南昌大学第五届高数竞赛文科类试题及答案

1、南昌大学第五届高等数学（文科类）竞赛试题序号姓名学院专业学号考试日期：题号-一-二二三四五六七八九十总分累分人题分1515101010121414100签名得分15得分评阅人分把答案填在题中横线上）<BIn(1f x 兰 01函数f(x)=«ex2_i在点x = 0处可导，贝N, x <0gn 2x2. 设 y =xcos2x ,则 dy 二.3.曲线X = cos31y =si n't上对应于t=-点处的法线方程是4.1 1 xsin2 x ,dx =41 x25.设 f (x) = In x 2x2 J f (x) dx ,则 f (x)=M x得分评阅人二、

2、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分. 每小题给出的四个选项中只有一项符合题目的要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内)F列命题中正确的命题有几个？.(1)无界变量必为无穷大量；(2)有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；(3)无穷大量必为无界变量；(4)无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量A 1B 2C 3D 4xx2乂2. 把x； 0时的无穷小量 = cost2dt，tan . tdt，sint3dt排列起来,$07J0使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是13. 当 x>0时，曲线 y=xsin.xA有且仅有水平渐近线B有且仅有铅直渐近线C既有水平渐近线，又有铅直

3、渐近线D既无水平渐近线，又无铅直渐近线4. 设是函数f xAarctarx在区间0, b上使用Lagrange (拉格朗日)中值定理巴2 中的“中值”，贝U极限lim .(A ) 1(B ) 1(C ) 1(D ) 12345. 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则必有.A F(x)是奇函数的充分必要条件是f (x)是偶函数B F (x)是偶函数的充分必要条件是f (x)是奇函数C F (x)是周期函数的充分必要条件是f (x)是周期函数DF (x)是单调函数的充分必要条件是f (x)是单调函数得分评阅人三、（本题满分10分）求极限limx屮2 2 2 sin x x cos xx(e

4、2x -1)ln(1 +tan2x)得分评阅人四、（本题满分10分）设 f (tanx 1) = cos2 x sec x，且 f(i)=4，求 f (x).得分评阅人五、（本题满分10分）设D是由抛物线y=2x（2x）与x轴所围成的区域，直线y二kx将区域D分成面k的值.得分评阅人积相等的两部分，求六、（本题满分12分）1设 f (x=dy，求定积分f (x )dx0 0得分评阅人七、（本题满分14分）研究方程ex =ax2 a 0在区间-二，二内实根的个数.得分评阅人八、(本题满分14分)设f(x)在区间2,4上连续可导，且f(2)=f(4)=0,试证明:max f x) > f f

5、 (x)dx . 2誉童J2南昌大学第五届高等数学（文科类）竞赛试题参考答案、填空题侮题3分,共15分）2.cos2 xcos2x .(_2sin 2x ln x)dxx3. y =、p3x -14.5.2xIn x -e、选择题侮题3分，共15分）1. A2. B3.4.5. B三、（本题满分10 分)2 2Hm -x cos xx° x(e2x -1)ln(1 tan* 1 2 x)2sin x2x -.2 sin x =limx卫2一 x cos xx 2x tan2 x四、（本题满分10分）设tanx 1 = t，贝卩 f (t)即 f (x)-于是f(x)二+ 1 + (x

6、 -1)2 dx由 f(1) =4，得 C =3.(x _1)2 +1 +(x _1)21 (x -1)f (x)二 arctan(x -1) x3五、（本题满分10分）除了原点，设直线y二kx与抛物线y=2x（2-x）交于c, kc，那么c2°(4x-2x22 2-kx)dx 亠 I (kx -4x 2x )dx 二 2k ,2x2 送x3.I ckx22-kx2x22x3=2k ,023 c又2c(2 _c)二 kc联立，解得c=3.4， k=4 - 23 4.六、（本题满分12分）1 11解：f xdx 二 xf x ° - xf xdx0 01_x在方程f X =

7、ey2dy中，令X=1，得010f 1ey2-ydyey2dy =0 .001_x再在方程f(x)= Jey(2_ydy两端对x求导，得fTx-e101 1 11因此， f x dx = xf x 0 - xf x dx = - xf x dx00 0 01x2=Jxe'j dx = e Jxedx = e 0 01 A21才1.七、（本题满分14分）解: 设函数 f x 二ax2e» -1， f x = 2axe» - ax2e» = ax 2 - x e» .令f x =0，得函数f x的驻点捲=0,X2 =2 .由于a 0，所以lim f

8、x = lim ax2e" T 二：，X )二x.2lim f x = lim ax2e" -1 =a lim 电-1x )x )x )二 e2x2二啤孑-仁啤壬-1 一1因此，得函数f x的性态2若4ae7.0，即时，函数fX2宀1在:,0、Q 2、2, *内各有一个零点，即方程eX=ax2在-：:，：内有3个实根.2若4ae=0,即a=-时，函数fx=ax2e1在:,0、0,，:内各有一个零 点，即方程ex =ax2在一：:，：内有2个实根.2 若4ae7：0，即a：冷时，函数fx二ax2e-1在-:：，0有一个零点，即方程 ex =ax2在：；：7片：内有1个实根.八、（本题满分14分）证明：设 x 2,4，贝 U f (x)二 f (】)(x-2), - (2,x); f(x)二 f ( 2)(x-4), 2