二面角习题及答案

1、,D是BC的中点，且 ADC是边长二面角21 .如图二棱锥 P-ABC中，PC，平面ABG PC =- .3为2的正三角形，求二面角 P-AB C的大小。解2 .如图在三棱锥 S-ABC中，SAL底面 ABC AB± BC, DE垂直平分 SC,且分别交 AC、SC于 D E,又 SA =AB, BS =BC,解：解:3 . 如图：ABC皿矩形，AB =8, BC =4, AC与BD 相交于。点，P是平面 ABCD外一点，POL面ABCD PO =4, M是PC的中点，求二面角 M-BD-C大小。4 . 如图 ABC< BCD所在平面垂直，且角A-BD-C的余弦值。D解：5 .

2、 已知正方体 AC', M N分别是 BB', DD'的中点，求截面 AMC'N与面ABCD CC'D'D所成的角。解:6 .如图 AC，面 BCD BD±面 ACQ 若 AC =CD =1, Z ABC =30° ,求二面角 C AB大小。解：7 .三棱锥 A-BCD 中，/ BAC =/ BCD =90° , / DBC =30° , AB =AC =疾,AD =4,求二面角A-BC-D的度数。9 .如图所示，四棱锥P ABC而底面是边长为 a的菱形，/A= 60° ,PM平面 ABCD PC

3、= a,E是PA的中点.求证平面 BDEL平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角 A-EB- D的平面角大小.解析：10 .如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, E、F分别在棱 AB BC上，G在对角11线BD1上，且AE= 4 , bf= 2 , DIG： GB= 1 ： 2,求平面 EFG与底面 ABC所成的二面角的大小.11.如图，设ABC-A1B1C1是直三棱柱,E、F 分别为 AR A1B1 的中点，且 AB= 2AA1 = 2a,AC= BC= 3 a.(1)求证：AF± A1C(2)求二面角C- AF- B的大小12.如图 AB

4、CD ABGD1 是长方体，AB=z AAADABC与 ABCD所成二面角的大小.13.在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，K BBiCCiBK且CM 3CCi4.求：平面 AKMW ABC所成角的大小.i4.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角 C AD C .(i)若二面角C AD C是直二面角，求CC的长；(2)求AC与平面CCD所成的角；(3)若二面角C AD C的平面角为i200 ,求二面角A CC D的平面角的正切值.B参考答案解：由已知条件，D是BC的中点CD =BD =2又 AD比正三角形AD =CD =BD =2D是 ABC之外心又在 BC上

5、 ABC是以/ BAC为直角的三角形， AB XAC, 又 PC上面 ABC PA LAB （三垂线定理） / PAC即为二面角 P-AB-C之平面角，易求 / PAC =30°2、解：. BS =BC ,又DE垂直平分 SCBE ±SC, SCL面 BDEBD ±SC,又 SA1面 ABCSA ± BD, BDL面 SAC BD IDEL,且 BDXDC则 / EDC就是所要求的平面角设 SA =AB =a贝 U BC =SB = 72 a 且 AC =并易证ASAS DEC/ CDE =Z SAC =60°在 Rt BCD43, CD-贝

6、U RN =BC =BD- CE1CE2CECD BCRNBD,5tan MRNMNRN.5MRN arctan 24.解：过A作AELCB的延长线于E,连结DE,面 ABC1面 BCDAE，面 BCDE点即为点A在面BCD内的射影 EBD为4ABD在面BC* 的射影设 AB =a贝U AE =DE =ABsin60 °. 3a26. 一一 1 AD = cos ABD ,24sin/15ZABD=-4ABD15415 2a81又 BE a2BDE.3a21-a 2cosS BDES ABD.5"5"5.解：设边长为a,易证ANC'N是菱形且 MN = 2

7、a , A'C = 3 3a一S 口AMC'N =1 -MN AC'2-6 2a2由于AMC'N面ABCD±的射影即为正方形ABCDS DABCD=a2、6cos 1623一 a26arccos3取CC'的中点M',连结DM'则平行四边形 DM'C'N是四边形 AMC'N在CC'D'D上的射影,1 2口 DM'C'M = a21 2acos 226 2a2、- 6arccos66.解：作 DF,AB于 F, CEAB于 E,AC =CD =1/ ABC =30°A

8、B =2, BD =在 Rt ABC中,CE AC里AB同理 DFAD BD 2ABBF,BD2 DF2AEAC 2CE2EFCD2CE2DF2EF2 2EFDF coscos即所求角的大小为3 arccos。37、解：由已知条件/ BAC =90° , AB =AC,设BC的中点设为O,则OA =OC =V3BC =2.3DC0 一 . 3BCtan30 2.3 AD 2AO2OC2 CD2 2AOCD cos解之得:cos1509、解析：（1）设O是AC, BD的交点，连结 EO.ABC皿菱形，O是AG BD的中点, E是 PA的中点，EO/ PC,又 PC1平面 ABCD .E

9、O,平面 ABCD EO 平面 BDE，平面 BDEL平面 ABCD.(2)EO / PG PC 平面 PBC .EO/平面PBG于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作O。BC于F,EO±¥面 ABCD EO/ PC, PC 平面 PBC ，平面 PBCL平面 ABCD 于是 OF1平面 PBGOF的长等于O到平面PBC的距离.a a .33. 3由条件可知，OB= 2 ,OF= 2 x 2 = 4 a,则点E到平面PBC的距离为 4 a.过 O作 OGL EB 于 G,连接 AG -OEL AC, BDL AC . . Ad平面 BDE.AG±

10、EB(三垂线定理)./AGO二面角 A EB- D的平面角113OE OB 、31 . OE= 2 PC= 2 a,OB= 2 a. . EB= a. . . OG= EB = 4 a 又 AO= 2 a.AO2.32.3 .tan / AGO= OG = 3 . . / AGO= arctan 3 .评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用 .10、设G在底面 ABCDh的射影为 H, HC BD,GH GB 2.d1d = D1B = 32 GHh 3作HM/L EF于M连GM由三垂线定理知 GM/L EF,则/ GM母。就是平

11、面 BFGf底面ABC所GH成的二面角的平面角，tan 0 = HM下面求HM削1.建立如图所示的直角坐标系，据题设可知1211H( 3 , 3 )、E( 4 , 0)、F(1 , 2 )直线EF的方程为y 01 o21 x _41即 4x-6y-1= 0.由点到直线的距离公式可得1 24-6-1I 3311I HM| = V'42 62= 6xi13 ,2 6. 134、134,13 .tg 0 = 3 -11 = 11 ,0 = arctg 11 .说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.11、分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识解(1) AO BC, E 为

12、 AB 中点，CE± AB又ABe-A1B1C1 为直棱柱，CE1面 AA1BB连结EF,由于AB= 2AA1 .AA1FE为正方形 .AFLA1E 从而 AF± A1C(2)设AF与A1E交于O,连结 CQ由于 AF± A1E,知AFX面CEA1 /COEW为二面角 C- AFB的平面角.AB= 2AA1= 2a,AC=BC=m a.2a_ 旦iTa.CE= 2 a,OE= 2 a, tan / COE= 2=2.，二面角 C-AF- B的大小是 arctan2.12、解析：:平面ABCD/平面 ABC1D1,平面AB1C与平面 AB1C1D1的交线为过点B1且平行于AC的直线.直线l就是二平面AB1C与AbiGD所成二面角的棱.又AA 平面AB1C1D1 ,过A1作AH!i于H,连结AH则AHA1为二面角A 1 A的平面角.可tan AHA1求得5 5,5arctan 冗 arctan 2 .因此所求角的大小为2或2一 一 114、解析：（1）若 CDC 90 ,DC DC aAC=a,2CC. AD DC , ad± D