第2章连续时间系统的时域分析

1、第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析教学目的：教学目的：1. 掌握掌握时域法时域法求解系统全响应的求解系统全响应的两种两种方法。方法。2. 深刻理解深刻理解0到到0时刻系统状态的含义。时刻系统状态的含义。3. 掌握掌握冲激函数匹配冲激函数匹配法。法。4. 掌握单位冲激响应掌握单位冲激响应h(t)的求法。的求法。5. 掌握掌握卷积的性质卷积的性质及及卷积分析法卷积分析法。教学难点：教学难点：6. 0到到0时刻系统状态的变化。时刻系统状态的变化。7. 冲激函数匹配法。冲激函数匹配法。:,列写方程 根据元件约束 网络拓扑约束时域经典法零输入响应双零法解方程零状态响应卷积积分法变

2、换域法系统分析过程（求响应）系统分析过程（求响应）2.1 2.1 引言引言时域时域分析方法分析方法不涉及任何变换，在时域直接求解系统不涉及任何变换，在时域直接求解系统的微分、积分方程式的微分、积分方程式，这种方法比较直观，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。础。 时域分析方法时域分析方法: :本课程系统分析：先时域分析， 后变换域（频域）分析根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系

3、统的微分方程。约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。一、微分方程的列写一、微分方程的列写电阻电阻 tvRtiR1 电感电感 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiCLRS 代入上面元件伏安

4、关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 tisRRiLLiCciab tv求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tis例2-2-1这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方

5、程表示。可以用高阶微分方程表示。 msFf机械位移系统，质量为机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧 tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为擦力为 ，外加牵引力为，外加牵引力为 ，其外加牵引力，其外加牵引力 与与刚体运动速度刚体运动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 k例2-2-2线性时不变系统，若系统的参数不线性时不变系统，若系统的参数不随时间变化（集总参数系统），则该随时间变化（集总参数系统），则该系统可以用系统可以用线性常系数微分方

6、程线性常系数微分方程来描来描述。述。)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn C，E均为常数，此方程为常系数的均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：r(t)r(t)的最高阶次减去其最低阶次。二、二、n n 阶线性时不变系统的模型阶线性时不变系统的模型激励：激励：e(t)e(t)响应：响应：r(t)r(t)系统系统时域经典法：时域经典法：三、系统微分方程求解三、系统微分方程求解微分方程的解：微分方程的解：完全解齐次解完全解齐次解 + + 特解

7、特解)()()(trtrtrph(1)(1)齐次解齐次解满足方程：满足方程：0)(d)(dd)(dd)(d11110trCttrCttrCttrChnhnnhnnhn特征方程：特征方程：01110nnnnCCCC特征根为：特征根为：n,21由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式)sincos(t)rj)()(k)(r21h122111212121tctceeAeAeAtAtAtreAeAeAeAtttntktkkkhnititntthnin时：有复数根（成对出现）次重根时：有无重根时：讨论：其中有n个待定系数：Ai系统的特征方程为系统的特征方程为01216723

8、0322 3 , 221 重重根根特征根特征根 23123ee0tthr tAtAAt对应的齐次解为对应的齐次解为 的的齐齐次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233例2-3(2)(2)特解特解u将将e(t)e(t)代入方程的右端，整理得到代入方程的右端，整理得到自由项自由项; ;u根据根据自由项自由项函数式形式，设含待定系数特解；函数式形式，设含待定系数特解；u将特解函数式将特解函数式代入原方程代入原方程；u比较系数得出待定系数，从而得到特解。比较系数得出待定系数，从而得到特解。满足方程：满足方程：)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(d

9、d)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmpnpnnpnnpn如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette 给定微分方程式给定微分方程式 3221pBtBtBtr 为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端将将平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式代入方程左端得：将此式代入方程左端得： 为待定系数。这里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 343232

10、12121 例2-4等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解为所以，特解为 271092312p tttr ttBBBtBBtB2322 34323212121 激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121 ppppBtBtBtBt etB e t cos t sin tBtB sincos21 tttp sine tttp cose tDtDtDtDtBtBtBtBtpppptpppp sine

11、cose11211121 几种典型激励函数相应的特解几种典型激励函数相应的特解这里，这里，B是待定系数。代入方程后有：是待定系数。代入方程后有： 。可可选选很很明明显显时时当当ttBtrtee , ,e tttttBBBeee3e2e 31 Bte31 于是，特解为(2) tettetrttrttr dd3dd2dd22 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齐齐次次解解trtrph trAtrtrtrnitphip1ie)()(微分方程的解：微分方程的解： 完全解齐次解完全解齐次解+ +特解特解解的区间：解的区间：0 0+ +tt0 f2(t- ) 右移右移

12、t 0 f2(t- ) 左左移移 从左向右移动从左向右移动对应对应到到从从 tft2, 3 tt tf2浮动坐标浮动坐标O 1f111 3 tt tf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftftg1 tt -1（1）O 1f111 3 tt tf2 向右移向右移 tf2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限- -1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;1 t d)()()(211 tfftgt d211 tt1422 t 41242 tt-1-1 t t 1

13、1（2）2( )2tf t O 1f111 3 tt tf2 113tt即即1 1 t t 2 21112111( )( )()d2g tff tdtt1 t 2（3）O 1f111 3 tt tf2即即2 2 t t 4 4 1313tt11123321( )( )()()d2242ttg tff tdttt 2 t 4（4）O 1f111 3 tt tf2即即t t 4 4t t-3-3 1 1 0 tgt 4（5） ttttttttttg其他其他04222421114124)(22Ot tf1111 Ot tf2323)(tgtO2421 1卷积结果卷积结果(1) (1) t t ：观察

14、响应的时刻，是积分的参变量；：观察响应的时刻，是积分的参变量； : : 信号作用的时刻，积分变量信号作用的时刻，积分变量 d thetr四对卷积积分的几点认识四对卷积积分的几点认识(2) 卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h h( (t t) )建立了响应建立了响应r r( (t t) )与激励与激励e e( (t t) )之间的关系。之间的关系。 对于系统：对于系统： d)()()(thftg一般数学表示：一般数学表示： d)()()(21tfftg(3)卷积是数学方法，也可运用于其他学科卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。tA)(thO A)

15、( thO t ttAC desine0202000)cossin(ee ttACtt()0( )( ) ()dsine()dtr tehtCAut ttAC )sin(0202 0 202 )( eO ttCtetuAtht0sin)()(e)( 例2-6-2时域经典法：时域经典法：完全解完全解= =齐次解齐次解 + 特解特解完全响应自由响应强迫响应完全响应自由响应强迫响应 thte 双零法：双零法：完全响应零输入响应零状态响应完全响应零输入响应零状态响应小结小结求解全响应的方法：求解全响应的方法：卷积分析法：卷积分析法：代数性质代数性质微分积分性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲

16、激函数或阶跃函数的卷积1交换律2分配律3结合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 一代数性质 ththth21 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf 系统并联，框图表示：系统并联，框图表示： )(tg)(tf)(th)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf )()(2thtf )()()()()()(21thtfthtfthtf 结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于结论：子系统并联时，

17、总系统的冲激响应等于各各子系统冲激响应之和。子系统冲激响应之和。系统并联系统并联)()()()()()(2121ththtfththtf )()(thtf )()(21ththth 系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf )()()(21ththtf )(tg)(tf)(th结论：时域中，子系统级联时，总的冲结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。激响应等于子系统冲激响应的卷积。 系统级联系统级联)()()()()(thtfthtftg ( )( )()( )( )( )ijijgtftht)()()()()(

18、thtftgnn )()()()()()()()(thtfthtftgnnn 微分性质积分性质推广：微分性质积分性质推广：)()()()()()1()1()1(thtfthtftg 二微分积分性质二微分积分性质d ( )d ()( )( )d( )ddg th tdh tff tttdtd)()()()()(thfthtftg两端对两端对t t 求导求导 即即)()()()()(thtfthtftg 已知已知微积分性质的证明微积分性质的证明推广：推广：)()()(2121tttfttttf )( )()(tfttf d)()()( tftutf )()()(tfttfkk )()()(00ttftttf