选修2-3课件1.3.2二项式定理(4)

1、2021/8/211.3.2 二二 项项 式式 定定 理理2021/8/221 1、二项式定理：、二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)(2 2、通项公式：、通项公式：1(0,1,2,)rnrrrnTC abrn 3 3、特例：、特例：nnnrrnnnnxCxCxCxCx 22111）（(展开式的第r +1项)温故知新温故知新2021/8/23(2)增减性与最大值：增减性与最大值： 从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小大，随后又逐渐减小.因此，当因此，当n n为偶数时，中间一项的二项式系数为偶数时，中间一项

2、的二项式系数2nnC12nnC12nnC(3) 二项式系数的和二项式系数的和0122rnnnnnnnCCCCC(1)对称性：对称性：二项式系二项式系数的性质数的性质mn mnnCC131202 nnnnnCCCC取得最大值；当取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系为奇数时，中间两项的二项式系数数 、 相等且同时取得最大值相等且同时取得最大值2021/8/24在在 展开式中展开式中 1023xy(1)求二项式系数的和求二项式系数的和;例例1.(2)各项系数的和各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项的系数和与偶数

3、项的系数和奇数项的系数和与偶数项的系数和;1024151210152101 522021/8/251.在在(ab)20展开式中，与第五项的系数相同的展开式中，与第五项的系数相同的项是项是( ).2.在在(ab)10展开式中，系数最大的项是展开式中，系数最大的项是( ).A 第第6项项 B 第第7项项 C 第第6项和第项和第7项项 D 第第5项和第项和第7项项A 第第15项项 B 第第16项项 C 第第17项项 D 第第18项项CA学生活动学生活动2021/8/26学生活动学生活动3、已知、已知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求求a0+ a1+ a

4、2+ +a9+ a10的值的值(2)求求a0+ a2+ a4+ + a10的值的值103)13(2110 4234012342202413(23),()()xaa xa xa xa xaaaaa 4 4、若若则则_ _ _ _ _ _ _ . .1nbxaxf)()( 设设2)1()1( ff其其奇奇次次项项系系数数的的和和是是2)1()1( ff其其偶偶次次项项系系数数的的和和是是结论结论:展开式所有项系数和为展开式所有项系数和为f(1)2021/8/275.( 15.( 1x x ) ) 1313 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 （ ）(A)(A)第六项第六项 (B)(B

5、)第七项第七项 （C C）第八项）第八项 (D)(D)第九项第九项C学生活动学生活动写出系数最小的项与系数最大的项写出系数最小的项与系数最大的项66666 11313()TCxCx77677 11313()TCxCx 2021/8/28基础训练：基础训练：2110:1nxxx 、已已知知展展开开式式中中第第五五项项的的系系数数与与第第三三项项的的系系数数比比是是，求求展展开开式式中中含含 的的项项122121 2222187nnnnnrnnnnCCCCCC 、如如果果： 求求：的的值值199520080090095()abcdabcd变变式式：求求展展开开式式中中项项的的系系数数2021/8/

6、293.3.求值：求值：1091827364551010101010(2)333333CCCCC1224364851055555(1)122222CCCCC4637289101010103333CCCC2021/8/210例例2 已知已知 的展开式中只有第的展开式中只有第10项项系数最大，求第五项。系数最大，求第五项。 nxx431解：依题意，解：依题意， 为偶数，且为偶数，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxCTT变式：变式：若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？19.或18或17n(答案略答案略)2021/8/211例例3 3 写出

7、在（写出在（a+a+2 2) )1010的展开式中，的展开式中， 系数系数最大最大的项？的项？r2Cr1011 -r2C10 rr2Cr1011r2C10 r解：设系数最大的项是第解：设系数最大的项是第 r + 1 r + 1 项，则项，则2(11-r) rr+1 2(10-r)322319 r7r 则系数最大的项是第则系数最大的项是第8 8项项737102aC2021/8/212例例4 4、已知、已知a a, ,b bN N，m m, ,n n Z Z ，且，且2 2m m + + n n = 0 = 0，如果二项式如果二项式( ( ax ax m m + + bx bx n n ) )12

8、12 的展开式中系数的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求最大的项恰好是常数项，求 a a : : b b 的取值范围。的取值范围。 nrrmrrrrnrmrrxbaCbxaxCT )12(121212121)()(解：解：令令m (12 r )+ nr = 0，将，将 n =2m 代入，解得代入，解得 r = 4故故T5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。 的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数6545TTTT 57512484123931248412baCbaCbaCbaC即即4958 ba解得解得2021/8/213 例例5.已知已知(12x+3x2)7=a0+a1x

9、+a2x2+ +a13x13 +a14x14 . (1)求求a0+a1+a2+ +a14 ; (2)求求a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+ +a13 .2021/8/214例例6.6.证明证明: :0 21 22 222(1)()()()()nnnnnnnCCCCC121(2)22nnnnnCCnCn2021/8/215学生活动：学生活动：1、已知、已知(2x+ )100=a0+a1x+a2x2+a100 x100，求下列各，求下列各式的值：式的值： (1)(a0+a2+a100)2(a1+a3+a99)2 ； (2)a0+a2+a100 .32021/8/216学生活动学生活动50(

10、12 ).x3、求展开式中系数最大的项(1)(12 )(1 3 )(1).xxxnxx1、求的展开式中 项的系数2*212(-1)4nnxnNnxx 2 2、设设，且且，求求证证：2021/8/217例例5 求证：求证： (nN，且，且n2)n3)2(21nn证明：证明：nnnnnnnnnnnCCCC2222) 12(312211)22()2(21221nnnnnnnCCCn又又n2，上式至少有三项，且，上式至少有三项，且nnnnnnCCC221220 (nN，且，且n2)2(21nnn32021/8/218（1 1） 能被能被10001000整除整除19910例例2 2、求证：、求证：（2

11、2） 能被能被7 7整除整除15151（3 3） 能被能被 整除整除), 3( 11Nnnnn2) 1( n2021/8/219例例3 计算计算 (精确到精确到0.001)5997. 155)997. 01 (997. 155)003. 02(997. 1解：解：322345003. 0210003. 0210003. 0252761.3100072. 024. 032997. 1555)003. 02(997. 12021/8/220例题讲解：例题讲解：例例1 在在 的展开式中，的展开式中， 的系数的系数是多少？是多少？求求 展开式中含展开式中含 的项的项.103)1)(1 (xx5x62)

12、1 (xx5x解：解：原式原式=10310)1 ()1 (xxx可知可知 的系数是的系数是 的第六项系数与的第六项系数与 的第三项系数之和的第三项系数之和.5x10)1 (x103)1 (xx即：即：20745252210510CC原式原式=621xx 62524232)()(6)(15)(20 xxxxxxxx 其中含其中含 的项为：的项为：5x555566)4(15320 xxxx2021/8/221课堂小结：课堂小结： 本节课讨论了二项式定理的应用，本节课讨论了二项式定理的应用，包括组合数的计算及恒等式证明、近似包括组合数的计算及恒等式证明、近似计算与证明不等式、整除、二项式系数计算与证明不等式、整除、二项式系数与系数最大问题等当然，二项式定理与系