初中数学人教版第二十二章二次函数的知识点和典型例题

1、初中数学人教版第二十二章二次函数的知识点和典型例题初中数学人教版第二十二章二次函数的知识点和典型例题：相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如 y = ax2+bx+c （a,b,c是常数，a*0） 的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数a#0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.二次函数y=ax2 bx-c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二次函数各种形式之间的变换24ac -b4a二次函数y =ax2+bx+c用配方法可化成：y = a（x-

2、h ）2 + k的形式，其, b中 h = , k =2a二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y = ax2;Dy=ax2+k；y = a(x - h f ; y = a(x - h f +k ; y = ax2 +bx + c .二次函数解析式的表示方法一般式：y =ax2+bx+c （a, b , c 为常数，a/0）;顶点式：y=a（x-h）2+k （a, h , k 为常数，a#0）;两根式：y =a（x-x,（x -x2）（a=0,为，x2是抛物线与x轴两交点的横坐 标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的 二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x

3、轴有交点，即b2-4ac20时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以 互化.二次函数y =ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y =ax2 +bx + c化为顶点式 y=a（x-h）2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两 侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0, c卜以及（0, c）关于对称轴对称的点（2h,c）、与x轴的交点（为，0）, 62,0 ）（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.二次函数y = ax2

4、的性质a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a >0向上(0，0)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时， y随x的增大而减小；x=0时，y有最小 值0 .a <0问卜(0, 0)y轴X。时，y随x的增大而减小；x<o时， y随x而增大而增大；x=o时，y有最大 值0 .二次函数y =ax2 , c的性质a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a >0向上(0, c )y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小 值c .a <0问卜(0, c)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0

5、时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大 值c .二次函数y=a(xhj的性质:a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a >0向上(h, 0)X=hxh时，y随x的增大而增大；xch时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0 .a <0问卜(h, 0)X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0 .二次函数y =a(x-h ) +k的性质a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质a >0向上(h, k)X=hxh时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k .a <0问卜

6、(h, k )X=hxh时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k .抛物线y =ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时, 开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y轴(或重合)的直线记作x = -9 .特别地，y轴记作,2a直线x = 0.顶点坐标：(-b 4ac-b2、，)2a 4a顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同, 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线y =ax2 bx c中，a, b

7、,c与函数图像的关系二次项系数a二次函数y =ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a#0.(1)当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开 口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开 口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a 的大小决定开口的大小.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.(1)在a >0的前提下，当b>0时，-旦父0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b=0时，2=0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b<0时，-2>0,即抛物

8、线对称轴在y轴的右侧.2a 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0时，-2>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当b=0时，2=0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b<0时，-2<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.总结：常数项c当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵 坐标为正；当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴交点的纵 坐标为0 ;当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴

9、交点的位置.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：y = ax2 +bx + c = a x +小爷3对称轴是直线p 22ab4ac-b2顶点是x = 2a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-hf+k的形式，得到顶点为（h, k）,对称轴是直线x = h.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点 是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y =ax2 +bx

10、+ c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择 一般式.顶点式：y =a（x -h 2 + k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与 x轴的交点坐标 x1、x2 ,通常选用交点式：y =a x -x1 x -x2 .直线与抛物线的交点y轴与抛物线y =ax2 +bx +c得交点为（0, c）.与y轴平行的直线 x = h与抛物线y = ax2 + bx十c有且只有一个交点（h , ah 2 bh c）.抛物线与x轴的交点：二次函数y = ax2 +bx + c的图像与x轴的两个交点 的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2+bx+c = 0的两个实数根.抛 物线与x

11、轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点u Aa0u抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）u A = 0u抛物线与x轴相切；没有交点u <0u抛物线与x轴相离.平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标 相等，设纵坐标为k ,则横坐标是ax2+bx+c = k的两个实数根.一次函数y = kx + n（k#0）的图像l与二次函数y =ax2+bx + c（a。0）的v=kxn图像g的交点，由方程组r 2的解的数目来确定：方程y 二 ax bx c组有两组不同的解时u l与G有两个交点；方程组只有一组解时u

12、 l 与G只有一个交点；方程组无解时 u l与G没有交点.抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y= ax2 +bx + c与x轴两交点为A%,0） BQ2。），由于xi、x2是方程ax2+bx+c = 0的两个根，故bx1x2 =，x1 x2aAB2 r2一=xix21= q(xix2) = "(xi x2) 4xix2= J11b bf4cb2 - 4ac 二二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或 顶点式表达关于x轴对称y = ax + bxcf x轴对称后，得到的解析式是2y =a(x h )十k关于x轴对称后，得到的斛析式是 关于y轴对称y =

13、ax + b汁为c于y轴对称后，得到的解析式是2y=a(xh) +k关于y轴对称后，得到的斛析式是 关于原点对称y=ax bx戈讦原点对称后，得到的解析式是y = a( x h十美于原点对称后，得到的解析式是 关于顶点对称y = a x bx关c于顶点对称后，得到的解析式是2y =a(x-h ) +k关于顶点对称后，得到的斛析式是 关于点(m, n。寸称-2y = -ax -bx -c ;2y = a(x h ) -k ;2y =ax - bx c;2y=a(x + h”k;2,y = -axbx -c ；,2 ,y =-a(x+h j -k ；2 .b2 .y=-ax -bx+c- 2a2y

14、 = -a(x h) +k .关于点(m , n )对称后得到的解析式是 如下：y=ax22 一 y=ax2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移凶个单位向上(k>0)或下(k<0)】平移因个单位向右(h>0)或左(h<0) 平移|k|个单位向右(h>0)或左(h<0) 平移|k|个单位向上(k>0)或下(k<0) 平移|k|个单位向右(h>0)或左(h<0)平移|k|个单位，、2 y=a(x-h)2* y=a(x-h)2+ky = -a x h -2m j -2n -k总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛

15、物线的形状一定 不会发生变化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时, 可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对 称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标(h,k);保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k )处,具体平移方法平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” .根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路1,

16、已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A ( J3 , 0), B (24,0), C (0,-3 )三点， 求抛物线的解析式。2,已知抛物线y=a(x-1) 2+4 ,经过点A (2, 3),求抛物线的解析式。顶点式。1,已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A (2, 1),求抛物线的解析式。2,已知抛物线y=4(x+a) 2-2a 的顶点为(3, 1),求抛物线的解析式。父点式。1,已知抛物线与x轴两个交点分别为(3, 0) ,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b) 的解析式。2,已知抛物线线与x轴两个交点(4, 0), (1, 0)求抛物线y=- a(x-2a)(x-b)2

17、的解析式。定点式。1,在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y = -1 x2+5a x+2a 2经过x轴 22上一定点Q,直线y =(a-2)x+2经过点Q,求抛物线的解析式。2,抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m 与x轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4求抛物线 的解析式。3,抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2±B定点A,求抛物线的解析式。平移式。1,把抛物线y= -2x 2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到 抛物线y=a( x-h) 2 +k,求此抛物线解析式。2,抛物线y= -x2+x-3向上平移，使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解

18、析式. 距离式。1,抛物线y=ax2+4ax+1(a >0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析 式。2,已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m> 0)与x轴交于 A B两点，与 轴交于C点， 且AB=BC求此抛物线的解析式。对称轴式。1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶 点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。2、已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B (点A在点B左边)两点，交y轴于, 一3点C,且OB-OA=3OC求此抛物线的解析式。4对称式。1,平行四边形 ABCD寸角线AC在x轴上，且 A (-10, 0

19、), AC=16 D (2, 6)。 AD交y轴于E,将三角形ABCCft x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。2,求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。切点式。1,已知直线y=ax-a2(aw0)与抛物线y=mX有唯一公共点，求抛物线的解析式。2,直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A (2, 1)，求抛物线的解析式。 判别式式。1、已知关于X的一元二次方程(m+1 x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求 抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a的顶点

20、在x轴上，求抛物线的解析式。3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。二次函数测试题一、选择题(每小题 3分，共30分)1.抛物线y =(x1)2+3的对称轴是()(A)直线x=1(B)直线x=3(C)直线x=1(D)直线x = 3122.对于抛物线 y = (x -5) +3,下列说法正确的是()3(A)开口向下，顶点坐标(5,3)(B)开口向上，顶点坐标(5,3)(C)开口向下，顶点坐标(-5,3)(D)开口向上，顶点坐标(-5,3)135123.右A( -,y1), B( -5,y2), C (1,y3)为二次函数y=x+4x5的图象上的三点

21、，444则y1, y2, y3的大小关系是()(A)y1<y2<y3(B)丫2<%M丫3(C)y3<y1<y2(D)y1<y3<y24 .二次函数y = kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()(A)k<3(B)k<3 且 k#0(C)k <3(D)k <3H k¥05 .抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移 2个单位，所得到的抛物线是 ()(A) y=3(x1)22(B) y=3(x + 1)22(C) y=3(x+1)2+2(D) y=3(x-1)2 + 26 .烟花厂为扬州三月经贸旅游节特

22、别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 h(m)与5 2_.一飞行时间t(s)的关系式是h = t +20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则2从点火升空到引爆需要的时间为(A) 3s(B) 4s(C) 5s(D) 6s1 2 _ .一. 、 一x轴所7 .如图所不是一次函数 y=-X +2的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与2围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是(A) 4(C) 2 九(B)16B)3(D) 88 .如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形 (阴影部分)铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两

23、边长x, y应分别为()(A)x=10,y =14(B)x=14, y=10(C)x=12,y =15(D)x=15, y = 129 .如图，当ab>0时，函数y=ax2与函数y=bx+a的图象大致是()D10 .二次函数y=ax2+bx+c(a W0)的图像如图所示，下列结论正确的是()(A) acv0(B)当 x=1 时,y >0(C)方程ax2+bx+c=0(a w 0)有两个大于1的实数根(D)存在一个大于的实数xo,使得当xvx0时,y随x的增大而减小；当x> xo时,y随x的增大而增大.二、填空题(每小题3分，共18分)10.平移抛物线y= x2+2x-8,使它

24、经过原点，写出平移后抛物线的一个解析11.抛物线y = (m _2)x2 +2x + (m2 4)的图象经过原点，则 m =.12.将 y =(2x_1)(x+2)+1 化成 y= a(x + m)?+n 的形13.某商店经营一种水产品，成本为每千克析，若按每千克 50元销售，一个月能售出元，月销售量就减少 10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单40元的水产品，据市场分500千克；销售价每涨价定为 元时，获得的利润最多214 .已知一次函数 y = ax +bx+c的图象如图所示，则点P(a, bc)在第 象限.15 .已知二次函数 y = -x2 +2x +m的部分图象如右图所示， 则关

25、于x的一元二次方程 x2 +2x + m = 0的解为.16.老师给出一个二次函数 ，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当 x<2时，y随x的增大而减小.丙：函数 的图像与坐标轴只有两个交点.已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数三、解答题(第17小题6分，第18、19小题各7分，共20分)17.已知一抛物线与x轴的交点是 A(2,0)、B(1, 0),且经过点C (2, 8)。(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标。18 .已知抛物线y =x2 -2x + c的部分图象如图所示(1)求c的取值范围;(

26、2)若抛物线经过点(0,_1),试确定抛物线 y =x2 _2x+c的解析式;2 19 .一次函数y=ax +bx+c(a#0)的图象如图所不，根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c = 0的两个根；(2)写出y随x的增大而减小的自变量 x的取值范围;(3)若方程ax2 +bx + c =k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.四、(第小题8分，共16分)20 .小李想用篱笆围成一个周长为 60米的矩形场地，矩形面积 S (单位：平方米)随矩形一 边长x (单位：米)的变化而变化.(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(2)当x是多少时，矩形场地面积 S最大？最大面积是多少？21 .某商场将进价为 30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少 10个。(1)请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价 x元间的函数关系式；(2)设每月的利润为10000的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是,请求出最大利润