)的值为 答案：-2 解

4、析：由条件知，f(x 7)f(x)1,即f(x函数f(x)的周期为14,所以f( 100) f( 2)2017B 3、设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)值为 答案：74 解析：由条件知，f(1) 1(f( 1) ( 1)2)两式相加消去f ( 1),可知：2f (1) 3x 有 f (x 3) f(x 4)1 ,又当 0 x 77)f(x 14)1 ,故 f(x) f(x 14),即11而2x2是奇函数，f (x) 2x是偶函数，则f(1)的，1f( 1) 1, f(1) 2 f( 1)21一,即 f(1) 22016A 3、正实数口，丫，w 均不等于 1,若 logu vw logv

5、w 5 , log v u logw v 3,则 logwV的值为4答案：4 5解析：令 logu v a , log v w b,则,1.1,logvU - , log w v - , log u vw logu v logu v?log v w a ab ablog wU log w v?log v u2016A 10、(本题满分20分)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)1 ,且对任意x 0,均有xf)xf(x)。求f(1)f()f () f ()10029911f(3)f(98)1一斛析：设 anf()(n=1, 2, 3,)，则 a1nf(1) 1 ., x 、在f ()xf(x)中

6、取xx 11 ,.x一(k N*),注意到kx 11k1 1 k，及f (x)为奇函数.可知心)11-f(-) k k即如ak一,从而an kn 1 a? ak 1a1 ？k 1因此50ai a101 i 1501 (i1)!(100 i)!ak4911_1 k (n11)!10分i!?(99i)!49c i C9999! i 0199! i49以 c9990i)99! 229929899!20分2015A1、设a、b为两不相等的实数，若二次函数f(x)axb满足f(a) f(b),则 f(2)的值为答案：4解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得a _一，即2a b 0 ,所以2f (

7、2) 4 2ab 4.2015A 9、(本题满分16分)若实数a,b,c满足2a4b2c,4a2b4c,求c的最小值。解析：将2a,2b, 2c分别记为x,y,z,则x, y,z 0 .由条件知，x y2 z,x2 y z2,故z2 y(z2 2 y )2y2z y4 . 8 分因此，结合平均值不等式可得,4z 1(2y22V4o 1当2y2 ,即yy由于 c log 2 z ,11、12 1 133- 八)332y 22. . 12 分y y 4 ; y y 4工时，z的最小值为-V2 (此时相应的X值为33/2,符合要求).3 244 3l5故 c的取小值 log2(-2) log23 -

8、 . 16分2016B 4、已知f(x) , g(x)均为定义在 R上的函数，f(x)的图像关于直线 x 1对称，g(x)的图像关于点(1, 2)中心对称，且f(x) g(x) 9x x3 1,则f(2)g(2)的值为答案:2016解析：由条件知f 0 g 02,f 2 g 281 8 1 90.由f x ,g x图像的对称性，可得 f 0 f 2 ,g 0 g 24,结合知，f 2 g 24fo g0 2.由、解得 f 248,g 242,从而 f 2 g 248 42 2016.另解：因为f x g x 9x x3 1 ,所以f 2 g 290.因为f x的图像关于直线x 1对称，所以f

9、x f 2 x .又因为gx的图像关于点1, 2中心对称，所以函数h x g x 12是奇函数，h x h x , g x 12 g x 12 ,从而 g x g 2 x 4.将、代入，再移项，得 f 2 x g 2 x 9x x3 5.在式中令x 0 ,得f 2 g 26.由、解得 f 248, g 246.于是f 2 g 22016.11-的值为 b答案:108解析:log 2 a 3 log 3 blog6(a b) k ,则 a 2k 2 , b3k 3a b 6k，从而a babOk6222333108。a x2015B1、已知函数 f (x), xalog20,3(3,),其中a为

10、常数，如果f (2)f (4),则a的取值范围为答案： 2,解析：f(2) a2, f (4) 2a,所以2a ,解得：a2014A1、若正数 a、b满足 2 log2 a 2 10g3b 10g6(a b),贝U a._3 _ _2015B 2、已知y f(x) x3为偶函数，且 f(10) 15 ,贝U f( 10)的值为答案:2015解析：由己知得 f( 10) ( 10)3 f (10) 103,即 f ( 10) f (10) 2000=2015.22014A 3、若函数f (x) x a | x 1|在0,)上单倜递增，则实数 a的取值范围为 答案：2,0a 解析：在1,)上，f

11、(x) x2 ax a单调递增，等价于 一1,即a 2。在0,1上， 2f (x) x2 ax a单调递增，等价于 a 0,即a 0,因此实数a的取值范围是2,0 22014B1、若函数f(x)的图像是由依次连接点(0,0), (1,1) , (2,3)的折线，则f 1(2) 3 答案：323 一 3 一解析：可求得直线 y 2与函数图像的交点为一,2 ,即f 2,根据反函数的性质知22f 1(2) 3。22014B 8、设g(X)7x(1 X),是定义在区间0,1上的函数，则函数y Xg(X)的图像与X轴所围成图形的面积为 答案：一16解析：显然g(x)的图像与x轴围成一个半圆，我们用A表示

12、xg(x)与x轴围成的图形。直线2x 1是半圆的对称轴，它将 A分成左右两个部分。我们知道：1xg(x) (1 x)g(1 x) xg(x) (1 x)g(x) g(x) (0 X 一)，这个式子的几何息乂如下图所2示：根据祖咂原理的二维形式，A的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。即我们21 11要求的面积是11 一。42162014B二、(本题满分40分)在同一直角坐标系中，函数 f(x) Max 4 (a 0)与其反函数 y f 1(x)的图像恰有三个不同的交点.求实数a的取值范围，并证明你的结论。1解析：由题意可得其反函数 f 1(x) - x2 4 ,记f(x)与其反

13、函数f 1(x)的父点坐标为 u,v , au2 av 4则 2，两式子相减得 u vu v a 0,得u v或u v a 0,v au 4若a 0,显然两个函数的图像都在第一象限，所以u v a 0,联立u v和2u av 4 ,得到一个交点(另一个是负数)，与题目要求三个交点不相符，故 a 0当a 0时，联立uv和u2 av 4 ,得交点a a2 16 a - a2 16,;联立u v a 0和u2 av 4,得交点a . 3a2 16 a 、3a2 162,2或 a V 3a 16, a v 3a W ,考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故 22216 3a2 0的/日；丁解得a .16

14、 3a2 04、. 332,即所求的范围为4 3 八V，2。2013A 5、设a,b为实数，函数f(x)值为-1答案：14ax b满足：对任意x0,1,都有f (x) 1,则ab的最大解析：由题意得a f(1) f(0), b f (0)121 21 21所 以 ab f (0) f (1) f(0)f(0) -f(1)-f2(1) -f2(1) 41.1,12f(0) f (1)1,即a b 时，ab ,故所求最大值为 一2442013A 7、若实数x, y满足x 4yly 2tx y,则实数x的取值范围为 答案:04,20斗r, f a解析：令y a,枢y b ,显然a 0, b 0,且x

15、 a2 b2 , x 4jy 2&""y 即为 a2 b2 4a 2b,/ J p ： /22亦为a 2 b 15( a 0, b 0),以a,b为坐标。4 方作图如图示，在平面aOb内，a,b的轨迹为如图所示的实线部分含原点O ,因此Ja2 b202,2<5，即 x a2 b204,20 。2013A 11、（本题满分20分）设函数f（x）2 axb,求所有的正实数对（a,b）,使得对任意的实数x, y 均有 f (xy) f (x y) f(x)f(y)。解析：已知即可变为：ax2 *y2 b a x y bax2 b ay2 b 先寻找a,b所满足的必要

16、条件。式中，令y 0,的对任意的x都有1 b ax22b 2 b 0 ,由于a 0 ,故ax可以取到任息大的正值，因此必有1 b 0 ,即0 b1。式中，令yx ,得 ax4bb22ax b ，即对任意实数x , 有2422a a x 2abx 2b b 0 记 g(x)2 4 _ . 2.21,、a a x2abx2b b , IP g(x)222 bba a x 2 2a b1 a 1 a要g（x） 0恒成立，则a a 0b。 u 2即 0a1，0b1，2ab 22 2a b 01 a下面证明对满足的任意实数对a,b及任意实数x, y,总有成立，令 h(x,y) (a a2)x2y2 a(

17、1 b)(x2 y2) 2axy (2b b2) 0恒成立，事实上，在成立时，有 a(1b)0, aa20, -b- 22ab 0,又 x2y22xy,1 a可得 h(x,y) (a a2)x2y2a(1b)(x2y2) 2axy (2bb2)2 2 22(a a2)x2y2a(1 b)( 2xy) 2axy (2b b2)3 2 2_2(a a )x y 2abxy (2b b )综上所述，满足条件的（a,b）为a,b0 b 1,0 a 1,2a b 2。2013B 2、设 i/彳为虚数单位，则i 2i23i32013i2013答案:10061007i解析:因为i2i23i3 L 2013i

18、20132010 201211005项2011 2013 i 1006 1007i1006 项2013B 5、在区间0,中，方程sin12xX的解的个数为答案：4解析：因为当1时,sin12xx,方程无解；当 x 0,1时，312 4 ,做出sin12x 及 yx的图像即可得到。2013B 6、定义在实数上的函数答案:解析:因为x2sin34,又当x2013B 7、设a,b为实数，函数 f x答案:解析:由题意得a f(1) f(0),ab f(0) f (1) f(0)sin x所以所求最小值为R的最小值是2、. 3ax b满足：对任意b f(0)21 1f(0) - f(1)4f(x)0,

19、1 ，1,则ab的最大值f2(1) 142f (1)r1 ,112f(0)f(1)1,即a b时，ab,故所求最大值为一。2442012A 3、设 x,y,z 0,1,则 M J|x y | |y z| ?| z x | 的最大值为 答案：2 1 解析：不妨设0 x y z 1,则M C因为 y x ,Zy 2(y x) (z y) . 2(z x).所以 M ,2(z x)z-x (. 2 1).z_x 2 1.当且仅当y x z y,x 0,z 1,y 1时上式等号同时成立.故Mmax 72 1. 222012A 6、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) x .若对任

20、意的x a,a 2,不等式f(x a) 2 f (x)恒成立，则实数a的取值范围是 答案：、2,).2 解析：由题设知f(x) x (x )，则2 f (x) f (J2x).因此，原不等式等价于 x2(x 0)f (x a) f ( . 2x).因为f(x)在R上是增函数，所以x a J5x,即a (J2 1)x.又x a,a 2,所以当x a 2时，(& 1)x取得最大值(72 1)(a 2).因此，a (近 1)(a 2),解得a 72.故a的取值范围是收).2012A 9、(本题满分16分)1R,a0.已知函数 f(x) asinx cos2x2若对任意x R,都有f(x) 0

21、,求实数a的取值范围;若a 2 ,且存在x R,使得f (x) 0 ,求实数a的取值范围;解析：令t sin x ,则 1 t1 ,函数 f (x)即为 g(t)t2 at3、a 一，由 f (x) ag(t) 0对任意 1 t 1恒成立，即g(1)g(1)1 2 a2a 3 a故所求实数a的取值范围为 0,1因为a 2,所以g(t)的对称轴x,有g(t)在1,1上递增,3所以g(t)的最小值为g( 1) 1 一即f (x)的最小值为13,又a 2 ,故所求实数a的取值范围为2,33，,-x2012B 4、若关于x的不等式组 2x3x22ax0)的整数解有且只有一个，则取值范围为3 4答案：3

22、,44 3解析：由x33x2x 3 0解得1,所以不等式组的唯一整数解只可能为f (x)x2 2ax1,由于对称轴0 ,所以整数解只能是2 ,因此有f( 2) 3f(2) 3f(3) 84a 0一34a 0 ,斛得一46a4 E故所求范围为32012B 7、设函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x) x2.若对任意的x a,a不等式f(x a) 2 f (x)恒成立，则实数a的取值范围是 答案：.2,).x2(x 0)解析：由题设知f(x) () ，则2 f (x) f (J2x).因此，原不等式等价于x2(x 0)f(x a)f(72x).因为f(x)在R上是增函数，所以x

23、a T2x,即a (42 1)x.又x a, a2,所以当x a 2时，(J2 1)x取得最大值(J2 1)(a2).因止匕,a(J2 1)(a 2),解得aJ2.故a的取值范围是J2,).2012B 9、已知函数(本题满分16分)一、 ,1cf (x) asin x - cos2x a2若对任意x R,都有f(x) 0,求实数a的取值范围;若a 2,且存在x R,使得f (x)0 ,求实数a的取值范围；解析：令t sin x ,则 1 t1 ,函数f (x)即为g(t) t2at3 一a 一,由 f (x)ag(t) 0对任意 1 t 1恒成立，即g(1)g(1)1 E a2a B a故所求

24、实数a的取值范围为 0,1因为a 2,所以g(t)的对称轴x1,有g(t)在1,1上递增,3所以g(t)的最小值为g( 1) 1 - a即f (x)的最小值为13,由1 a3,又a 2,故所求实数a的取值范围为2,32011A 2、函数_ x2 1 f (x)的值域为1答案：(U(1,解析：提示:tanf(x) 上0-tan 11sin cos.2 sin(.2 sin()-),则22.u42,(1,2).r-1且u 0,所以f (x)( u112011A 3、设 a,b为正实数，一一2<2 , (a a b答案：111解析：由一 一 2/2，得 a b 242ab .a bb)24(a

25、b)3,贝U logab 又(a b)2 4ab (a b)24ab 4(ab)3 4 2vab (ab)3 8(ab)2,即 a b 272ab.242ab .再由不等式中等号成立的条件,ab 1 .与联立解得,2 1 -L 或,2 1,11,故 log a bb 1、f( ) , f (10a 6b 21) 41g 2 .b 22011A 9、(本题满分16分)已知函数f(x) 11g(x 1)|,实数a,b (a b)满足f(a)求实数a,b的值。b 1、b 11解析：因为 f(a) f( )，所以 |1g(a 1)| |1g( 1)| |1g()| |1g(b 2)|, b 2b 2b

26、 2所以 a 1 b 2或(a 1)(b 2) 1,又因为 a b,所以 a 1 b 2,所以(a 1)(b 2) 1 .又由f(a) |1g(a 1)|有意义知0 a 1 ,从而0 a 1 b 1 b 2,于是 0 a 1 1 b 2.10,所以(10a 6b 21) 1 10(a 1) 6(b 2) 6(b 2) 1.b 21010从而 f (10a 6b 21) 11g6(b 2) | 1g6(b 2) .b 2b 210又 f(10a 6b 21) 41g2 ,所以 1g6(b 2) 41g 2, b 2一101 .故6(b 2) 16 .解得b 或b 1 (舍去).b 231 2把b

27、 一代入(a 1)(b 2) 1解得a -.3 5 ,2所以a b52011B 3、若正实数1a,b满足一 a234(ab),贝U log a b答案：1一 ,11解析：由一 一a b2j2ab .又(a b)24ab(a b)24ab4(ab)3 4 2 . ab (ab)328(ab),即 a2v2ab .再由不等式中等号成立的条件,ab 1 .与联立解得.221,1,2011B 9、（本题满分16分）已知实数x, y, z满足：x y3.求实数x的取值范围解析:代入ty t2由方程有实根,得 t24(t2t 1) 0,解得由方程z可得y、4 4t 3t22t 4 4t 3t -，即2 3

28、t弋4224t 3t2 ,解得t 0 ,综上可得0t 1,5,所以实数x的取值范围为315I, o3且满足28 ,求a b c的最大值.2011B三、（本题满分50分）设实数a,b,c 1,222abc 2a 2b 2c ca cb 4a 4b c解析：由已知等式可得，a 12 b12c2 1a1b1c162令a/ a 1, b/ b 1,则a a/ 1, b b/ 1,则式等价于/ 2/ 221/ /a b c-a b c 16 2易知 mina/,b/,c 4.令 1 a/ b/ c,则 a b c (a 1) (b 1) c a/ b/ c 1。设 f(x) (x a/)(x b/)(x

29、 c) x答案： 3 a 122解析：令 sinxt ,则原函数化为 g(t)( at2a 3)t ,即g(t) at3(a 3)t.由at3 (a3)t3, at(t2 1)3(t 1) 0, (t 1)(at(t1) 3)0 及t 10 知,.、一 一 一 ,2、 一at(t 1) 3 0 即 a(t t) 3.(1) lx2 (a/b/ b/c ca/)x a/b/c,则_ 2_f (4)21161 32。/13_当x min a ,b ,c时，由平均不等式得 (x a )(x b )(x c) , 3x 12713213.32所以 f(4) 12 1 ，从而 212 161 32 12

30、 1 ，整理得 13 1812 27 32 0,2727即 1 6 12 241 6 240 ,所以 16。式中等号成立的条件是x a/ x b/x c,即a/ b/ c,代入得a/b/ c 2,因此a 3,b 1,c 2, 1的最大值即a b c的最大值为6。2010AB1、函数 f (x) Vx 5 v24 3x 的值域为 答案:3, . 3解析：易知f(x)的定义域是 5,8，且f(x)在5,8上是增函数，从而可知f(x)的值域为3,<3.一 一一，22010AB 2、已知函数y (a cos x 3)sinx的最小值为3 ,则实数a的取值范围为 2_12当 t 0, 1时(1)总

31、成立；对 0 t 1,0 t t 2 ；对 1 t 0, t t 0.43从而可知一 a 122 2x x2010AB 5、函数f(x) a 3a 2 ( a 0,且a 1)在区间x 1,1上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值为 -1答案：143解析：令axy,则原函数化为g(y) y2 3y 2,g(y)在(一,+ )上是递增的.2当 0 a 1 时，y a,a 1 , g(y)max a 2 3a 1 2 8 a 1 2 a -,2、，1211所以g(y)min(-)3二2二；224当 a 1时，y a 1,a, g(y)max a2 3a 2 8 a 2,所以 g(y)min2 2

32、3 2 1 21.4八，一，一，1综上f(x)在x 1,1上的最小值为-.42010AB 9、(本题满分16分)已知函数f(x) ax3 bx2 cx d, (a 0),当0 x 1时，f/(x) 1,求实数a的最大值。f (0) c,2 c13斛析：斛法一： f (x) 3ax 2bx c,由 f (一) a b c,得 24f (1) 3a 2b c13a 2f (0) 2f 4f (-).2所以 3a 2f (0) 2f (1) 4f (；)2 f (0) 2f 4 f (；)8,所以a8一.又易知当f (x) 38x3 4x2 x 3m ( m为常数)满足题设条件，所以 a最大值为8.

33、3解法f (x) 3ax2 2bxc.设 g(x)f (x) 1 ,则当 0 x 1 时，0 g(x) 2., z 1设 z 2x 1 ,则 x ,1 z 1z 1 3a 2hF 723a 2b 3a z b c4容易知道当1 z 1时，0 h(z)2,0 h( z)1.2.从而当 1 z 1时,0 h(z) h( z)2从而里b c 142 ,即0 3a z2 40, 3az2 2,由3abe 142,又易知当f(x)48x3x3.2一4x x m2010A 11、(本题满分20分)正整数数列证明：令f (x) 2x3 13f(0)2 0, f(-)-24即2r r451 r3故数列an3n

34、 2(n0 z21 知 a(m为常数)满足题设条件，所以 a最大值为8 . 3证明：方程2x3 5x 20恰有一个实根r,且存在唯一严格递增的ra15x0,1,2,若存在两个不同的正整数数列a1a2r rra3rb1a2 a3r r 。2 ,则 f (x) 6x2故f(x)有唯一实数根io -r L .1r (0,-).所以2)是满足题设要求的数列a1a2rb2rb3f(x)是严格递增的.又2r3 5r 2 0,an 和 b1b2bn满足S1S2r rS3 rt1r rt2这里SiS2 s 3,t1t2t3所有的不妨设S1rs1rs1r s2矛盾.故满足题设的数列是唯一的-,去掉上面等式两边相

35、同的项，有 5Si与tj都是不同的.rt1t2r ,2009*1、函数 f(X) , X 一 且 f (X) .1 X2fff f(x),则 f(99)(1) n个f答案:解析:110由题意得f(1)(x)f(x)(99)/ f (X)X-故1 99xf (99) (1)X1 X21.10f(2)(X)ff (X)k的取值范围为2009*6、若关于x的方程Igkx 2lg(x 1)仅有一个实根，则实数答案：k 0或k 4kx 0解析：由题意，方程等价于x 1 0,当且仅当kx (x 1)22_kx 0 (1); x 1 0 (2)； X (2 k)x 1 0(3)对(3)由求根公式得x1,x2

36、 -k 2 Vk2 4k(4)2又 k2 4k 0 k 0 或 k 4x1 x2 k 2 0(i)当k 0时，由(3)得，所以x1x2同为负根。X1X2 1 0,X1 1 0 又由(4)知， 1，所以原方程有一个解 X1 oX2 1 0k (ii)当k 4时，原方程有一个解 x - 1 1.2,.,X1 x2 k 2 0(iii)当k 4时，由(3)得，所以X1,X2同为正根，且X1 X2,不合题意。X1X21 0综上可得k 0或k 4为所求。2009*11、(本题满分15分)求函数y Jx 27 J13X JX的最大和最小值。解析：函数的定义域为0,13。因为 y & Jx 27 J

37、13 x Jx 27 (13 2jx(13 x).271333 .13当x 0时等号成立。故y的最小值为3。3 J13又由柯西不等式得 y2 (.x x 27.13 x)21 1(1 -)(2x (x 27) 3(13 x) 121,2 3所以y 1110分由柯西不等式等号成立的条件，得4x 9(13 x) x 27,解得x 9 .故当x 9时等号成立。因此y的最大值为11. 15分5 4x x2008AB1、函数f(x) 在(，2)上的取小值为()2 xA. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析： 当 x 2 时， 2 x 0,因此 f(x) 因此f2(2)2a2(4-4x-x-) (2

38、x) 2 J (2 x) 2 x 2 x. 2 x2,当且仅当2 x时取等号.而此方程有解x 1 (,2),因此f(x)在(，2)上的最小2 x值为2.2008A 7、设 f (x)ax b ,其中a, b为实数，f1(x)f(x) , fn 1(x)f(fn(x), n 1,2,3,若 f7(x) 128x 381,则 a b 答案：5 n解析：由题意知fn(x)anx(an1an2 L a 1)banx-1b，由f7(x)128x 381 得a 17a7 128, a1b 381 ,因此 a 2, b 3, a b 5. a 12008B 7、设 f(x) ax b,其中 a,b 为实数，

39、f(x)f(x) , fn i(x) f (fn (x), n 1,2,3,若 f7(x) 128x 381,则 fz(2) 答案：17n 解析：由题息知 fn(x) a x (a a L a 1)b anx -1b, a 17由 f7(x) 128x 381 得 a 128, a1 b 381，因此 a 2, b 3.a 1一一 一.一 .12008AB 8、设 f (x) cos2x 2a(1 cosx)的最小值为 一，贝U头数 a2答案：2.3解析:f(x)22cos x 1 2a 2acosx 2(cosx2)22a 1, a 2时，f(x)当cosx 1时取最小值1 4a；(2) a

40、 2时，f(x)当cosx 1时取最小值1; 2 a 2时，f(x)当cosx时取最小值la2 2a 1 -22又a 2或a 2时，f(x)的c不能为 1,故 1a22a 11222解得a 2 a 2褥(舍去).2008A 11、设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)2008 ,且对任意x R ,满足f (x 2) f (x) 3 2x, f (x 6)f (x) 63 2x,贝U f (2008) 答案：22008 2007解析：方法一：由题设条件知f(x 2) f(x) (f(x 4) f(x 2) (f(x 6) 3 2x 2 3 2x 4 63 2x 3 2x,因此有 f (x 2)

41、 f(x) 3 2x,故f(x 4)(f(x 6) f(x)f (2008) f (2008) f(2006) 2006-2004,3 (22L1003 1A413 f(0) 4 122008 2007.方法二：令 g(x) f(x) 2x,则 g(x 2) g(x) f (x 2) g(x 6) g(x) f (x 6) 即 g(x 2) g(x),g(x 6) g(x),f (2006) f (2004) L一 2一21) f(0)f(2) f(0)x 2 xxxf (x)223 23 20 ,x 6 xxxf (x)2263 26320,故 g(x) g(x 6) g(x 4) g(x

42、2)f(0)g(x),得g(x)是周期为的周期函数，所以 f(2008)g(2008) 22008 g(0) 2200822008 2007.2008B 11 、设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)2009 ,且对任意x R ,满足f (x 2) f (x) 3 2x, f (x 6) f (x) 63 2x,则 f(2008) 答案：2 20082008解析：解法一由题设条件知f(x 2) f(x) (f(x 4)f(x 2) (f(x 6)f(x 4)(f (x 6) f(x)3 2x2 32x 4 63 2x 3 2x,因此有 f (x 2) f (x) 3 2x,故f (2008)

43、 f (2008) f(2006)f (2006) f (2004)f(2)f(0) f(0)2006- 2004,3 (22L22 1)f(0)1003 1 A413f(0)4 122008 2008.解法二令g (x)f (x)2x,则g(x 2)g(x)f(x 2)f(x)2x 22x0,g(x 6)g(x)f(x 6)f(x)2x 6x2632x即 g(x 2) g(x),g(x 6) g(x),故 g(x) g(x 6) g(x 4) g(x2) g(x),得g(x)是周期为2的周期函数，所以f(2008)g(2008)-20082008-20082g(0) 222008 .2008

44、A B14、解不等式 log 2(x123x10 5x83x6 1)1 10g 2 (x4 1)解析：方法一：由12 c 10x 3x分组分解得4_ 41 10g 2 (x 1) log 2(2 x2),且 10g 2 y 在(0,)上为增函数，故原不等式等价于85x12 x3x610 x1 2x4 2 ,即 x12 3x10 5x8 3x62x41 0.(x8所以x4 x2 1解得.1-52方法二：即马工x6x x8x2x102x84x8c 6,42x 4x0,即(x22x64x6 4x4642x x x42x x 10,421)(x x 1) 0,1.5、, 215、.(x-015x.故原

45、不等式解集为(栏m，2410g 2 (x1210x 3x423x4 3x2 1-41) log 2(2 x5x8 3x6 12x2 2 (x22),且 10g 2 y 在(0, 2x4 2 .1)3 2(x2 1)，片).)上为增函数，故原不等式等价于1clece 入313d)3 2(-2) (x2 1)3 2(x2 1),令 g(t) t 2t,则不等式为 g()g(x2 1),显然 g(t) t 2t x xx在R上为增函数，由此上面不等式等价于2 x2 1 ,即(x2)2 x2 1 0,解得x2 / 1 ,故原x22不等式解集为(产1,5)2008A二、(本题满分50分)设f(x)是周期

46、函数，T和1是f (x)的周期且0 T 1,证明:, ，1 一 _ 一 一一若T为有理数，则存在素数 p ,使'是f (x)的周期;P若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列an满足1 an an 10,(n 1,2,),且每个 an ( n 1,2,)都是f(x)的周期。证明：(1)若T是有理数，则存在正整数 m,n使得T 上且(m, n) 1 ,从而存在整数a,b ,使得 m1ma nb 1.于是一 mma nbma bT a 1 b T是f (x)的周期.又因0 T 1,从而m 2 .设p是m的素因子，则 m pm , m N ,从而工 m是f(x)的周期.p m(2)若T是无理数，令a1 1二T，则0 a11,且a1是无理数，令1 Ta21 a1, an1 1an, 由数学归纳法易知an均为无理数且0 an1 ,又a n an n11.1.11,故1 an an,即an 11 anan 因此an是递减数列.an ananant亦是f (x)的 T最后证：每个an是f(x)的周期.事实上，因1和T是f (x)的周期，故a1 1周期.