chapter8量子力学的定理

1、第七章第七章 量子力学的定理量子力学的定理7.1 积分的括号记法积分的括号记法7.2 厄米算符厄米算符7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数7.5 宇称宇称7.6 测量与态的叠加测量与态的叠加7.7 量子力学公设量子力学公设7.1 7.1 积分的括号记法积分的括号记法nAmAAdAnmnmnm另一种记法：另一种记法：mnnmAdA在这两种记法在这两种记法 和和Amn中隐示着对第一个中隐示着对第一个出现字母的函数用了复共轭。一个象出现字母的函数用了复共轭。一个象 的的积分叫做算符积分叫做算符 的矩阵元。的矩阵元。nAmAdAnm7.2.1 定义：

2、对于所有的品优函数都满足定义：对于所有的品优函数都满足(7.1)式式的线性算符叫做厄米算符。的线性算符叫做厄米算符。a.17dAdAb.17dfAggdAf或者或者 对于这两个定义是完全等价的。一方面当对于这两个定义是完全等价的。一方面当(7.1b)式中式中fg时，就还原为时，就还原为(7.1a)式了。式了。7.2 7.2 厄米算符厄米算符 现在来证明现在来证明(7.1b)式是式是(7.1a)式的推论。式的推论。 令令(7.1a)式中的式中的fcg，这样，由，这样，由(7.1a)式给出：式给出： dcgfAcgfdcgfAcgfdcgAcgfdfAcgfdcgAcgffdAcgfdgAgccd

3、gAfcdfAgcdfAfgdAgccgdAfcfdAgcfdAf*7.2 7.2 厄米算符厄米算符 根据根据(7.1a)式的定义，可知上式左端第一项应式的定义，可知上式左端第一项应等于右端第一项，以及左端最后一项等于右端最等于右端第一项，以及左端最后一项等于右端最后一项，这样就得到：后一项，这样就得到：dgAfcdfAgcgdAfcfdAgc*无论无论c等于何值，上式都成立，令上式中等于何值，上式都成立，令上式中c1，则：，则：7.2dgAfdfAggdAffdAg令令ci，再在两端同除以，再在两端同除以i，有：，有：7.3dgAfdfAggdAffdAg7.2 7.2 厄米算符厄米算符7.

4、2 7.2 厄米算符厄米算符 此时，把此时，把(7.2)式和式和(7.3)式相加，得：式相加，得：dgAf2gdAf2dgAfgdAf两端同除以两端同除以2 2，得，得证毕证毕7.2.2 下面我们证明动能算符的厄米性下面我们证明动能算符的厄米性(以一维情况为例以一维情况为例)。要证明：要证明：dxTdxTijji7.2.2 7.2.2 动能算符的厄米性动能算符的厄米性dxdxd2mdxTj22i2jiji2d2mijj*i2d2mji2ij2ij2d2mddxd2md2m7.2.2 7.2.2 动能算符的厄米性动能算符的厄米性*ijj*i2d2mdxdxd2md2m*ij2*ij2dxdxd2

5、mdxdxd2m2i2j2*i22j2dxTdxdxd2miji222j7.2.3 7.2.3 厄米算符的本征值是实数厄米算符的本征值是实数 对应于物理量对应于物理量A的算符的算符 的本征值是测量的本征值是测量A的可能结的可能结果，所以这些本征值必须是实数。果，所以这些本征值必须是实数。A 接下来我们证明接下来我们证明厄米算符的本征值是实数。厄米算符的本征值是实数。 设算符设算符 是厄米算符，则有：是厄米算符，则有：A47iAiiAi. 假设假设i是是算符算符 的具有本征值的具有本征值b的一个本征函数，即的一个本征函数，即A57bAii. 将将(7.5)式代入式代入(7.4)式中，得到：式中，

6、得到：7.2.3 7.2.3 厄米算符的本征值是实数厄米算符的本征值是实数ibiibii | ibi | ib0i | ii | i因为：因为：所以，就得到：所以，就得到：bb*即：厄米算符的本征值是实数。（证毕）即：厄米算符的本征值是实数。（证毕）7.2.4 7.2.4 厄米算符的本征函数的正交、归一性厄米算符的本征函数的正交、归一性定理：厄米算符的本征函数是，或者可选作是正交的。定理：厄米算符的本征函数是，或者可选作是正交的。可分两种情况来证明：可分两种情况来证明：(1) 非简并时，即：非简并时，即：tstG,GBsF,FB式中，式中，F和和G是算符是算符 的两个线性独立的本征函数，对的两

7、个线性独立的本征函数，对应的本征值分别为应的本征值分别为s和和t，且，且s不等于不等于t。B根据厄米算符的定义，得：根据厄米算符的定义，得：FBGGBFFsGGtF7.2.4 7.2.4 厄米算符的本征函数的正交、归一性厄米算符的本征函数的正交、归一性F|GsGFt|因为：因为：ssF|GGF以及,|所以：所以：GFsGFt|0GFs-t|此时此时ts，所以有：，所以有：0GF|这样就证明了厄米算符对应于不同本征值的两个这样就证明了厄米算符对应于不同本征值的两个本征函数是正交的。本征函数是正交的。7.2.4 7.2.4 厄米算符的本征函数的正交、归一性厄米算符的本征函数的正交、归一性(2) 在

8、简并的情况下，虽然不能保证本征函数的正在简并的情况下，虽然不能保证本征函数的正交性，但是我们总可以构成彼此正交的本征函数。交性，但是我们总可以构成彼此正交的本征函数。此时，我们假设此时，我们假设F和和G是厄米算符是厄米算符 的具有同一本征的具有同一本征值值s的两个线性独立的本征函数，即：的两个线性独立的本征函数，即：BsGGBsF,FB根据定理，我们知道：根据定理，我们知道：F和和G的任意线性组合必然的任意线性组合必然也是算符的具有同一本征值的本征函数。令：也是算符的具有同一本征值的本征函数。令：7.2.4 7.2.4 厄米算符的本征函数的正交、归一性厄米算符的本征函数的正交、归一性cFGF,

9、21为使为使1 1和和2 2正交，我们确定常数正交，我们确定常数c。0d21要使：要使：即：即：FdFcGdFdcFGF所以，可使所以，可使c为：为：FdFGdFc 这样，我们就可以找到对应于简并本征值的本这样，我们就可以找到对应于简并本征值的本征函数征函数1和和2。7.2.5 7.2.5 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化 对于对于n重简并的情况，我们总可以用施密特正重简并的情况，我们总可以用施密特正交化选得它们的一套正交的本征函数。交化选得它们的一套正交的本征函数。 施密特正交化的标准步骤：施密特正交化的标准步骤： 设设 为为n重简并能级的一套本征函重简并能级的一

10、套本征函数（不一定是正交，归一的）。数（不一定是正交，归一的）。n21,(1) 定义第一个新函数：定义第一个新函数：111c(2)第二个新函数为：第二个新函数为：211222|c归一化确定归一化确定c1，c2，c3等等7.2.5 7.2.5 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化证明：证明：0|c|c|21212211121221(3)第三个新函数为：第三个新函数为：322311333|c0|c|c|313133221311131331证明：证明：7.2.5 7.2.5 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化同理，可证明：同理，可证明：0|32依次类

11、推，可以得到依次类推，可以得到n4, 最终得到的一套新函数最终得到的一套新函数 就是就是n重重简并能级的正交、归一的本征函数。简并能级的正交、归一的本征函数。n321,7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开 在前面的内容中，我们曾将一个函数用台劳在前面的内容中，我们曾将一个函数用台劳级数展开，现在我们将一个函数用具有相同边界级数展开，现在我们将一个函数用具有相同边界条件的一组函数来展开。条件的一组函数来展开。如：我们将满足一维势箱边界条件的任意函数如：我们将满足一维势箱边界条件的任意函数f(x)可可用一维势箱的本征函数集来展开。用一维势箱的本征函数集来展开。 67lx,0lxnal2

12、axf1nn211nnn.sin7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开 对对(7.6)式我们不做证明，只将说明它用于表式我们不做证明，只将说明它用于表示一个具体的函数。示一个具体的函数。 在应用在应用(7.6)式展开一个具体函数前，我们必式展开一个具体函数前，我们必须要先推导出展开系数须要先推导出展开系数an的表达式。的表达式。 为此，我们用为此，我们用mm* *乘以乘以(7.48)式两端，得：式两端，得： 77lxmlxnal2axf1nn1nnmnm.sinsin 将上式两端从将上式两端从0到到l积分，有：积分，有：7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开 87dxlxm

13、sinlxnsinl2adxadxxf1nl0n1nl0nmnl0m. 根据一维箱中粒子波根据一维箱中粒子波函数的正交、归一性函数的正交、归一性 m1nmnnl0maadxxf这样，我们就导出了这样，我们就导出了(7.6)式中展开系数式中展开系数an的表达式：的表达式： l0nndxxfa7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开将上式代入将上式代入(7.6)式中，得：式中，得： 1nnl0nxdxxfxf考虑函数考虑函数f(x)为如下函数，然后用为如下函数，然后用(7.6)式将其展开：式将其展开： lx2lx,lxf2lx0 x,xf l0nndxxfa7.3 7.3 按本征函数的展开

14、按本征函数的展开将上式代入将上式代入(7.6)式中，得：式中，得： 1nnl0nxdxxfxf考虑函数考虑函数f(x)为如下函数，然后用为如下函数，然后用(7.6)式将其展开：式将其展开： lx2lx,lxf2lx0 x,xf7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开首先对于这个函数，先计算展开系数首先对于这个函数，先计算展开系数an，得：，得： 2nsinn2ldxlxnsinx-ll2dxlxnxsinl2dxxflxnsinl2a2223l2l212l021l021n7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开将系数将系数an表达式代入表达式代入(7.6)式，得：式，得： 1n

15、21n222212nlx12nsin14llx5sin51lx3sin31lxsin4lxf现在，来验证在现在，来验证在xl/2时的正确性。时的正确性。根据函数形式，可得：根据函数形式，可得：f(l/2)=l/27.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开 下表表示了将此函数用一维势箱波函数展开下表表示了将此函数用一维势箱波函数展开时，无穷级数中所取项数与函数值的关系：时，无穷级数中所取项数与函数值的关系： 从表中可以看出，只要取从表中可以看出，只要取20项，就可以得到项，就可以得到很好的值。如果取无限多项，函数值应为很好的值。如果取无限多项，函数值应为l/2。 这样，我们看到了用一维势箱

16、中粒子的波函这样，我们看到了用一维势箱中粒子的波函数来展开任意一个满足同样边界条件的函数。事数来展开任意一个满足同样边界条件的函数。事实上，可以有许多不同的函数集可用来展开任意实上，可以有许多不同的函数集可用来展开任意一个具有相同边界条件的函数。如果一个函数集一个具有相同边界条件的函数。如果一个函数集能将任意一个与能将任意一个与 i服从同样边界条件的品优函数服从同样边界条件的品优函数f按下式展开为按下式展开为i的线性组合，则我们就说的线性组合，则我们就说i构成构成一个完备集。一个完备集。7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开,i21iiiaf 这样，我们看到了用一维势箱中粒子的波函这

17、样，我们看到了用一维势箱中粒子的波函数来展开任意一个满足同样边界条件的函数。事数来展开任意一个满足同样边界条件的函数。事实上，可以有许多不同的函数集可用来展开任意实上，可以有许多不同的函数集可用来展开任意一个具有相同边界条件的函数。如果一个函数集一个具有相同边界条件的函数。如果一个函数集能将任意一个与能将任意一个与 i服从同样边界条件的品优函数服从同样边界条件的品优函数f按下式展开为按下式展开为i的线性组合，则我们就说的线性组合，则我们就说i构成构成一个完备集。一个完备集。7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开,i21iiiaf厄米算符的一个重要性质厄米算符的一个重要性质：一个厄米算

18、符的全部一个厄米算符的全部本征函数构成了完备集。本征函数构成了完备集。7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开 这样，我们可以用一厄米算符的本征函数完这样，我们可以用一厄米算符的本征函数完备集来展开任意一个与之服从相同边界条件的品备集来展开任意一个与之服从相同边界条件的品优函数。优函数。iiiaffda*ii这样：这样： ii*ifdf厄米算符的性质概括为厄米算符的性质概括为：一个厄米算符的全部本一个厄米算符的全部本征函数构成了一个正交、归一完备集，以及本征征函数构成了一个正交、归一完备集，以及本征值是实数。值是实数。7.3 7.3 按本征函数的展开按本征函数的展开7.4 7.4 可对

19、易算符的本征函数可对易算符的本征函数 证明证明1：如果存在两个线性算符的一个共同本：如果存在两个线性算符的一个共同本征函数完备集，则这两个算符可对易。征函数完备集，则这两个算符可对易。 证明：令证明：令 和和 表示具有共同本征函数完备表示具有共同本征函数完备集集i的两个线性算符。即：的两个线性算符。即：ABiiiiiitB,sA7.9ffABBAB,A f为任意函数，我们用本征函数的完备集为任意函数，我们用本征函数的完备集i来来展开展开f。得：。得：107cfiii.7.4 7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数 将将(7.10)式代入式代入(7.9)式，得：式，得：0sttscsB

20、tAcABBAcABBAccABBAfABBAiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii 这样，就证明了这样，就证明了0B,A（证毕）（证毕）思考：思考：如果存在如果存在 与与 的一个共同本征函数的话，的一个共同本征函数的话，则它们可对易，对吗？则它们可对易，对吗？7.4 7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数AB 设设是它们的一个共同的本征函数。即有：是它们的一个共同的本征函数。即有：tB,sA0tsstABBA这样，这样，所以：所以：0B,A 证明证明2：如果两个算符可对易，则可找到它们：如果两个算符可对易，则可找到它们的一套共同的本征函数完备集。的一套共同的本征函数完备集。

21、7.4 7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数 证明：令证明：令i和和ti分别是算符分别是算符 的本征函数和本的本征函数和本征值，即：征值，即：BiiitB 将算符将算符 作用于上式两端，得：作用于上式两端，得：AiiitABA 由于算符由于算符 和和 可对易，且可对易，且 是线性算符，则：是线性算符，则：ABA7.4 7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数117AtABiii. 此式表明函数此式表明函数 也是算符也是算符 的具有本征值的具有本征值ti的本的本征函数。征函数。iAB 若算符若算符 的本征值是非简并的的本征值是非简并的，则对应于本征值，则对应于本征值ti的线性

22、独立的本征函数只有一个，函数的线性独立的本征函数只有一个，函数 和和 应是应是线性相关的。即：线性相关的。即：BiAi为任意常数为任意常数iiiiccA 此式表明函数此式表明函数 也是算符也是算符 的本征函数。的本征函数。iA7.4 7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数 这样，我们就证明了在非简并情况下，若两个算这样，我们就证明了在非简并情况下，若两个算符可对易，则它们可有一共同的本征函数完备集。符可对易，则它们可有一共同的本征函数完备集。 对于简并情况的对于简并情况的，令具有本征值，令具有本征值ti的能级是的能级是n重简并重简并的。从的。从(7.11)式可以得知式可以得知 是是

23、的一个具有本征值的一个具有本征值ti的的本征函数。它必定是对应于本征值本征函数。它必定是对应于本征值ti的的n个线性独立的个线性独立的本征函数的某一线性组合。但是还不能断言本征函数的某一线性组合。但是还不能断言i是是 的的本征函数。事实上，取本征函数。事实上，取n个线性独立的本征函数的合个线性独立的本征函数的合适的线性组合总可以构成适的线性组合总可以构成 的另一个的另一个n个线性独立的本个线性独立的本征函数集，使得其同时也是算符征函数集，使得其同时也是算符 的本征函数集。的本征函数集。BiAABA7.4 7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数 例如：对于氢原子，算符例如：对于氢原子，

24、算符 与与 是可对易的。是可对易的。 的的本征函数中的本征函数中的因子可以为因子可以为sin(m)和和cos(m)，在，在此情况下，此函数不是此情况下，此函数不是 的本征函数的本征函数(除了除了m0以外以外)。然而其线性组合：然而其线性组合：zLzLHH imRSemimSrRsincos 给出了给出了 的本征函数，它当然仍是的本征函数，它当然仍是 的本征函数。的本征函数。HzL7.4 7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数 定理：若定理：若i是厄米算符是厄米算符 的具有本征值的具有本征值si的本征函的本征函数，则对于与算符数，则对于与算符 可对易的算符可对易的算符 ，有：，有：AA

25、Bjij*iijss0dBB对于对于, 证明：证明：jijjijjjijjij*iijBAs1ABs1sBs1BdBB7.4 7.4 可对易算符的本征函数可对易算符的本征函数ijijiiij*iiijijjiijjBsB|s|Bss|BABBABs算符算符 的厄米性的厄米性A厄米算符的本征值是实数厄米算符的本征值是实数这样就得到：这样就得到：0BssBsBsijijijiijj因为：因为：ijss 所以：所以：0Bij证毕证毕7.5 7.5 宇称宇称 宇称算符宇称算符 是将函数的每个笛卡儿坐标换成其负值是将函数的每个笛卡儿坐标换成其负值的算符：的算符：zy,x,fzy,x,f 例如：例如：ay

26、2ay2zexzex 考虑宇称算符的本征函数和本征值：考虑宇称算符的本征函数和本征值：iiigcg 7.5 7.5 宇称宇称zy,x,fzy,x,fzy,x,fzy,x,fzy,x,f 2 由于函数由于函数f是任意函数，所以断定算符是任意函数，所以断定算符 是单是单位算符：位算符：212 这样，将算符这样，将算符 作用于其本征方程两端，得：作用于其本征方程两端，得：ii2iiiiggcgcg27.5 7.5 宇称宇称 这样，就得到：这样，就得到：1c2i所以：所以：1ci即，算符即，算符 的本征值是：的本征值是：1和和1。 当本征值为当本征值为1时，时， 的本征函数为：的本征函数为：zy,x,

27、gzy,x,gizy,x,gzy,x,gi得到：得到：即：当本征值为即：当本征值为1时，时， 的本征函数是任意的偶函数。的本征函数是任意的偶函数。当本征值为当本征值为-1时，时， 的本征函数为：的本征函数为：zy,x,gzy,x,gizy,x,gzy,x,gi得到：得到：即：当本征值为即：当本征值为-1时，时， 的本征函数是任意的奇函数。的本征函数是任意的奇函数。7.5 7.5 宇称宇称所以，宇称算符所以，宇称算符 的本征函数是任意的奇、偶函的本征函数是任意的奇、偶函数，本征值是数，本征值是1和和1。这样，我们常说如果一个。这样，我们常说如果一个函数不是奇函数就是偶函数，那么它就具有一定函数不

28、是奇函数就是偶函数，那么它就具有一定的宇称。的宇称。考虑宇称算符与哈密顿算符的对易关系：考虑宇称算符与哈密顿算符的对易关系：7.5 7.5 宇称宇称H,以单粒子体系为例：以单粒子体系为例： V,V,T,H,x2m,x2m,x2m222222222 zy,x,xzy,x,xzy,x,xxzy,x,x222222所以：所以：7.5 7.5 宇称宇称 V,H,0,x22同理，可以求得：同理，可以求得：0,y220,z22这样，就得到：这样，就得到： zy,x,zy,x,Vzy,x,zy,x,V此时，若势能函数是偶函数，则有：此时，若势能函数是偶函数，则有： zy,x,zy,x,Vzy,x,zy,x,

29、Vzy,x,zy,x,V所以：所以：7.5 7.5 宇称宇称0V,结论：结论：当势能函数是偶函数时，宇称算符与体系的当势能函数是偶函数时，宇称算符与体系的哈密顿算符可对易，即：哈密顿算符可对易，即：是偶函数时当VH,，0结论表明：结论表明：当势能函数是偶函数时，体系的哈密当势能函数是偶函数时，体系的哈密顿算符和宇称算符可以有共同的本征函数集。而顿算符和宇称算符可以有共同的本征函数集。而宇称算符的本征函数是奇偶函数，因此我们可以宇称算符的本征函数是奇偶函数，因此我们可以选择奇偶函数作为体系哈密顿算符的本征函数，选择奇偶函数作为体系哈密顿算符的本征函数，即体系的哈密顿算符可具有一定的宇称。即体系的

30、哈密顿算符可具有一定的宇称。7.5 7.5 宇称宇称 若能级没有简并性（若能级没有简并性（一维体系通常如此一维体系通常如此）则）则对应于每一个能级的线性独立的本征函数只有一对应于每一个能级的线性独立的本征函数只有一个，没有选择的余地，所以，个，没有选择的余地，所以，当势能函数是偶函当势能函数是偶函数时，对于非简并情况，定态波函数必须有一定数时，对于非简并情况，定态波函数必须有一定的宇称。的宇称。 例如：一维谐振子的势能函数是偶函数，所例如：一维谐振子的势能函数是偶函数，所以其定态波函数必有一定的宇称。（这一点在前以其定态波函数必有一定的宇称。（这一点在前面的学习中已看到）面的学习中已看到） 对

31、于简并情况，就有选择波函数的余地。但对于简并情况，就有选择波函数的余地。但是我们总可以选择适当的组合使选的波函数具有是我们总可以选择适当的组合使选的波函数具有一定的宇称。一定的宇称。7.5 7.5 宇称宇称 为什么要选择有宇称的波函数呢？因为宇称为什么要选择有宇称的波函数呢？因为宇称可以使得积分的计算变得什么简单。可以使得积分的计算变得什么简单。 为奇函数时为奇函数时当当xf, 0dxf 将此结果推广到将此结果推广到3n维情况。一个维情况。一个3n个变量的个变量的奇函数满足：奇函数满足：7.5 7.5 宇称宇称nnn111nnn111z ,y,x,z ,y,xgz,y,x,z,y,xg 若若g

32、是是3n个变量的奇函数，则：个变量的奇函数，则：0zddxz ,xgn1n1 更普遍的情况是被积函数为某几个变量的奇更普遍的情况是被积函数为某几个变量的奇函数而不是全部两个的奇函数时。函数而不是全部两个的奇函数时。7.5 7.5 宇称宇称 令令f就是这样的一个函数：就是这样的一个函数：m2k1kk21m2k1kk21q,q,q,q, ,q,qfq,q,q,q, ,q,qf 式中式中1km。对于函数。对于函数f服从下式：服从下式：0qddqq,qfm1m17.5 7.5 宇称宇称 证明：证明：0dqdqqddqq,q,q,qfqddqq,qfm1kk1m1kk1m1m10这些变量在中括号内这些变

33、量在中括号内的积分时可看作常数的积分时可看作常数7.6 7.6 测量与态的叠加测量与态的叠加 对于一个对于一个n粒子体系，用符号粒子体系，用符号q表示表示3n个坐标。个坐标。假设算符假设算符 的本征值的本征值gi是测量性质是测量性质G的仅有的可能的仅有的可能结果。结果。i表示它的本征函数，则有：表示它的本征函数，则有：G qgqGiii 代表一物理量可观测量的任一线性厄米算符代表一物理量可观测量的任一线性厄米算符的本征函数构成一个完备集，可以将任意一个满的本征函数构成一个完备集，可以将任意一个满足相同边界条件的品优函数展开。因此，我们可足相同边界条件的品优函数展开。因此，我们可用用 的本征函数

34、完备集的本征函数完备集i来展开态函数来展开态函数(q) ：Giiic 根据波函数的归一化条件，得：根据波函数的归一化条件，得：1cccdccdccdccdiji2iijjiijjijiijjijijjjiii 波函数的归一性表现为展开它的本征函数完备波函数的归一性表现为展开它的本征函数完备集的各个本征函数的系数的绝对值的平方和为集的各个本征函数的系数的绝对值的平方和为1。7.6 7.6 测量与态的叠加测量与态的叠加 若若是体系的归一化的态函数，则性质是体系的归一化的态函数，则性质G的平的平均值是：均值是：ii2iijjijj*ij*iijj*ijjji*iigcgccdGccdcGcdGG 是在测量性质是在测量性质G时得到时得到gi的几率；的几率；ci是波函数的是波函数的展开式中本征函数的系数。展开式中本征函数的系数。2ic7.6 7.6 测量与态的叠加测量与态的叠加7.6 7.6 测量与态的叠加测量与态的叠加 总结：总结： qgqGiiiiiicii2igcGi是算符是算符 的本征函数，且归一化的本征函数，且归一化G由由 i是函数集来展开，且归一化是函数集来