2009年安徽省高考数学试卷(理科)及答案

1、、选择题共10小题,每题5分,总分值50分1. 5分i是虚数单位,假设""=a+bi a, bCR,那么乘积ab的值是 2-1A. - 15 B. - 3 C. 3 D. 152. 5 分假设集合 A=x| 2x- 1| <3, B=x|<0,那么 AH B是A. x| T<x< 一方或 2Vx<3 B. x| 2<x<3C. x| -y<x<2 D. x| -Kx<-13. 5分以下曲线中离心率为的是22DT-f?=122A.LA4. 5分以下选项中,p是q的必要不充分条件的是A. p： a+c>b+d,

2、q： a>b 且 c>dB. p： a> 1, b>1, q： f x =ax-b a>0,且 a*1的图象不过第二象限C. p： x=1, q： x=x2D. p： a>1, q： f x =logax a>0,且 a*1在0, +°°上为增函数5. 5 分an为等差数列,a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99,以 S 表示an的前n项和,那么使得Sn到达最大值的口是A. 21 B. 20 C. 19 D. 186. 5分设 a<b,函数 y= a- x x-b 2C的图象可能是7. 5分假设不等式组 卜所表示的

3、平面区域被直线y=kx+*分为面积相等的两局部,那么k的值是A.B.CD.8. 5 分函数 f x =/3sinwx+coswx w>0, y=f x的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 阳那么f x的单调递增区间是A.C.k 冗-, k +L 12?k 冗一, k /.5K,kCZ12,kCZ D, k9.5分函数f x在R上满足f 1+x =2f 1-x - x2+3x+1,那么曲线 y=f x在点1, f 1处的切线方程是A. x-y-2=0 B. x-y=0 C. 3x+y- 2=0 D. 3x- y 2=010. 5分考察正方体6个面的中央,甲从这6个点中任意选两个点

4、连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线,那么所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于A.C.D.a75、填空题共5小题,每题5分,总分值20分11. 5分假设随机变量XN 内,那么P X<.=12. 以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.直线的极坐标方程为93pC R,它与曲线.k=1+2cos仃ky=2+2sin Cla为参数相交于两点 A和B,那么| AB| =13. 5分程序框图即算法流程图如下图,其输出结果是14. 5分给定两个长度为1的平面向量退和冠,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心,以1半径的圆弧AB

5、上变动.假设在二薪+标,其中x,y C R,那么x+y的最大值是15. 5分对于四面体ABCR以下命题正确的序号是 .相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高,其垂足是 BCD的三条高线的交点；假设分别作 ABC和4ABD的边AB上的高,那么这两条高所在直线异面;分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.三、解做题共6小题,总分值75分16. 12分在 ABC中,sin C-A =1, sinB2.I 求sinA的值；H设AC#,求 ABC的面积.17. 12分某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型 H1N1流

6、感,其中只有A 到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C,由于难以断定他是受 A还是受B感染 的,于是假定他受A和受B感染的概率都是卷.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是!.在这种假定之下,R G D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量.写出x的分布列(不要求写出计算过程),并求x的均值(即数学期望)18. (13分)如下图,四棱锥F- ABCD的底面ABCD菱形,其对角线AC=2BD=/2. AE、CF者B与平面 ABCD垂直,AE=1, CF=2(1)求二面角B-AF- D的大小；(2)求四棱锥E-ABCDW四才8锥F-ABCD公共局部的体积.19. (12分)函数 f (x) =x-1

7、+a (2- lnx), (a>0),讨论 f (x)的单调性.20. (13分)点P (x., yo)在椭圆=1 (a>b>0) 上,xo=acos 6 yo=bsin 00V 与.直线12与直线11：黑"昆尸1垂直,o为坐标原点,直线OP的倾2a2 b2斜角为%直线12的倾斜角为Y22(I )证实：点P是椭圆三+J二1与直线11的唯一交点;/b2(n)证实:21. (13 分)tan冉tan g tan 丫构成等比数列.首项为正数的数列满足加耳03.(1)证实：假设a1为奇数,那么对一切n>2, an都是奇数;(2)假设对一切nCN+都有an+1>a

8、n,求a1的取值范围.参考答案与试题解析、选择题共10小题,每题5分,总分值50分1. 5分2021?安徽i是虚数单位,假设=a+bi a, bCR,贝乘积 ab 的值是A. - 15B. - 3 C. 3 D. 15【分析】先根据两个复数相除的除法法那么化简,再依据两个复数相等的充 2-1要条件求出a和b的值,即得乘积ab的值.【解答】解：l+7iD 色-2-1 2-4+11+3i=a+bi, . a= 1, b=3, . ab= 1X3=3.应选B.2.5 分2021?安徽假设集合 A=x| 2x- 1| <3 , B=x|<0,那么 APBA.x| T<x< 一

9、或 2Vx<3 B. x| 2<x<3C.x| -x<2 D. x| - 1<x<-【分析】集合A中的绝对值不等式可利用讨论 2x- 1的正负得到一个不等式组,求出不等式组的解集即可得到集合 A;集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x-3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组,分别求出解集即可得到集合B,求出两集合的交集即可.【解答】解：: | 2x- 1| <3, . - 3<2x- K3,即 . 1<x<2,又二<0,. (2x+1) (x-3) >0,即r2x+l>0k- 3>0或,k - 3<

10、0x>3 或 x< , 2.An B=x| - 1<x< 一 应选D3. 5分2021?安徽以下曲线中离心率为乂支的是222二22/ 【分析】通过验证法可得双曲线的方程为 二二1时,击2,五,已淮.【解答】解：选项A中a=/2, b=2, c=/z+4=/6, e=&排除.选项 B 中 a=2, c=x/6, 那么e西符合题意2选项C中a=2, c=/10,那么封里不符合题意2选项D中a=2, c=71N那么e= 乜里,不符合题意1应选B4. 5分2021?安徽以下选项中,p是q的必要不充分条件的是A. p： a+c>b+d, q： a>b 且 c&

11、gt;dB. p： a> 1, b>1, q： f x =ax-b a>0,且 a*1的图象不过第二象限C. p： x=1, q： x=x2D. p： a>1, q： f x =logax a>0,且 a*1在0, +°°上为增函数【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断,从而求解.【解答】解：A、,q： a>b 且 c>d,a+ob+d,q? p,但 p 推不出 q, p是q的必要不充分条件,故 A正确；B、=p： a> 1, b> 1, . . f x =ax- b a>

12、;0,且 a*1的图象不过第二象限,但假设b=1, a>1时f (x)的图象也不过第二象限,q推不出p,一. p是q的充分 不必要条件,故B错误；G = x=1,x=X2,但当x=0时,x=X2,也成立,q推不出p, ；p是q的充分不 必要条件,故C错误；D、=a> 1,f(x)=logax(a>0,且aw 1)在(0,+°°)上为增函数,p 是 q的充要条件,故D错误；应选A.5. (5 分)(2021?安徽)an为等差数列,a+a3+a5=105, m+a4+a6=99,以 与表示an的前n项和,那么使得S到达最大值的口是()A. 21 B. 20 C

13、. 19 D. 18【分析】写出前n项和的函数解析式,再求此式的最值是最直观的思路, 但注意 n取正整数这一条件.【解答】解：设an的公差为d,由题意得a1+a3+a5=a+a1+2d+a+4d=105,即 a1+2d=35, a2+a4+a6=ai+d+a1+3d+a1+5d=99,即 a1+3d=33, 由联立得a1=39, d=- 2,.S=39n+n'n； X (-2) =- n2+40n=- (n-20) 2+400,故当n=20时,Sn到达最大值400.应选：B.0以D.6. (5分)(2021?安徽)设a<b,函数y= (a- x) (x- b) 2的图象可能是()

14、【分析】根据所给函数式的特点,知函数值的符号取决于x的值与a的值的大小 关系,当x>a时,y<0,当x< a时,y>0,据此即可解决问题.【解答】解：= y= (a-x) (x-b) 2当 x>a 时,y< 0,故可排除A、D;又当x<a时,y>0,故可排除C;应选B.7. (5分)(2021?安徽)假设不等式组x+3y>4所表示的平面区域被直线y=kx+1分为面积相等的两局部,那么k的值是()w B1 C1 D 唱【分析】先根据约束条件：/3了>4,画出可行域,求出可行域顶点的坐标,3 升 y<4再利用几何意义求面积即可.【解

15、答】解：满足约束条件：x4-3y>4 ,平面区域如图示：；3寞十y44由图可知,直线产k/2恒经过点A (0, &),当直线卜直十与再经过BC的中点D 3o312'平面区域被直线尸上+春分为面积相等的两局部,的方程得:应选A.8. (5 分)(2021?安徽)函数 f (x) =f§sinwx+coswx (w>0), y=f (x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于 冗,那么f(x)的单调递增区间是()A. k 兀一1 k 一,k,kCZ B. k,kCZC. kL,kCZ D. kJ6,k Z【分析】先把函数化成 y=Asin (+()的形式,

16、再根据三角函数单调区间的求 法可得答案.,(w>0).【解答】解：f (x) =V3sinwx+coswx=2sin (wx+)6. f (x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于 阳恰女?是f (x)的一个=2sin (2x+-).6-=阳 w=2. f (x) 闪故其单调增区间应满足周期,Cl 订nI < -7 I K<x< k2k& 2x+ & 2k +, k C Z. k 2623应选C.9. (5 分)(2021?安徽)函数 f (x)在 R 上满足 f (1+x) =2f (1 -x) - x2+3x+1 , 那么曲线y=f (x)在点

17、(1 , f (1)处的切线方程是()A. x-y-2=0 B. x-y=0 C. 3x+y - 2=0 D. 3x- y-2=0【分析】对等式两边进行求导数,通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程.【解答】解：f (1+x) =2f (1x) - x2+3x+1 f '(1+x) =- 2f '(1 x) 2x+3f'(1) =- 2f'(1) +3f'(1) =1f (1+x) =2f (1 -x) - x2+3x+1.f (1) =2f (1) +1.f (1) =- 1切线方程为：y+1=x- 1即x-y - 2=0应选A

18、10. 5分2021?安徽考察正方体6个面的中央,甲从这6个点中任意选两 个点连成直线,乙也从这6个点种任意选两个点连成直线,那么所得的两条直线相 互平行但不重合的概率等于A.人B.甚C.亲D.白75757575【分析】先用组合数公式求出甲乙从这 6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C2,再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种,利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对,代入古典概型的概率公式求解.【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线,共有 C2=15条,乙也从 这6个点中任意选两个点连成直线,共有C2=15条,甲乙从中任选一条共有15X 15=225种不同取法,因正方

19、体6个面的中央构成一个正八面体,有六对相互平行但不重合的直线,那么 甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有 12对,这是一个古典概型,所以所求概率为 =-,应选D.二、填空题共5小题,每题5分,总分值20分11. 5分2021?安徽假设随机变量XN 内幡,那么P X四=力【分析】由正态分布的图象规律知,其在 x=以左侧一半的概率为_L,故得p山的化【解答】解：:苗艮从正态分布N 内J, 根据正态密度曲线的对称性可得.二曲线关于x=p对称,P X0.=112. 2021?安徽以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.直线的极坐标方程为 pC R,它与曲4线产&

20、quot;2azla为参数相交于两点A和B,那么|AB|= E .ly=2+2sina【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,求出弦心距,再利用弦长公式求得弦长| AB|的值.【解答】解：直线的极坐标方程为3d pC R,化为直角坐标方程为x-y=0.4曲线占1+2.台口 口为参数的普通方程为x- 1 2+ y-2 2=4,表示以ly=2+2sina（1,（2） 心,半径等于2的圆.求得弦心距dij#岑,故弦长为 %2_d2=2_/Ti,故答案为旧.13. 5分2021?安徽程序框图即算法流程图如下图,其输出结果是开始47=1a-2a-t【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流

21、程图所示的顺序,可知： 该程序的作用是利用循环计算 a值,并输出满足条件a> 100的第一个a值,模 拟程序的运行过程,用表格将程序运行过程中变量 a的值的变化情况进行分析, 不难给出答案.【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a是否继续循环循环前1/第一圈3是第二圈7是第三圈15是第四圈31是第五圈63是第六圈 127 否故最后输出的a值为：127故答案为：12714. 5分2021?安徽给定两个长度为1的平面向量怎不做,它们的夹角为 120°.如下图,点C在以O为圆心,以1半径的圆弧AB上变动.假设而二痴+黄市, 其中x, y C R,那么x+y的最大值是 2 .

22、【分析】根据题意,建立坐标系,设出 A, B点的坐标,并设/ AOC=,那么向量 OC=(cos<t, sin口),fiOC=xOA+yQB,由向量相等,得x, y的值,从而求得x+y 的最值.【解答】解：建立如下图的坐标系,WJ A (1 , 0), B (cos120°, sin120 ),即B (,三).设/AOC=,那么56= (cos% sinOC=xOA+ycS= (x, 0) + (一工,率y)二 x+y=/3sin +cos = =2sin( o+30°).V0O< a< 120°.30Y a+30v 150°.；x+y

23、有最大值2,当a=60H取最大值2 .答案：215. (5分)(2021?安徽)对于四面体ABCD以下命题正确的序号是 相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高,其垂足是 BCD的三条高线的交点；假设分别作 ABC和4ABD的边AB上的高,那么这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.【分析】根据三棱锥的结构特征判断.根据对棱不一定相互垂直判断.可 由正四面体时来判断.由棱中点两两连接构成平行四边形判断.根据两边之 和大于第三边判断.【解答】解：根据三棱锥的结构特征知正确.由于只有对棱相互

24、垂直才行,所以不一定,不正确.假设分别作 ABC和4ABD的边AB上的高,假设是正四面体时,那么两直线相交, 不正确.由于相对棱中点两两连接构成平行四边形, 而对棱的中点的连接正是平行四边 形的对角线,所以三条线段相交于一点,故正确.设图中CD是最长边.BC+BD>CD, AC+AD>CD假设 AC+BCX CD 且 AD+BD< CD贝U AC+AD+BC+BD< CC+CD,矛盾那么命题成立.故答案为：三、解做题(共6小题,总分值75分)16. (12 分)(2021?安徽)在 ABC中,sin (C- A) =1, sinB(I )求sinA的值；(H)设AC=/

25、,求 ABC的面积.【分析】I利用sin C- A =1,求出A, C关系,通过三角形内角和结合sinB=-, 求出sinA的值；II通过正弦定理,利用I及AC=",求出BC,求出sinC,然后求 ABC的面积.【解答】解：I 由于sin C- A =1,所以C-A二%,且C+A=l B,2,- ,|£inA=sin(-cos- - si碍),又 sinA>0,n如图,由正弦定理得AC BCsinB sirA又 sinC=sin (A+B) =sinAcosE+cosAsinB 17. 12分2021?安徽某地有A、B、C D四人先后感染了甲型H1N1流感, 其中只有

26、A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C,由于难以断定他是受A还 是受B感染的,于是假定他受 A和受B感染的概率都是看.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数x 就是一个随机变量.写出x的分布列不要求写出计算过程,并求x的均值即 数学期望.【分析】由题意知X的可能取值为1, 2, 3,分别求出相应的概率,由此能求出x的分布列和x的均值.【解答】解：由题意知X的可能取值为1, 2, 3, 随机变量X的分布列是X12P1,32X 的均值为 EX=1X .1+2x1+3x1=21.18. (13分)(2021?安徽)如下图,四棱锥F- ABCD的底面AB

27、C或菱形,其对角线 AC=Z BD<2. AE、CF者B与平面 ABCD®直,AE=1, CF=2(1)求二面角B-AF- D的大小;(2)求四棱锥E-ABCDW四才8锥F-ABCD公共局部的体积.【分析】(1)连接AC、BD交于菱形的中央O,过O作OG,AF, G为垂足,连接BG、DG,根据定义可知/ BGD为二面角B-AF- D的平面角,在三角形BGD 中求出此角即可；(2)连接ER EG ED,设直线AF与直线CE相交于点H,那么四棱锥E- ABCD与四棱锥F- ABCD的公共局部为四棱锥 H-ABCD 过H作HP,平面 ABCD P 为垂足,然后求出HP,利用体积公式V

28、&S菱形abcD?HP求解即可.【解答】解：(1)解：连接AC、BD交于菱形的中央O,过O作OG,AF, G为垂足,连接BG、DG.由 BD± AC, BD± CF得 BD,平面 ACF 故 BD±AF.于是AF,平面BGD,所以BG,AF, DG± AF, / BGD为二面角B-AF- D的平面 角.由 FC,AC, FC=AC=2 得 / FAC匹,OGq.42由 OB,OG OB=OD*,得/ BGD=2Z BGO二.(2)解：连接ER EG ED,设直线AF与直线CE相交于点H,那么四棱锥E-ABCg四棱锥F- ABCD的公共局部为四棱锥

29、 H-ABCD过H作HP,平面ABCD P为垂足.由于EA,平面ABCD FC1平面 ABCD所以平面 ACEFL平面ABCD 从而PC AC, HP± AC由理+旦巳空巳+££=1 得hpJ.OF AE AC AC3又由于S菱形abcWaC?BD=,故四棱锥H ABCD的体积VS菱形abcD?HP史2. 3919. (12 分)(2021?安徽)函数 f (x) =x-9+a (2-lnx), (a>0),讨论 f (x)的单调性.【分析】先求出函数的定义域,然后求出导函数 F Q)=l凸偿1,设g (x) =x2- ax+2,二次方程g (x) =0的判

30、别式 =a2- 8,然后讨论的正负, 再进一步考虑导函数的符号,从而求出函数的单调区间.【解答】解：f (x)的定义域是(0, +8), g 3二1凸一三二/一 产 .I * x2设 g (x) =x2- ax+2,二次方程 g (x) =0 的判别式 =a2 - 8.当=# 8<0,即0<廿<2旧时,对一切x>0都有f'(x) >0,止匕时f (x)在(0, +00)上是增函数.当=#-8=0,即"2心时,仅对广6有f'(x) =0,对其余的x>0都有f'(x)>0,止匕时f (x)在(0, +00)上也是增函数.当

31、=a2 8>0,即3>么因时,方程g (x) =0有两个不同的实根 町二曰 一吕,年二升%； - 8 , 0<xi<x2.x (0, xi)xi(xi, x2)x2(x2, +oo)f (x)上单调递减,在+8)上单调递增.(x)单调递增/ 极大单调递减 极小 单调递 此时f (x)在(0,汇与 - 8)上单调递增,在是20. (13 分)(2021?安徽)点 P(xo, yo)在椭圆片+台=i (a>b>0)上,xo=acos 6yo=bsin 0 0<直线12与直线li:丹叶号y=l垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为%直线12的倾斜角为Y2 .,2(I )证实：点P是椭圆与卜一二1与直线li的唯一交点；b2(n )证实：tan % tan g tan 丫构成等比数列.【分析】(I )由碧-五,得y="一气力,从而x=acos g由此能证实直线li与椭圆有唯一交点P.(H ) tan a=D=tan ft 由此得 tana tan = =tan*0,从而能证实 tan 5 tan g tan 丫构成等比数列.【解答】解：(I )由