初中数学竞赛专项训练三角形边角关系

1、初中数学竞赛专项训练(命题及三角形边角不等关系)一、选择题：1、如图8-1,已知AB = 10, P是线段AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 AP和PB为边作两个等边三 角形APC和BPD ,则线段CD的长度的最小值是()A. 4B. 5C. 6D. 5( , 5 -1)2、如图 8-2,四边形 ABCD 中/ A = 60° , Z B = Z D = 90° , AD =8, AB =7,则 BC + CD等于()A. 6.3B. 5 . 3C. 4.3D. 3,33、如图 8-3,在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD =3,与梯形A.竺7EBCF的周长相等，

2、则 EF的长为BC=9, AB =6, CD = 4,若 EF/ BC ,且梯形 AEFD ( )4、已知 ABC最多为A. 1图8-1的三个内角为A、B. 33c. 39D.B、C 且 a = A+B , 3 = C+A ， 丫= C+B,则“、3、丫中，锐角的个数 )5、如图8-4,矩形 的长和折痕EFB. 2ABCD 的长 AD = 9cm, 的长分别为C. 3D. 0宽AB =3cm,将其折叠,使点 D与点B重合，那么折叠后 DE )A. 4cm 10cmB. 5cm10cmC. 4cm 2 3cmD. 5cmb, b,6、一个三角形的三边长分别为a, a, b,图8-4另一个三角形的

3、三边长分别为a,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等，则亘的值等于 bA. 如十1B. 5132C.D.7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数y =kx(k >0)与函数1y =一x的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B, .则4ABC的面积为A. 1二、填空题B. 2C. kD. k2 ab ,1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d,另一组对边的长分别为a, b,则d与的大小关系是22、如图8-5, AA '、BB'分别是/ EAB、/ DBC的平分线，若 AA ' = BB ' = AB ,则

4、/ BAC的度数为图8-73、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组，比如(3、5、7)、(5、9、11)问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图 8-6, P是矩形 ABCD 内一点，若 PA=3, PB=4, PC=5,则 PD =5、如图8-7,甲楼楼高16米，乙,楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30。，此时求如果两楼相距 20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？ 如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是 米。6、如图8-8,在 ABC中，/ ABC = 60 °，点P是4ABC

5、内的一点，使得/BPC = /CPA,且 PA=8, PC= 6,贝U PB =三、解答题1、如图8-9, AD是4ABC中BC边上的中线，求证： AD V 1 (AB+AC )APB =图8-92、已知一个三角形的周长为P,问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化?3、如图 8-10,在 RtAABC 中，/ ACB =90° , CD 是角平分线，DE / BC 交 AC 于点 E, DF / AC 交 BC 于点F。求证：四边形 CEDF是正方形。CD2 = 2AE - BF图 8-104、从1、2、3、4、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三

6、个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？参考答案一、选择题1、如图过 C作CEXAD于E,过 D作DFLPB于F,过 D作DGLCE于G。显然 DG = EF=1AB = 5, CD>DG,当 P 为 AB 中点时，有 CD=DG = 5,2所以CD长度的最小值是5。3、由已知 AD+AE+EF+FD = EF+EB+BC+CF1，一一一AD+AE+FD = EB+BC+CF = - (AD + AB + BC 十 CD) = 11 EF / BC , EF / AD ,AE DF、几 AE DF仅=k AEEB FCAD+AE+FD =3+-6k- +k

7、1EBkFC6k AB =k 1 k 14k 13k 3，DF =kCD4k13k 3 二11k 1解得k=42、如图延长 AB、DC相交于E,在RtAADE中，可求得 AE = 16, DE = 8j3, 于是 BE = AEAB = 9,在 RtBEC 中，可求得 BC = 3 J3 , CE=6j3,于 是 CD = DECE = 2 J3 BC+CD = 5a/3。数学竞赛专项训练参考答案（1）-9作 AH / CD, AH 交 BC 于 H,交 EF 于 G, 则 GF=HC = AD=3, BH= BC-CH = 9-3 = 6EG AE 424BH AB 5，.- EG=BH =

8、 . EF =EG+GF24394、假设a、3、丫三个角都是锐角，即a V 90° , 3 <90° , 丫 V 90° ,也就是A+B <90° , B+C <90° , C+A<90°。2 (A+B+C ) <270° , A+B + C<135° 与 A+B+C=180° 矛盾。故a、3、丫不可能都是锐角，假设 a、3、丫中有两个,锐角，不妨设a、3是 锐角，那么有 A+B<90° , C + A<90° , .-A + (A+B+

9、C)<180°，即 A+180 ° <180° , A<0°这也不可能，所以 a、3、丫中至多只有一个锐角，如 A = 20° , B = 30° , C =130° , a = 50° ,选 A。5、折叠后，DE=BE,设 DE = x,则 AE = 9x,在 RtAABC 中，AB2+AE2=BE2,即 42223 +(9x) =x ,解得 x=5,连结 BD 交 EF 于 O,则 EO=FO, BO = DO BD = J92 +32 =3710/.DO= -v102在 RtDOE 中，EO

10、= VDE2 -DO2 =52 -(1j70)2 = 110 ，EF =后0 o选BoQ6、设ABC 中，AB = AC = a, BC = b,如图 D 是 AB 上一点，有 AD =b,因 a>b,故/ A是 ABC的最小角，设/ A=Q,则以b,b,a为三边之三角形的最小角亦为 Q,从 而它与 ABC全等，所以DC = b, /ACD=Q,因有公共底角/ B,所以有等腰 ADC s等腰 CBD,从而得BC =BD,即b二b，令x = a,即得方程x2 X 1 = 0 ,AB BC abb解得X=a=。选B。 b 27、Co由于任意凸多边形 的所有外角之和都是 360° ,

11、故外角中钝角的个数不能超过3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸 10边形。11-8、Ao设点A的坐标为（X, y ）,则xy =1 ,故 ABO的面积为一xy =,又因为 ABO与CBO同底等高，因此 ABC的面积=2XA ABO的面积=1。二、填空题1、如图设四边形 ABCD的一组对边 AB和CD的中点分别为 M、N, MN=d,另一组对边是 AD和BC,其长度分别为a、b,连结BD,设P是a ba bBD的中点，连ZMP、PN,贝U MP= ，NP=一，显然恒有d <,222当AD /BC,由平行线等分线段定理知M、N、

12、P三点共线，此时有,a b a ba b a b 1Xd=，所以d与的大小关系是 d <（或±d）。22222、12°。设/ BAC 的度数为 x, . AB = BB'. . / B ' BD = 2x, /CBD=4x_,， ，一 ，一， ，一，一1，一 、. AB = AA ./ AA B=Z AB A =Z CBD = 4x .人 A AB = - （1803- x） 21 .5（180° x）+4x+4x =180, 于是可解出 x=12。3、以3, 5, 7, 9, 11构成的三数组不难列举出共有10组，它们是（3, 5, 7）、

13、（3, 5, 9）、（3, 5, 11）、（3, 7, 9）、（3, 7, 11）、（3, 9, 11）、（5, 7, 9）、（5, 7, 11）、（5, 9,5, 11）、11）、（7, 9, 11）。由 3+5V9, 3+5V11, 3+7V11 可以判定（3, 5, 9）、（3, （3, 7, 11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有7个数组构成三角形三边长。4、过P作AB的平行线分别交 DA、BC于E、F,过P作BC的平行线分别交 AB、 CD 于 G、H。设 AG = DH=a, BG = CH=b, AE=BF = c, DE=CF=d, 222222则 AP2=a2c2,CP2

14、=b2d2,BP2 ; b2 c2,DP2=d2 a22_22222_22222于是 AP +CP =BP +DP，故 DP =AP +CP -BP =3 +5 -4 =18,DP=325、设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的 C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设CEXAB于点E,那么在 AEC中，ZAEC =90° ,/ ACE = 30° , EC =20 米。3 .所以 AE = EC，tan/ACE =20 tan30o=20x 定11.6 （米）。3CD = EB = AB-AE =16-11.6=4.4 （米）设点A的影子落到地面

15、上某一点C,则在 ABC中，Z ACB =30° ,AB = 16 米，所以 BC = AB cotZACB =16父 J3 27.7 （米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米。/ ABC = 606、提示：由题意/ APB = / BPC=Z CPA=120° ,设/ PBC= a , 则/ ABP =60° - a , . BAP = / PBC= a ,AP BP 2 . ABP bpc, = bp2=AP - PCBP PC 'BP = . AP PC = . 48 = 4.3三、解答题1、证明：如图延长 AD至E,使

16、AD =DE,连结BE。. BD = DC, AD = DE , / ADC = / EDB ACD EBD AC = BE在 ABE 中，AE VAB+BE,即 2AD V AB+AC . AD V 1 （AB+AC）22、答案提示：在 ABC 中，不妨设 aw b< c -a+b>c口 a+b+c>2c 即 p>2cn c< ,另一方面 c>a且 c>b= 2c>a+b . - 3c>a + b +c = p=> c> o3因此E M c ：二p323、证明：. / ACB = 90 ° , DE/BC, DF / AC , ，DE，AC, DEXBC, 从而/ ECF=/ DEC = Z DFC=90° 。 CD是角平分线 DE=DF,即知四边形 CEDF是正方形。在 RtAAED 和 RtADFB 中， DE / BC . . / ADE = / B RtAAED RtA DFBAE DE=，即 DE DF = AE - BF -CD = 72 DE= V2 DF,DF BF. .CD2 =、2DE ,2DF =2DE DF =2AE BF4、解：这一问题等价于在 1, 2, 3,，2004中选k1个数，使其中任意三个数都不能 成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的