人教版八年级上册平方差公式与完全平方公式的应用指南

1、平方差公式与完全平方公式的应用指南山东沂源县徐家庄中心学校256116左效平平方差公式和完全平方公式是两个重要的工具性公式，如能熟练掌握公式，能帮助我们解决许多数学问题，今天就和同学们一起走进平方差公式与完全平方公式的应用指南，领略一番.一、利用公式判断因式分解的正误一23例1(2014?福建？泉州)分解因式x y- y结果正确的是()2 2 2 2A. y(x+ y)B. y(X- y)C. y(x - y)D. y(x- y)(x+ y)分析：解答时，要遵循两点：一是先用提取公因式法分解；二是看余项符合哪一个公式，再用公式进行分解，注意分解时一定要彻底.”2322解：x y- y= y(x

2、 - y )= y(x- y)(x+ y)，所以应该选择D.点评：熟练应用平方差公式是解题关键.二、利用公式确定因式分解的最后结果223例2(2014?呼和浩特)把多项式6xy - 9x y- y因式分解，最后结果为 _ .分析：解答时，我们要尽量保持最高次项的系数为正，后按照常规解题思路解答即可.22332222解：6xy - 9x y- y=-(y - 6xy + 9x y)=-y(y - 6xy + 9x)2=-y(y- 3x).点评：熟练掌握完全平方公式是解题关键.三、利用平方差公式分解因式求值2 2例3(2014?广东？汕尾)已知a+b=4,ab=3，贝Ua - b=_.2 2分析：

3、根据a - b=(a+b) (a-b),然后代入求解.2 2解：因为a+b=4,ab=3,且a - b=(a+b) (a-b),所以2 2a - b=(a+b) (ab)=4x3=12.所以应该填：12.点评：熟练应用平方差公式， 把被求解的对象化归为已知条件表达的方式，后代入求解即可.四、利用平方差公式分解因式，探求分解项的值2例4( 2014?益阳)若x9=(x3) (x+a)，贝U a=_.分析：解答时的基本思路是：一是直接用公式分解因式；二是比较分解后因式，按照对应 项相同的原则，求出需要的答案.2 2解：因为x9=(x-3)(x+3)，且x9=(x3) (x+a)，所以x+3= x+

4、a,所以a=3.点评：理解因式分解实质是恒等变形，所以对应项是相同是解题的关键.五、利用平方差公式，探求等式变化中的规律例5（2014?安徽省）观察下列关于自然数的等式：2 2 2 2 2 23 - 4? 1=5,5 - 4? 2=9,7 - 4? 3=13根据上述规律解决下列问题：（1）_完成第四个等式：92-4X-2=；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.分析：由三个等式可得， 被减数是从3开始连续奇数的平方， 减数是从1开始连续2 2右边=2（2n+1）仁4n+2仁4n+1.左边=右边，所以（2n+ 1）-4n=2（2n+1）1；的猜想是正确的.点评：找出数

5、字之间的运算规律，充分利用平方差公式就可以顺利完成猜想的证明.六、用平方差公式探求图形覆盖中的面积大小例6（2014?宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 _（用a、b的代数式表示）解:2 2 2 2(1)因为3 - 4? 1=5,5 - 4? 2=9所以94X-2=_ =94X42=17;2 2(2)第n个等式为：(2n + 1) - 4n=2(2n+1) 1;证明：因为左边2 2 2 2=(2n+ 1) - 4n=(2n+ 1) - (2n) = (2n+ 1+ 2n)(2n+ 1-2n)= 4n+ 1分析：未被覆盖图形的面

6、积和等于图2中正方形的面积与图1中正方形的面积的差， 因此求 得两个正方形的边长便成为解题的关键.解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图和列出方程组得,自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1,由此规律得出答案即可.2 2，7 - 4? 3=13a + b a- b=丁，x2= ， 所以大正方形中未被小正方形覆盖部分 的面积=( )-( )2x4=ab.所以应该填ab.24点评：正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键.七、用平方差公式完成恒变形结果的猜想例7(2014?临沂)请你计算：(1+x)(1-x),(1 x)(1 x x

7、2),，猜想(1 -x)(1 x x -xn)的结果是()(A)1 Xn 1.(B)1xn1.(C)1 Xn(D)1 xn.分析：解答时，把握好两点，一是准确的进行计算；二是准确的寻找式子的特点，结果 的特点，明确变化中，哪些量是保持不变，哪些量一直在不断变化，变化的规律是什么，问 题就顺利破解.23解：(1+x)(1-x)=1-x,(x)(1 x x2)=1-x,，规律为结果的第一项是数字1,保持不变，运算为减法，第二项的底数为x，指数等数多项式中最高次数加1，所以2n + 1(1 _x)(1 x x亠xn)=1-x，所以选择A.点评：善于抓住问题的变量，常量找规律是解题的常用方法，要熟练掌

8、握.八、用完全平方公式，根据条件探求数列中0的个数例8(2014?扬州)设a1,a2,.,a2014是从1,0,-1这三个数中取值的一列数，若2 2 2a1a2. a2014= 69,佝1) (a?1).恵口1) =4001,则印，a?,，a2014中为0的个数_ .分析：解答时，冋学们要注意把握好两个重要因素，一是完全平方公式的展开要准确；二是正确确定数字1,0,-1的平方的幕值.解：因为(a11)(a21). (a20141)-4001，所以(a1+a2+a2014)+2(a1+a2+a2014)+(1+1+1)=4001,因为a1+a2+a2014=69,2 2 2 2 2 2所以a1+a2+a?014+138+2014=4001，所以a1+a2+a?014=1849,因为a1,a2,2 2a2014是从1,0 , -1这三个数中取值，所以每一个数平方后的数值为1或0,因为a1+a2+2+a2014=1849，所以2014个数中平方值为1的数有1849个，所以为0的个数为：2014-1849=165个，所以应该填165.厂、十