上海市杨浦区2021高中三年级数学二模(含解析)

1、市浦区2021届高三二模数学试卷2021.04填空题本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54 分1. 函数y lgx 1的零点是2. 计算：limn 4n 13. 假设1 3xn的二项展开式中x2项的系数是54，那么n4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为x y 05. 假设x、y满足x y 2，那么目标函数f x 2y的最大值为y 06. 假设复数z满足|z 1,那么z i的最大值是7. 假设一个圆锥的主视图如下列图是边长为3、3、2的三角形，那么该圆锥的体积是8.假设双曲线"y 1 (p3 p0的左焦点在抛物线y22 px的准线上，贝U p9.假设 sin(x

2、y)cos x cos(xy)sin x那么tan 2 y的值为10.假设an为等比数列，an0 ,且 a2021，那么1-的最小值为2a2021a202111.在 ABC中，角ABC所对的边分别为a、b、c,a 2 , 2sinA sinC假设B为钝角，cos2C14，那么 ABC的面积为12.非零向量OP、OQ1不共线，设OMOPm OQ，定义点集m 1m 1A F | P FM FQ FM.假设对于任意的m 3，当R , F2 A且不在直线PQ上时, |FP| |FQ|不等式IRF2 | k | PQ |恒成立，那么实数k的最小值为选择题本大题共 4题，每题5分，共20分13.函数fx

3、sin x 0, | |的图象如下列图，贝U的值为A. B.42C. 2D. 314.设A、B是非空集合，定义： A B x|x AJB且x AB.A x| y2x x2， Bx|x 1，那么 A B等于A. 0,1U(2,)B.0,1)U(2,)C. 0,1D.0,215.a, b20，a22b220，那么“a1 a2bi b20 是“直线b : ax by &0与l 2 :a?x b2yC20平行的条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要16.长方体的外表积为452，棱长的总和为24.那么长方体的体对角线与棱所成角的最大值为A1arccos-3B.arcco.普

4、C.73 arccos 9D.arcco出9三解答题本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分17.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购置了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y 单位：元与营运天数xx n*满足函数关系1 2式 y x2 60x 800.21 要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值围；2 每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y的值最大？x18.如图，在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.1求证：DA1 ED1 ；2 假设直线DA,与平面CED1所成的角是45，请你确定点 E的位置

5、，并证明你的结论19.数列%，其前n项和为Sn,满足a, 2 , &na.a. 1，其中n 2 , n N* , R.(1 )假设 0,4 , bn an i 2an ( n N ),求数列bn的前 n 项和；3(2)假设a2 3，且3，求证：数列an是等差数列.220.椭圆：9x2 y2 m2 (m 0)，直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与 有两个交点A、B,线段AB的中点为M(1 )假设m 3，点K在椭圆 上，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，求 KF； KF2的围；(2) 证明：直线 OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；(3) 假设I过点(m,m)，射线OM与 交于点P,四边形O

6、APB能否为平行四边形？3假设能，求此时|的斜率；假设不能，说明理由.21.记函数f(x)的定义域为D.如果存在实数a、b使得f (a x) f(a x) b对任意满 足a x D且a x D的x恒成立，那么称f (x)为函数.1(1) 设函数f(x) 1,试判断f(x)是否为 函数，并说明理由；x1(2) 设函数g(x) 丄，其中常数t 0,证明：g(x)是 函数；2x t(3) 假设h(x)是定义在R上的 函数，且函数h(x)的图象关于直线x m ( m为常数)对称，试判断h(x)是否为周期函数？并证明你的结论3 / 10市浦区2021届高三二模数学试卷2021.04填空题本大题共12题，

7、1-6每题4分，7-12每题5分，共54 分1.函数y lgx 1的零点是解析lgx 10 x 102. 计算：limn 4n 11解析23. 假设1 3xn的二项展开式中2x项的系数是54，那么n解析C：3254 n 44. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为1解析-2x y 05. 假设x、y满足x y 2，那么目标函数f x 2y的最大值为y 0解析三个交点为1,1、0,0、2,0，所以最大值为36. 假设复数z满足|z 1,那么z i的最大值是解析结合几何意义，单位圆上的点到0,1的距离，最大值为27. 假设一个圆锥的主视图如下列图是边长为3、3、2的三角形，那么该圆锥的体积是解析V

8、 12.2 乙23328.假设双曲线3解析3 1616y2p21 (PP 40的左焦点在抛物线 y22px的准线上，贝U p9.右 sin(x y)cosx cos(xy)sin x那么tan2y的值为解析sin ytan y3 , tan2y424710.假设an为等比数列，an0,且比0182，那么12a20212a2021的最小值为解析12a20212a20212 2a2021/22 1a2021a2021a2021a202111.在 ABC中，角ABC所对的边分别为a、b、c, a2 ,2si nA sinC1假设B为钝角，cos2C-，那么ABC的面积为解析a 2 ,2c 4 , c

9、os2C 1 2sin C1si nC1cosC,44 ，4 a压 sin A -A 炉cos A, sin B sin(AC)S丄2 4卫花8842412.非零向量 OP、OQ不共线，设OM1OPm 二OQ，定义点集m1m 1A F | FP_MFQ_M .假设对于任意的 m 3，当Fi , F2 A且不在直线PQ上时,|FP| |FQ|不等式IF1F2 I k| PQ I恒成立，那么实数k的最小值为即m 1解析建系，不妨设 P( 1,0), Q(1,0) , M (-' ,0) , mm 1FPFQMPMQ3，设 F(x,y),2 2(X 1)y2 2(X 1)y9，即(x 4)2

10、箱，点F在此圆,3333| F1F2 |max 2,- 2kk -4224每题4题,二.选择题本大题共5分，共20分13.函数f(x)sin( x0, |的图象如下列图，那么A. B.4C. D.2解析T14.设 A、2, f2B是非空集合，定义:2，选CB x|x AUB 且 x的值为Al B A x| y 2x x2 , BA. 0,1U(2,)B.0,1)U(2,x|x 1，那么 A B等于)C. 0,1D.0,2解析A 0,2 , AUB 0,),aib(1,2，选 A15. a12 b20 , a22 b220,那么“印0a2 b20 是“直线l1: a1XbyC10与l2: a2x

11、 b2y C2 0平行的(条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要 D.既非充分也非必要"丄l a1b解析0推出直线平行或重合，选Ba2 b?16.长方体的外表积为，棱长的总和为24.那么长方体的体对角线与棱所成角的最大2值为()A1A. arccos3B.忑CarccosC.3arccos -9D.arccos -9解析设三条棱abc，二 ab ac bc45.,a b c 46,a2 b2227c 二，2 . 2 2 2 a b c a2bca2 2淫 a(62a)，整理得a4a30，二.1 a 2,4最短棱长为J体对角线长为326，cos 3；于，选D三.解答题(本大题共 5题

12、，共14+14+14+16+18=76分)17.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购置了一批单车投放到某地给市民使用,据市场分析，每辆单车的营运累计利润y (单位：元)与营运天数x(x n*)满足函数关系式 y1 x2 60x 800.2(1 )要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值围；(2 )每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润上的值最大？x解析(1)要使营运累计收入高于 800元，令x2 60x 800 800 ,2分2解得40 x 80 .5 分所以营运天数的取值围为 40到80天之间7 分(2) 1 lx 800 602 40060209 分x 2 x1800当

13、且仅当丄X 800时等号成立，解得x 400 1分2 x所以每辆单车营运 400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天.14分18.如图，在棱长为1的正方体 ABCD AB1GD1中，点E是棱AB上的动点.(1)求证：DA1 ED1 ；(2)假设直线DA1与平面CED1所成的角是45，请你确定点 E的位置，并证明你的结论EB解析以D为坐标原点，建立如下列图的坐标系，那么D(0,0,0) , A(1,0,0), B(1,1,0),C(0, 1,0) , D(0,1,2) , A(1,0, 1)，设 E(1,m,0) (0 m 1)(1)证明:DA(1,0,1) , ED；( 1,

14、m,1)2分DA ED； 1 ( 1) 0 ( m) 1 104分所以DA丄ED. 6分另解：AE 平面ADA,，所以AE AD.分又AD AD1，所以AD 平面DAE.4 分所以DA1 ED16分(2)以A为原点，AB为x轴、AD为y轴、AA为z轴建立空间直角坐标系7 分所以几(0,0,1)、D(0,1,0)、C(1,1,0)、D1(0,1,1)，设 AE t，那么 E(t,0,0)8 分设平面CED的法向量为n(x, y, z)，由 n CD10可得n ce 0所以Z x ，因此平面CED的一个法向量为(1,t 1,1)y (t 1)x由直线DA1与平面CED1所成的角是45，可得sin4

15、5IDA1 n|IDA, | n|可得二2门11，解得t 1x z 0(t 1)x y 010分11分- 13 分由于AB=1,所以直线DA1与平面CED1所成的角是45时，点E在线段AB中点处.14分221 (t 1)2 1219.数列an，其前n项和为Sn,满足a, 2 , Snna. an 1，其中n 2 , n N* , R.(1 )假设 0,4 , bn an 1 2an ( n N* )，求数列0的前 n 项和；3(2)假设a23，且，求证：数列an是等差数列.2解析(1)Sn4an 1，所以Sn14an.两式相减得Sn1Sn4an4an 1.即 an 14an 4an 12 分所

16、以 an 1 2an 2(an 2an 1)，即 bn 2bn 1 ,3 分又 S2 4a18,所以 a2 S2 a16，得 b a2 2a124 分因此数列bn为以2为首项，2为公比的等比数列.bn 2n，前n项和为2n 1 27分(2 )当n=2 时，S22 a2a1,所以32 62.又3，可以解得1 , 19分22所以Snn anan 1 ,Sn 1n 1_ an 1an ，两式相减得务1n 1nan 1. ananan 12 2 2 2即Lan1 口 an an1.猜测an n 1，下面用数学归纳法证明： 10分2 2另解:假设a23，由 a-ia22 a2a1，得由a12 ,a21解

17、得-,2 3，2代入Snnanan 1 得 as4 ,所以a1, a1，得Sn 1n 1 an 1 a2 n所以nan 2所以所以n 1nan1 -an 1ananan 1，即(22(n1)an 12an0 11 分In 22(n 1)a>n 1(n2)an2an 2an12an1an )2(an12an ian 1)022:2an 1an)-(an 12anan 1 )nn(n(2)n 1as成等差数列,2 ,两式相减得:n(an 2(an 2相减得：nan2an an由Sn,21)an(n2an 1因为a 2a2n(n 1)2as 0，所以 an 22an 1 an2)an 2an

18、1 0an-2)0，即数列an是等差数列.14分当n=1或2时，a12 11a23 21，猜测成立；假设当n k ( k*N ,k2 )时，akk1成立那么当n k 1时，ak21k泸2 ak2ak 1)k21(k22(k 1) k)k 2猜测成立由、可知，对任意正整数n,ann 1.13分1为常数，所以数列an是等差数列.14分所以an 1an2 2 220.椭圆：9x y m (m 0)，直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与 有两个交点A、B,线段AB的中点为M(1 )假设m 3，点K在椭圆 上，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，求 KF； KF?的围；(2) 证明：直线 OM的斜率与I的

19、斜率的乘积为定值；(3) 假设I过点(m,m)，射线OM与 交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？3假设能，求此时I的斜率；假设不能，说明理由.解析(1)椭圆：9x2 y2 9，两个焦点 已(0,2 .2)、F?© 2、2)，设 K(x,y) 所以 KF1 KF2( x,2.2 y) ( x, 2 2 y) x2 y28(9 9x2) 88x2 1由于 9x2 y2 9，所以 y2 9 9x2, KF1 KF2 x2由椭圆性质可知1 x 1，所以KF1 KF2 7,1(2)设直线丨:ykx b ( b 0, k 0), A(x1, y1),Bey?),M (xo,yo),所以Xp

20、 x2为方程9x2 (kx b)2 m2的两根，化简得2 2(k 9)x2 22kbx b m所以x1x2Xokb严，yokxo bk2bk2 9b単k2 9kOM虫Xo29，所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积等于9为定值k10分(3)直线 I 过点(m,m)，二3l不过原点且与c有两个交点的充要条件是设P(Xp, yp)设直线丨:y k(xm ( m 0,k 0)，即 y由(2)的结论可知OM : y由(2)的过程得中点M (92-X，代入椭圆方程9x kmk)k 9(m3k29kmT2)2 / ?k2 9, mk kx3m得Xp2. 2m k12分9k 8114分假设四边形OAPB为平行四

21、边形，那么mk2mk 2, 2得4( 2亠)2孚，解得kk 9 9k 81M也是OP的中点,所以2XoXp ,所以当丨的斜率为4、亍或4,7时,四边形OAPB为平行四边形.16分f(a x) b对任意满21.记函数f (x)的定义域为D.如果存在实数a、b使得f (a x)足a x D且a x D的x恒成立，那么称f (x)为函数.(1) 设函数f (x)(2) 设函数g(x)1-1,试判断f (x)是否为 函数，并说明理由；X1，其中常数t 0,证明：g(x)是函数;2X t(3)假设h(x)是定义在R上的 函数，且函数h(x)的图象关于直线x m ( m为常数)对称，试判断h(x)是否为周期函数？并证明你的结论.1解析(1) f (X)11是函数1分X1理由如下：f (X)1的定义域为x|x 0,X只需证明存在实数 a , b使得f (a x) f (a x) b对任意x a恒成立.由 f (a x) f (a x) b，得2 b，即 b 2