点到直线的距离公式应用

1、点与直线问题 点P (xo, yo)到直线Ax+ By+ C=0(2)两条平行线之间的距离的距离( 运用此公式时要注意把两平行线方程x、y前面的系数变为相同的) ( 运用本公式要把直线方程变为一般式)点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P'(2a x, 2b y)(4) 直线关于点对称：在已知直线上任取两点 A B,再分别求出A B关于P点的 对称点A'、B',然后由两点式可得所求直线方程.(5) 点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”设P (xo, yo), l : Ax+ By+ C=0 (A2+ B2工0),若P关于I的对称点的坐 标Q为(x, y),则

2、I是PQ的垂直平分线，即PQLI的中点在I上，解方程组可得 Q 点的坐标例1求点P = ( - 1, 2 )到直线3x = 2的 距离 解:例2 已知点 A(1 ,3) ,B(3,1) ,q - 1 ,0),求三角形ABC的面积. 解：设AB边上的高为h,则AB边上的高h就是点C到AB的 距离 .AB边所在直线方程为 即 x + y - 4 = 0.点C到x + y - 4 = 0的距离为h因此例 3 求两平行线l 1： 2x + 3 y - 8 = 012： 2x + 3 y - 10 =0 的距离.解法一： 在直线 I1 上取一点P(4,0),因为丨1/丨2 ,所以P到丨2的距 离等于l

3、1与丨2的距离，于是解法二： 直接由公式例4、求直线3x y 4=0关于点P (2, 1)对称的直线l的方程解析：设直线l上任一点为(x , y),关于P (2 , 1)对称点(4 x, 2 y) 在直线 3x y 4=0 上. 3(4 x) ( 2 y) 4=0二 3x y 10=0所求直线l的方程3x y 10=0例5.等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x + 3 y - 6 = 0 上,顶点A的坐标是(1 , - 2).求边AB AC所在直线方程.(AC的直线方程为：3x - 2y - 7 = 0 AB的直线方程为：x - 5y - 11 = 0 或 5x + y - 3

4、 = 0.)1. 分别求点P 2, 3到下列直线I的距离：(1) 2x 3y 9 0 ;(2) x 7 ；(3) y 3;2. 若点P a,3至U直线4x 3y 10的距离等于4,求a的值；3. 若直线li: ax 2y 2 0与直线I2 ：3x y 2 0平行，求两直线的距离；4. 已知 ABC中，A 3,2 ,B 1,5 ,C点在直线3x y 3 0上，若ABC 的面积为10,求点C的坐标；5. 若直线I通过直线7x 5y 24 0和直线x y 0的交点，并且点 5,1 到直线I的距离为110，求直线I的方程；6. 已知一个三角形的顶点为 A 2,3 ,B 4, 1 ,C 4,1，直线I/

5、AB，且I将ABC的面积分成相等的两部分，求I的方程；7. 求点4,0关于直线5x 4y 210的对称点的坐标；8. 如图，一次函数与正比例函数的图象交于点A且与轴交于点 B.(1) 求点A和点B的坐标；(2) 过点A作AC丄轴于点C,过点B作直线I /轴.动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿 O C- A的路线向点 A运动；同时直线I从点B出发，以相同速 度向左平移，在平移过程中，直线I交轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线I都停止运动.在运动过程中，设动点 P运动的时间为t 秒 当t为何值时，以 A P、R为顶点的三角形的面积为 8 是否存在以A、P、Q

6、为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。9. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点 A的坐标是(-4，0)，点B的坐标是(0,) (> 0) . P是直线AB上的一个动点，作 PCL轴，垂足为 C.记点P关于y轴的对 称点为P'(点P'不在y轴上)，连接PP，P A，P C.设点的横坐标为.(1 )当=3时， 求直线AB的解析式； 若点P'的坐标是(-1,)，求的值；(2) 若点P在第一象限，记直线 AB与PC勺交点为D.当P' D: DC=1 3时，求的值；(3) 是否同时存在，使 P' CA为等腰直角三角形若存在

7、，请求出所有满足要求的，的 值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)利用待定系数法考虑。把(-1,)代入函数解析式即可。(2)证3)分 P 在第明APP'ACD根据相似三角形的对应边的比成比例求解。三象限，三种情况进行讨论。10. 已知直线(V 0)分别交轴、轴于A、B两点，线段0A上有一动点P由原点0向点A运动, 速度为每秒1个单位长度，过点 P作轴的垂线交直线 AB于点C,设运动时间为秒.(1) 当时，线段 0A上另有一动点 Q由点A向点0运动，它与点 P以相同速度同时出发，当点 P到达点A时两点同时停止运动(如图1). 直接写出=1秒时C、Q两点的坐标； 若以Q C A为顶点的三角形与 AOB相似，求的值.(2) 当时，设以C为顶点的抛物线与直线 AB的另一交点为D(如图 2)， 求CD的长； 设厶COD的0C边上的高