备战中考数学初中数学旋转-经典压轴题附答案解析

1、备战中考数学初中数学 旋转-经典压轴题附答案解析一、旋转1. (1)发现：如图1,点A为线段BC外一动点，且 BC= a, AB= b.填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a, b的式子表示)(2)应用：点A为线段BC外一动点，且 BC= 4, AB= 1,如图2所示，分别以AB, AC为 边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE,连接CD, BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(6, 0),点P为线段AB外一动点，且 PA= 2, PM=PB, /BP

2、M = 90。，请直接写出线段 AM长的最大值 及此时点P的坐标.1图1)(图D周可商用到【答案】(1)CB的延长线上，a+b; (2)CD= BE,理由见解析； BE长的最大值为5； (3) 满足条件的点p坐标(2- J2 , J2)或化-J2, - J2 ), AM的最大值为2 J2 +4.【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据已知条件易证 CA*EAB,根据全等三角形的性质即可得CD= BE;由于线段BE长的最大值=线段 CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；(3)连接BM, 将4APM绕着点P顺时针旋转90

3、6;得至iJPBN,连接AN,得到4APN是等腰直角三角形， 根据全等三角形的性质得到 PN=PA= 2, BN= AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段 BN取得最大值，即可得到最大值为2J2+4;如图2,过P作PE± x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点 P的坐标.如图3中，根据对称性可知当点 P在第四象限时也满 足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】(1) ;点A为线段BC外一动点,且 BC= a, AB= b,，当点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB= a+b,故答案为CB的延长线上，a+b；(2)CD= BE,理由

4、： ABD与 ACE是等边三角形，AD=AB, AC= AE, Z BAD= Z CAE= 60； / BAD+Z BAC= / CAEZ BAC,即 / CAD= / EAB,AD AB在ACAD与 EAB中，CAD EAB ,AC AE .CA*4EARSAS,.CD= BE；二线段BE长的最大值=线段 CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点 D在CB的延长线上, .最大值为 BD+BC= AB+BC= 5；(3)如图1,?;Hl将4APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN,连接AN, 则4APN是等腰直角三角形，,-.PN=PA= 2, BN=AM,.A的坐标为(2, 0

5、),点B的坐标为(6, 0),.OA=2, OB= 6,.AB=4,线段AM长的最大值=线段 BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段 BN取得最大值，最大值=AB+AN,. AN= J2AP= 272 ，最大值为2J2+4;如图2,% V过P作PE± x轴于E, APN是等腰直角三角形,.PE= AE= 42 ， .OE= BO- AB - AE= 6-4- 72 =2 一6,P（2 -尤，J2）.根据对称性可知当点 P在第四象限时，P2-近,-近)时，也满足条件.综上所述，满足条件的点P坐标(2 - J2, J2)或(2 - J2 , - J2 ), AM的最大值为 2点+

6、4.【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的 性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.2.如图 1,在 RtABC中，/ACB= 90°, AC= BC.点 D、E分别在 AC BC边上，DC= EG 连接 DE、AE、BD.点 M、N、P分别是 AE、BD> AB 的中点，连接 PM、PN、MN.圉1S2曾用图(1) PM与BE的数量关系是 , BE与MN的数量关系是 .(2)将ADEC绕点C逆时针旋转到如图 2的位置，判断(1)中BE与MN的数量关系结论 是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；(

7、3)若CB= 6. CE= 2,在将图1中的4DEC绕点C逆时针旋转一周白过程中，当 B、E、D三点在一条直线上时，求 MN的长度.【答案】(1) PM -BE, BE J2MN ; (2)成立，理由见解析；(3) MN=Ji7 - 21或后+1【解析】【分析】(1)如图1中，只要证明VPMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解 决问题；(2)如图2中，结论仍然成立，连接 AD、延长BE交AD于点H .由VECB VDCA ,推出 BE AD , DAC EBC ,即可推出BHP分另iJ AE、BD、AB的中点，推出PM /BE,1PM BE,2PN /AD , PN1-AD ,推

8、出2PM PN , MPN 90 ,可得 BE 2PM 2MN 72MN ;2(3)有两种情形分别求解即可【详解】(1)如图1中,C £BSI . AM = ME, AP= PB,1PM / BE, PM BE , 2 . BN=DN, AP=PB, 1 .PN/AD, PN AD, 2 . AC= BC, CD= CE, -ad=be,.PM = PN, / ACB= 90 °,.-.AC± BC, . PM/BC, PN/ AC, PMXPN, .PMN的等腰直角三角形，MN &PM，MN ,2 1 BE, 2BE 72mn ，故答案为 PM -BE

9、, BE J2MN . 2(2)如图2中，结论仍然成立.®2理由：连接AD、延长BE交AD于点H. ABC和 CDE是等腰直角三角形，.CD= CE, CA= CB, /ACB=/DCE= 90 °, / ACB- / ACE= / DCE- / AC耳/ ACD= / ECB .ECBDCA,.BE=AD, /DAC=/EBC Z AHB=180 - (/HAB+/ABH)= 180°- (45 +Z HAC+ZABH)= /180°- ( 45° + /HBG/ABH)= 180° -90°= 90°, BHX

10、AD, M、N、P分别为AE BD、AB的中点，11 .PM/BE, PM BE, PN/AD, PN AD,22.PM = PN, /MPN=90；BE 2PM 2 MN 72MN .2DG金,(3)如图3中，作CGJ± BD于G,则CG GE当 D、E、B 共线时，在RtA BCG 中，BGVbC2CG2f62412J34，BE BG GE - 3422MN BE V17 1 .2如图4中，作CG± BD于G,则CG GE DG J2,当D、E、B共线时,在 RtA BCG 中，BG VBCCG7 J62 夜2 用,BE BG GEMN -2-BE2综上所述，MN= J

11、17 - 1或J17+1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、 股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 题，属于中考压轴题.全等三角形的判定和性质、勾学会用分类讨论的思想思考问3.已知正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF，BD交BC于F,连接DF, G 为DF中点，连接EG CG(1)求证：EG=CG;(2)将图中4BEF绕B点逆时针旋转45°,如图 所示，取DF中点G,连接EGCG问(1)中的 结论是否仍然成立 *成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)将图中4BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问(1

12、)中的结论是 否仍然成立？通过观察你还能彳#出什么结论(均不要求证明).Dc-E5G图【答案】解：(1) CG=EG(2) ( 1)中结论没有发生变化，即EG=CG证明：连接 AG,过G点作MN XAD于M,与EF的延长线交于 N点.图2在4DAG与4DCG中， AD=CD, /ADG=/CDG, DG=DG, DAG DOGAG=CG在4DMG与4FNG中， /DGM=/FGN, FG=DG / MDG=/NFG, ADMGAFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在 RtAAMG 与 RtENG 中， AM=EN, MG=NG, AAMGA ENG.AG=EGEG=CG(3) (1

13、)中的结论仍然成立.【解析】试题分析：(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG(2)结论仍然成立，连接 AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于 N点；再证明DA8 4DCG,得出 AG=CG 再证出 DMGFNG,得到 MG=NG;再证明 AMGAENG,得出 AG=EQ 最后证出 CG=EG(3)结论依然成立.还知道 EG± OG;试题解析：解：（1）证明：在RtA FCD中,.G为DF的中点，：.CG=FD ,同理，在 RtDEF中，EG = -FD ,2.CG=EQ(2) (1)中结论仍然成立，即 EG=CG连接AG,过G点作MNLAD于M,

14、与EF的延长线交于 N点，如图所示:在4DAG与4DCG中，1 . AD=CD, /ADG=/ CDG, DC=DQ2 .DAGADCG,3 .AG=CG在4DMG与4FNG中，4 / DGM=Z FGN, DG=FQ / MDG=Z NFG,5 .DMGAFNG,.MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN.,在 RtAAMG 与 RtENG 中，6 . AM=EN, MG=NG,7 .AMGAENG,.AG=EG,EG=CG(3) ( 1)中的结论仍然成立，即 EG=CG且EG±CG过F作CD的平行线并延长 CG交于M点，连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N,如图 所示：由于G

15、为FD中点，易证 CD84MFG,得到 CD=FM,又因为 BE=EF 易证 /EFM=/ EBC,贝U EFM/ EBG Z FEM=Z BEQ EM=EC / FEC吆 BEC=90,° / FEC FEM=90 ；即 / MEC=90 ； MEC是等腰直角三角形，.G为CM中点，EG=CG EG± CGo【点睛】本题解题关键是作出辅助线，且利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 的性质、全等三角形的判定和性质，难度较大。4.如图1, 4ABC是边长为4cm的等边三角形，边 AB在射线OM上，且OA=6cm,点D 从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当

16、D不与点A重合时，将4ACD绕点C逆时针方向旋转 60°得到ABCE，连结DE.(1)求证：4CDE是等边三角形；(2)如图2,当6vtv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出 4BDE的最小 周长；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当点D在射线OM上运动时，是否存在以 D、E、B为顶点的三角形是直角 三角形？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析 (3)存在【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得到 /DCE=60。，DC=EC,即可得到结论；(2)当6vt<10时，由旋转的性质得到 BE=AD,于是得到Cadbe=BE+

17、DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD± AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；(3)存在，当点D于点B重合时，D, B, E不能构成三角形， 当04<6时，由旋 转的性质得到/ABE=60°, / BDE< 60°,求得/ BED=90°,根据等边三角形的性质得到Z DEB=60 ;求得 /CEB=30 ;求得 OD=OA-DA=6-4=2,于是得到 t=2 + 1s2当 6<t< 10s 时，此时不存在； 当t>10s时，由旋转的性质得到 /DBE=60°

18、;,求得/BDE>60°,于是得到 t=14+ 1=145.试题解析：(1)证明：二.将ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到ABC耳/ DCE=60 : DC=EC,.CDE是等边三角形； (2)存在，当6<t<10时， 由旋转的性质得，BE=AD,Ca dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，4CDE是等边三角形， . DE=CD,Ca dbE=CD+4, 由垂线段最短可知，当CD）± AB时，4BDE的周长最小，此时，CD=2,3 cm,.BDE 的最小周长=CD+4=2T3+4；（3）存在，二当点D与点B重合时，D, B, E不能

19、构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意；当04<6时，由旋转可知，Z ABE=60°, /BDEv 60°,/ BED=90 ；由（1）可知，4CDE是等边三角形，/ DEB=60 ；/ CEB=30 ； / ceb=z cda,/ CDA=30 ;3 / CAB=60 ；/ ACD=ZADC=30 :DA=CA=4,4 " OD=OA - DA=6 - 4=2,5 .t=2 + 1=2 当 6vtv 10s时，由 ZDBE=120 °>90°, ，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质可知，Z DBE=60 °

20、;,又由（1）知/ CDE=60°,/ BDE=Z CDEfZ BDC=60 +/ BDC,而/ BDC>0°,6 / BDE> 60 ； 只能 / BDE=90 ； 从而 / BCD=30°,.BD=BC=4,1. OD=14cm, .t=14 + 1=S14综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代 数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变 量，从某一个方面出发去分类.5.如图，正方形 ABCD中，点E是BC

21、边上的一个动点，连接 AE,将线段AE绕点A逆时 针旋转90°,得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.(1)根据题意补全图形；(2)判定AG与EF的位置关系并证明；求线段BG的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析;(3)翼5 .2(1)得出(3)根据题意补全图形即可；先判断出ADFABE,进而判断出点 C, D, F共线，即可判断出 DF8 HEG, FG=EG即可得出结论；先求出正方形的对角线 BD,再求出BH,进而求出 DH,即可得出HG,求和即可得出结论.【详解】(2)连接DF,由旋转知，AE=AF, /EAF=90, 四边形ABCD是正方形，AB / CD, A

22、D=AB, / ABC=Z ADC=BAD=90 , / DAF=Z BAE, .ADFAABE (SA§ , ，DF=BE /ADF=/ ABC=90 ,° / ADF+/ ADC=180 ,° 点C, D, F共线， .CF/ AB,过点E作EH/ BC交BD于H,/ BEH=Z BCD=90 ,° DF/ EH,/ DFG=Z HEG,.BD是正方形 ABCD的对角线，/ CBD=45 ,°，BE=Eh / DGF=Z HGE, .DFGAHEG (AAS), .FG=EG .AE=AF, .AGEF;(3) ; BD是正方形的对角线,

23、.BD= . J2 AB=3 J2BEH 中，BH=72 BE=272 ,由(2)知，在RtA . DG=BD-BH= .2由(2)知，ADFGAHEG,.DG=HG, HG=1DH=,22BG=BH+HG=22 +=22【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性 质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键.6.已知： ABC和 ADE均为等边三角形，连接BE,CD,点F,G,H分别为DE,BE,CD中占(1)当4ADE绕点A旋转时，如图1,则4FGH的形状为,说明理由；(2)在4ADE旋转的过程中，当 B, D, E三点共线时，如图 2,若AB=3, A

24、D=2,求线段FH的长；(3)在4ADE旋转的过程中，若 AB=a, AD=b (a>b>0),则 FGH的周长是否存在最大 值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由.AAASC BC S -C图1圄2备用图【答案】(1) 4FGH是等边三角形；(2) 而 1 ; (3) 4FGH的周长最大值为-22(a+b),最小值为 3 (a-b).2【解析】试题分析：(1)结论：FGH是等边三角形.理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH,再想办法证明 /GFH=60°即可解决问题；、(2)如图2中，连接AF、EC在R9AFE和RHAFB中，解直角三角形即

25、可；(3)首先证明4GFH的周长=3GF=3BD,求出BD的最大值和最小值即可解决问题;2试题解析：解：(1)结论：4FGH是等边三角形.理由如下：如图1中，连接 BD、CE,延长BD交CE于M,设BM交FH于点O.AE=2, EF=DF=1,FH=- EC=-6-22 . 4GFH的周长=3GF=- BD,在 ABD2. ABC 和 ADE 均为等边三角形，AB=AC, AD=AE, Z BAC=Z DAE, . / BAD=/CA耳.BACACAE,BD=CE, /ADB=/AEC, / EG=GB, EF=FD, ，FG= BD, GF/ BD, DF=EF, DH=HC, . .FH=

26、1EG FH/ EG ，FG=FH, / Z ADB+Z ADM=180 °,2 / AEG/ADM=180 ；/ DMC+Z DAE=180 ；/ DME=120 ；/ BMC=60ZGFH=ZBOH=ZBMC=60 ；， GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形.af=V22 i2 =V3, 在 RtABF 中,BF=JaB2 AF2 =而，BD=CE=BF- DF= 76(3)存在.理由如下.由(1)可知，4GFH是等边三角形，GF=1BD23中，AB=a, AD=b,，BD的最小值为a-b,最大值为a+b,. FGH的周长最大值为 一2(a+b),最小值为 3 (a-b).2

27、点睛：本题考查等边三角形的性质.全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的 三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全 等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题.7.如图,在2ABCD中，AB=10cm, BC=4cm, /BCD=120： CE平分/BCD交 AB于点 E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接 CP,将 PCE绕点C逆时针旋转60。，使CE与CB重合，得到QUB,连接PQ.(1)求证：4PCQ是等边三角形；(2)如图，当点P在线段EB上运动时，4PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出4P

28、BQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点 P、B、Q为顶点的直角三角形？【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析；(3) t为2s或者14s. 【解析】分析：(1)根据旋转的性质，证明 PC®4QCB,然后根据全等三角形的性质和等边三 角形的判定证明即可；(2)利用平行四边形的性质证得 4BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到 PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；(3)根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：(1) :旋转.-.PCEAQCB .CP=CQ Z PCE =/ QCB

29、, / BCD=120 ,° CE平分 / BCD,/ PCQ=60 ； / PCE 吆 QCE=Z QCB+Z QCE=60 ,° . PCQ为等边三角形.(2)存在. CE 平分 / BCD,/ BCE=60 ,;在平行四边形ABCD中，.AB/ CD/ ABC=180 - 120 =60 ° BCE为等边三角形BE=CB=4 旋转.-.PCEAQCB .EP=BQ Ca pbc=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP.-.CP± AB时， PBQ周长最小当 CP, AB 时，CP=BCsin60 =273 .PBQ周长最小为4+

30、2/3(3)当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形当0W6时，由旋转可知，/ CPE=Z CQB,/ CPQ=Z CPB+Z BPQ=60 °则：/BPQ+/ CQB= 60°,又 / QPB+Z PQC+Z CQB+Z PBQ=180/ CBQ=180-60 -60 =60 °/ QBP=60 ； B BPQ< 60 °,所以/ PQB可能为直角由(1)知， PCQ为等边三角形，/ PBQ=60 ； C CQB= 30 ° / CQB= / CPB/ CPB=30 °/ CEB= 60 ；/ ACP= / APC=30

31、°PA=CA=4,所以 AP=AE-EP=6-4=2所以t=2 1 2s当6v tv 10时，由/ PBQ= 120 °> 90 °,所以不存在 当t>10时，由旋转得： /PBQ=60°,由(1)得/CPQ=60°/ BPQ=Z CPQ+/ BPC=60+°/ BPC,而/ BPC> 0°, / BPQ> 60 °/ BPQ=90 ；从而 / BCP=30BP=BC=4所以 AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。点睛：此题主要考查了旋转图形变化的应用，结合平

32、行四边形、等边三角形、全等三角形的判定与性质，进行解答即可，注意分类讨论思想的应用，比较困难8.在 RtACB和 4AEF 中，/ ACB= / AEF= 90。，若点 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE. 特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB, AC上，则结论：PC= PE成立(不要求证明). 问题探究：把图1中的4AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由；(3)记2C=k,当k为何值时，4C

33、PE总是等边三角形？(请直接写出后的值，不必说)BC【答案】1 PC PE成立 2 , PC PE成立 3当k为上时，VCPE总是等边三 3角形【解析】【分析】(1)过点 P 作 PMLCE 于点 M,由 EF± AE, BC± AC,得到 EF/ MP/CB,从而有EM FP，再根据点P是BF的中点，可得 EM=MC,据此得到PC=PEMC PB(2)过点F作FD±AC于点D,过点P作PMAC于点M,连接PD,先证 DAF0EAF,即可得出 AD=AE;再证 DAP EAP,即可得出 PD=PE最后根据FD± AC, BC± AC, PMAC

34、,可得 FD/ BC/ PM,再根据点 P是 BF 的中点，推得 PC=PR 再根据PD=PE即可得到结论.(3)因为4CPE总是等边三角形，可得 ZCEP=60, / CAB=60 ;由/ ACB=90 ,求出/ CBA=30 ；。最后根据 王 k ,公C=tan30 :求出当 CPE总是等边三角形时，k的值是 BC BC多少即可.【详解】解：(1) PC=PE成立，理由如下：EM FP 一口 一，二点P是BF的中点,MC PB . EM=MC,又. PMCE, .1.PC=PE(2) PC=PEI立，理由如下:如图 2,过点 P 作 PMLCE于点 M ,EF± AE, BC&#

35、177; AC, . . EF/ MP / CB,如图3,过点F作FD, AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD, / Z DAF=Z EAF,/ FDA=Z FEA=90在 DAF 和 EAF中, / DAF=Z EAF, / FDA=Z FEA, AF=AF, .DAFAEAF (AAS , .AD=AE,在 ADAP和 AEAP 中， . AD=AE, /DAP=/ EAP, AP=AP, .DAPAEAP (SAS ,，PD=PE . FD± AC, BC± AC, PMXAC, .FD/ BC/ PM,DM FP, ?MC PB点P是BF的中点，.DM=M

36、C,又 PMXAC,- PC=PD,又 PD=PE，PC=PE图3(3)如图4 CPE总是等边三角形,/ CEP=60/ CAB=60 / ACB=90/ CBA=90°°-/ ACB=90 - 60 =30 ；处kBCAC 。=tan30 ,BCk=tan30 q当k为Y3时，CPE总是等边三角形.3图4【点睛】考点：1.几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的 判定与性质；6.平行线分线段成比例.9.如图，4ABC是等边三角形，AB=6cm, D为边AB中点. 点D出发，点P沿AA以1cm/s的速度向终点A运动.点 运动，回到点D停止.

37、以PQ为边在AB上方作等边三角形动点Q沿PQN.P、Q在边AB上同时从A BfD以2cm/s的速度将4PQN绕QN的中点旋转180。得到4MNQ.设四边形PQMN与4ABC重叠部分图形的面积为 S (cm2),点P运 动的时间为t (s) (0<t<3).(1)当点N落在边BC上时，求t的值.(2)当点N到点A、B的距离相等时，求t的值.(3)当点Q沿AB运动时，求S与t之间的函数表达式.(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,直接写出四边形 PEMF 与四边形PQMN的面积比为2: 3时t的值.PD Q1) 一/ (2)9X32 (3) S=S菱形 pq

38、mn=2Szpnq= ?2.(4)AZ当0V 此时，PD=t, DQ=2t1517t=1 或 '【解析】试题分析：(1)由题意知：当点 N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上，此时 PD=DQ(3)当0D细，四边形 PQMN与 ABC重叠部分图形为四边形 PQMN;当wt如，四 边形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形 PQFEN(4) MN、MQ与边BC的有交点时，此时5<tS ,列出四边形 PEMF与四边形PQMN的 面积表达式后，即可求出 t的值.试题解析：(1) .PQN与 ABC都是等边三角形，当点N

39、落在边BC上时，点Q与点B重合.DQ=3.-2t=3 .t=:当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上,PD=DQ.t=2t .t=0 (不合题意，舍去)，此时，PD=t, DQ=6 - 2t.t=6-2t,解得t=2；综上所述，当点 N到点A、B的距离相等时，t=2;(3)由题意知：此时，PD=t, DQ=2t当点M在BC边上时， .MN=BQ,. PQ=MN=3t, BQ=3- 2t.-3t=3 -2t3，解得t="3如图，当0wt%，Sa pnq= " PQ2= 4 t2； M，$=$菱形 pqmn=2Szpnq= 工 t2,3 B如图，当"wt

40、独寸， 设MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F, MN=PQ=3t, NE=BQ=3 2t, .ME=MN NE=PQ BQ=5t- 3, EMF是等边三角形,爱/UM"A MEF 二=苧+Saemf= M ME2= " ( 5t 3)(4) MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,312此时Stv S ,15t=1或T考点：几何变换综合题10.在4ABC中，AB=AC, /A=30°,将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,再将 线段BD平移到EF,使点E在AB上，点F在AC上.(1)如图1,直接写出/ABD和/CFE的度数；(2)在图1中证明：AE=C

41、F(3)如图2,连接CE,判断4CEF的形状并加以证明._ 1【答案】(1) 15。，45。； (2)证明见解析；(3) 4CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到 /ABC的度数，由旋转的性质得到/DBC的度数，从而得到/ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得/CFE的度数.(2)连接CD DF,证明4BCD是等边三角形，得到 CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而 AB/ FD,证明AEFFCD即可得AE=CF(3)过点E作EGJ±CF于G,根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即 可证明4CEF是

42、等腰直角三角形.(1) .在 4ABC 中，AB=AC, ZA=300, . . / ABC=74将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD,即/DBC=60</ ABD= 15./ CFE=/ A+Z ABD=45 ,°(2)如图，连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,BD=BC； ZCBD=603.BCD是等边三角形.，CD=BD.线段 BD 平移至U EF, ，EF/ BD, EF=BD四边形BDFE是平行四边形，EF= CD1 . AB=AC, /A=300,ZABC=Z ACB=7甲. . / ABD=/ACD=15 .2 .四边形BDFE是平行

43、四边形，.AB/ FD,/ A=/CFD.3 .AEFAFCD (AAS).4 .AE=CE如图，过点E作EG± CF于G,5 / CFE =45,FEG=45. °EG=FG6 ./A=300, /AGE=90,EG = Iff FG =AE=CF，/八.，G为CF的中点.EG为CF的垂直平分线.EF=EC/ CEF=/ FEG=90 .CEF是等腰直角三角形.考点：1.旋转和平移问题；2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质；6.全等三角形的判定和性质；7.含30度直角三角形的性质；8.垂直平分线的判定和性质；9.

44、等腰直角三角形的判定.11.正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接 EF.(1)如图1,若点G是边BC的中点，连接FG,则EF与FG关系为： ；(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接 FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆 时针旋转90。，得到线段FQ,连接EQ,请彳#想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明 你的结论.(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全图形，并直接写 出BF、EQ BP三者之间的数量关系： .图1图2郢【答案】(1)证明见解析(2) BF+EQ=BP(3) BF+BP=EQ 【解析】试题分析：(1) EF与FG关系为

45、垂直且相等(EF=FG且EF± FG).证明如下：点E、F、G分别是正方形边 AD、AB、BC的中点， AEF和 BGD是两个全等的等腰直角三角形.，EF=FG /AFE=/ BFG=45/ EFG=90, °即 EF± FG.(2)取BC的中点G,连接FG,则由SAS易证 FQS FPG,从而EQ=GF因此EF 应 BP EQ .(3)同(2)可证FQEFPG (SAS ,得 EQ=GP 因此，EF GF V2BG V2 GP BP & EQ BP .12.在正方形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点 O;在RtA PMN中，/ MPN=90 

46、6;.(1)如图1,若点P与点。重合且PMXAD. PN±AB,分另IJ交AD、AB于点E F,请直 接写出PE与PF的数量关系；(2)将图1中的RtA PMN绕点。顺时针旋转角度 a (0。<a<45°.如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由； 如图2,在旋转过程中，当 /DOM=15°时，连接EF,若正方形的边长为 2,请直接写出 线段EF的长；如图3,旋转后，若RtA PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点 O、B重合)，当 BD=3BP时，猜想此时 PE与PF的数量关系，并给出证明；当 BDFm-B

47、P时，请直接写出 PE与PF的数量关系.图1图2圄3【答案】(1) PE=PF (2)成立，理由参见解析； 工；PE=2PF,理由参见解析；PE= (m-1) PF.【解析】试题分析：(1)可利用角平分线性质定理得到PE=PF (2) 成立，可用角边角定理判定AOFDOE,从而得到PE=PF 要想求出EF的长，关键要求出 OE的长，由 /DOM = 15可得/AEO=45+ 15=600,彳OH±AD于H,若正方形的边长为 2,则OH=1, 2_回 出可算出EH=兄OE= ' , ,EOF是等腰直角三角形，EF即可求出； 构建相似三角形，过 P点作PH, AB, PKa AD

48、 ,垂足为H、K,则四边形 AHPK为矩形，4PHB和 PKD都是等腰直角三角形，是相似的，BL3BP, 可算出HP:PK的值，然后通过 FHPPKE得至ij PE与PF的关系.由前面的思路可得出当BD=mBP时，BD:PD= (m-1) : 1, PE:PF= (m-1) : 1,从而确定 PE与PF的数量关系.试题解析：(1)二.四边形ABCD是正方形，/OAF=/ OAE=45o,又PMAD、PNXAB,，PE=PF (2)成立，PE仍等于PF,二.四边形ABCD是正方形，/ OAF=Z ODE=45o, OA=OD,又/ AOF和 / DOE 者B是 / AOE 的余角，Z AOF=Z

49、 DOE,AAOFADOE (ASA) , ，OE=OF,即 PE=PF(2) # OHXADT H,由/DOM=15°可得/AEO=45+ 15=60o, / HOE=30 ,若正方形的边长为 2,则OH=1,在RtA HEO中，可算出 EH=3=J , .,.OE=' , 二 EOF是等腰直角三角形，2,3 25EF=J3 OE=JE X 3=3 ； 构建相似三角形，过 P点作PHXAB, PC AD ,垂足为 H、K,贝U四边形 AHPK为矩形， / PHB=Z PKD=90°Z PBH=Z PDK=45°,PH BPPH BP _.PHBAPKD,

50、，支 DP , BD=3BP, . . 口尸=-, / HPF+/ FPK=90 / KPE吆 FPK=90，/ HPF=Z KPE,又/ PHF=Z PKE=90 ,° PF PH J.PHD APKEPE PK =1 ,即 pe="2PF"当 BD=mBP 时，BD:PD= (m-1 ):1, APHFAPK PE:PF=BD:PD=(m-1) : 1, . PE= (m-1) PF.考点：1.正方形性质；2.三角形相似的判定；3.旋转性质；4.探索线段的数量关系规 律.13.如图1, O为直线AB上一点，OC为射线，Z AOC= 40°,将一个三角

51、板的直角顶点放 在点O处，一边 OD在射线OA上，另一边 OE与OC都在直线 AB的上方.(1)将三角板绕点 O顺时针旋转，若 OD恰好平分/AOC (如图2),试说明OE平分/BOC；(2)将三角板绕点 O在直线AB上方顺时针旋转，当 OD落在/BOC内部，且/ COD=1一/ BOE时，求/ AOE的度数：3(3)将图1中的三角板和射线 OC同时绕点O,分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时， OD恰好与OC在同一条直线上？【答案】(1)证明见解析；(2) 142.5。； (3)第10秒或第55秒时.【解析】【分析】(1)由角平分线的性质及同角的余角相等，可得答案；(2)设/COD= %则ZBOE= 3%由题意得关于 “的方程，求解即可；(3)分两种情况考虑：当 OD与OC重合时；当OD与OC的反向延长线重合时.【详解】解：(1) OD恰好平分/ AOC/ AOD= / COD / DOE= 90 °Z AOD+Z BOE= 90； ZCOD+Z COE= 90 °/ BOE= / COEOE 平分/ BOG(2)设/COD=a,贝U Z BOE= 3 a,当 OD 在/BOC的内部时，/ AOD